1、高考不等式专题精练（教师专用） 高考不等式经典例题【例1】已知a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3a1(a2a1)a2(a1)，当a1时，a3a1a2a1，PQ；当0a1时，a3a1a2a1，PQ；综上所述，a0，a1时，PQ.【变式训练1】已知ma(a2)，nx2(x)，则m，n之间的大小关系为()A.mnB.mnC.mn D.mn【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.maa22224，而nx2()24.【变式训练2】已知函数f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围.【解析】由
2、已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令f(3)9ac(ac)(4ac)，所以故f(3)(ac)(4ac)1,20.题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：ab0； ；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式作等价变形:0.(1)由ab0，bcad0，即； (2)由ab0，0bcad0bcad，即；(3)由bcad0，0ab0，即.故可组成3个正确命题.【例2】解关于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】当m0时，原不等式可化为2x20，即x1；当m0时，可分为两种情况： (1)m0 时，方程mx2(m2)x20
3、有两个根，x11，x2.所以不等式的解集为x|x1或x；(2)m0时，原不等式可化为mx2(2m)x20，其对应方程两根为x11，x2，x2x1(1).m2时，m20，m0，所以x2x10，x2x1， 不等式的解集为x|1x；m2时，x2x11，原不等式可化为(x1)20，解集为；2m0时，x2x10，即x2x1，不等式解集为x|x1.【变式训练2】解关于x的不等式0.【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x或x1；当1a0时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|1x.【例3】已知ax
4、2bxc0的解集为x|1x3，求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集为x|1x3，因此a0， 解得x或x1.(1)zx2y4的最大值； (2)zx2y210y25的最小值； (3)z的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x2y4z过点C时，z最大. 所以x7，y9时，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()2.(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(1，)连线斜率的2
5、倍.因为kQA，kQB，所以z的取值范围为，.【例1】(1)设x，yR，且xy(xy)1，则()A .xy2(1) B .xy2(1) C. xy2(1)2 D. xy(1)2(2)已知a，bR，则，的大小顺序是.【解析】(1)选A.由已知得xy1(xy)，又xy()2，所以()21(xy).解得xy2(1)或xy2(1). 因为xy0，所以xy2(1).(2)由有ab2，即ab，所以. 又，所以， 所以.【变式训练1】设abc，不等式恒成立，则的取值范围是.【解析】(，4).因为abc，所以ab0，bc0，ac0.而(ac)()(ab)(bc)()4，所以4.【例2】(1)已知x，则函数y4
6、x2的最大值为；【解析】(1)因为x，所以54x0. 所以y4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立. 所以x1时，ymax1.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得abxy，cdxy，所以2，当0时，4；当0时，0，故的取值范围是(，04，).例 已知，求的最小值。 解：。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例 已知，求函数的最小值。解：因为，所以。所以。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例 已知，且，求的最小值。解：设，故有。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，即，代入，解得，此时，故的最小值为36。例 若正实数x，y 满足 ，则xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为_）答案：18解：因为x0，y0 ，所以，解得等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。变式答案：12解：因为x0，y0 ，所以整理得，解得等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。例 若对任意，恒成立，则的取值范围是 。答案：解：因为，所以（当且仅当时取等号），所以有，即的最大值为，故。
