1、11.1二次曲线的几何性质1、解（1）时 ,同时 曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向： （2）时和 同时, 曲线为双曲型，有两个渐近方向：和 （3）时, 同时曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：12、解（1）, 曲线是中心曲线. 由 解得 中心为 （2），, 曲线为线心曲线。 （3），且, 曲线为无心曲线。3、解（1）由 解得中心由得渐近方向为， 所以渐近线方程是 和, 即和（2）由解得中心,由解得渐近方向为X:Y= , 所以渐近线方程是 和 即和4、解（1）, , , 所求切线方程为 即 （2） 不在二次曲线上； 设过点的切线与已知二次曲线相切于，那么切线方程为 把代入切线方程得 又因在曲线
2、上，把它代入曲线方程得 由解得切点为，代入得 切线方程为和5、解（1），, , 特征方程为 解得, 求得对应的特征向量 , 所以主方向是， , 主直径是与, 即与 , 就是与（2）， 特征方程为，解得，求得对应的特征向量 , , 所以主方向是 主直径为 与 , 即 与 （3）, , 特征方程为，解得，, 求得对应的特征向量是 , 所以非渐近主方向是, 渐近主方向是 , 主直径只有一条，就是 , 即6、证明：（1）中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为，则因为是方程的唯一解，可设过的直线方程为对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向，故又表示与非渐近方向共轭的直
3、径的方程。 对于双曲型曲线，当中的为非渐近方向时，就是与共轭的直径方程；当为渐近方向时，方程即为渐近线，可把它看成与自己方向共轭的直径。 综上，第一结论得证。 （2）对无心二次曲线，它只有唯一的渐近方向: ， 设任意平行于的直线方程为 要证明是直径，要求有如下形式： （） 即 比较，得： 又由求得为使与相容，只须证明上面求得的：假设则有从而有即与无心曲线的充要条件矛盾。所以 综上所述，对任意平行于渐近方向的直线，当取非渐近方向时成为直径，具有形式。11.2 直角坐标变换1、 解： （1） （2） 2、解（1）已知 所以因而 （2） 即 （3）由公式得 3、解（1）解 得 所以新坐标系的原点的坐
4、标为（1，1） 又的斜率，得， 所以坐标变换式为 （2）把坐标变换式代入直线方程得 即 （3）到的变换式为： 代入直线得 11.3 二次曲线的化简与分类1、利用转轴与移轴，化简下列二次曲线方程，并画出它们的图形。解（1）矩阵,特征方程为 解之得 ,.求得相应的单位特征向量为 建立旋转坐标变换式： 其中 代入原方程化简得： 配方得 作平移坐标变换 得 所以，曲线的标准方程是（椭圆） 总的坐标变换式 新坐标原点就是曲线的中心（1，1） 新坐标轴（两条主直径）在原坐标系的方程是 和 即和（2）标准方程是（3）标准方程是（4）标准方程是 2、利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线的类型，并求化简后的标
5、准方程。解（1）， 所以二次曲线是双曲线。 特征方程是，解得 因此，简化方程是 其标准方程是 （2）二次曲线是椭圆。 简化方程是 标准方程是 （3）二次曲线是两条相交直线。 简化方程是 标准方程是 .（4）二次曲线是两平行直线。 简化方程是 标准方程是 （5）二次曲线是椭圆。简化方程是标准方程是 .3、就的值讨论下列方程所表示的曲线的类型：解（1）， ，按不变量符号，讨论如下：当时，曲线是椭圆； 当或且时，曲线是双曲线；当时，曲线为一对相交直线； 当时，曲线是抛物线；当时，曲线是一对重合直线。（2）， 按这些不变量符号讨论如下： 时曲线是椭圆; 时曲线是抛物线; 时，曲线是双曲线; 时，曲线是
6、一对相交直线; 时，曲线是双曲线; 时，曲线是一对虚平行直线;时，曲线是虚椭圆。4、试证中心二次曲线的两条主直径是且曲线两半轴的长分别是及证明：，由题意知道曲线是中心二次曲线，从而，且中心就是（0，0）。同时，二次曲线的特征方程为：,解得特征根为，.显然，且若，则主直径就是x轴与y轴，这和所设矛盾，从而，可知。 由于由特征根所确定的两个主方向为： .得两主直径方程为及.即和.为了求得曲线的两半轴之长，我们以两主直径为和轴进行旋转坐标变换： 将其代入原方程得 其中 ， ，它们均不为零，而且若d=0，则原曲线为两相交于原点的直线或者就是原点，此时命题显然成立。若，则方程变形为 即 （其中的符号分别由与的符号决定），这曲线的两半轴正是题目所求证。5、试证方程表示一个圆的充要条件是证明：（必要性）若原方程表示一个圆，则经坐标变换后它可简化为，其中是特征方程的两个相等的实根。根据 得知 ，同时圆属于椭圆型，显然满足。（充分性）若，则，从而。于是，原方程属于椭圆型曲线，经过坐标变换后的简化方程为： 其中由知特征方程的特征根为两相等实根，同时根据特征根的性质知，所以与异号，可变形为，其中为正实数，这就证明了原曲线表示一个圆。 6
