八年级上数学-全等三角形典型例题(一).doc

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资源描述

1、全等三角形典型例题:例1:把两个含有45角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F求证:AFBE AFBCED练习1:如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC,AE是过点A的直线,BDAE,CEAE,如果CE=3,BD=7,请你求出DE的长度。例2: DAC, EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,EE求证:(1)AE=BD; (2)CM=CN; (3) CMN为等边三角形;(4)MNBC。DACBNM例3:(10分)已知,ABC中,BAC = 90,AB = AC,过A任作一直线l,作BDl于D,CEl于E,观察三条线段BD,C

2、E,DE之间的数量关系如图1,当l经过BC中点时,DE = (1分),此时BD CE(1分)如图2,当l不与线段BC相交时,BD,CE,DE三者的数量关系为 ,并证明你的结论(3分)如图3,当l与线段BC相交,交点靠近B点时,BD,CE,DE三者的数量关系为 证明你的结论(4分),并画图直接写出交点靠近C点时,BD,CE,DE三者的数量关系为 (1分)ABCDElABClEDAlBC 图1 图2 图3练习1:以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向外作等边三角形ABE和等边BCF,连结EF、EC。试说明:(1)EFEC;(2)EBCF练习2:如图(1)A、E、F、C在同一直线上,A

3、E=CF,过E、F分别作DEAC,BFAC若AB=CD,G是EF的中点吗?请证明你的结论。若将 ABC的边EC经AC方向移动变为图(2)时,其余条件不变,上述结论还成立吗?为什么?图5例四:如图1,已知,ACCE,AC=CE, ABC=CDE=90,问BD=AB+ED吗?分析 :(1)凡是题中的垂直往往意味着会有一组90角,得到一组等量关系;图6(2)出现3个垂直,往往意味着要运用同(等)角的余角相等,得到另一组等量关系;(3)由全等得到边相等之后,还要继续往下面想,这几组相等的边能否组合在一起:如如图6,除了得到三组对应边相等之外,还可以得到AC=BD。解答过程:得到ABCCDE之后,可得到

4、BC=DE,AB=CD BC+CD=DE+AB(等式性质)图7 即:BD=AB+DE变形1:如图7, 如果ABCCDE,请说明AC与CE的关系。注意:两条线段的关系包括:大小关系(相等,一半,两倍之类)位置关系(垂直,平行之类)变形2:如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FAAE交CB的延长线于点F, 求证:DE=BF分析:注意图形中有多个直角,利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形3:如图8,在ABC中,BAC=90,AB=AC,AE是过点A的直线,BDAE,CEAE,图8如果CE=3,BD=7,请你求出DE的长度。分析 :说明相等的边所在的三角形全等,题中“AB=

5、AC”,发现:AB在RtABD中,AC在RtCAE中,所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt全等(如图9)于是:已经存在了两组等量关系:AB=AC,直角=直角,再由多个垂直利用同角的余角相等,得到第三组等量关系。 解:由题意可得:在RtABD中,1+ABD=90(直角三角形的两个锐角互余)1图9 又 BAC=90(已知), 即1+CAE=90 ABD=CAE(等角的余角相等) 故在ABD与CAE中, BDA=AEC=90(垂直定义)ABD=CAE(已求) AB=AC(已知) ABDCAE(AAS) AE=BD=7,AD=EC=3 (全等三角形的对应边相等) DE=AEAD=73=4变形4

6、:在ABC中,ACB= 900,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图9的位置时,ADCCEB,且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗?(2)当直线MN绕点C旋转到图10的位置时, DE =AD-BE。说说你的理由。图12图11(3)当直线MN绕点C旋转到图11的位置时,试问DE,AD,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系。图1012等腰三角形、等边三角形的全等问题:必备知识:如右图,由1=2,可得CBE=DBA;反之,也成立。例五:已知在ABC中,AB=AC,在ADE中,AD=AE,且1=2,请问BD=CE吗?分析这类题目的难点

7、在于,需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边,分别放入两个三角形中,看成是一组三角形的对应边, 题目中所给的ABC与ADE是用来干扰你的思路的,应该去想如何把两组相等的边联系到一起,加上所求的“BD=CE”,你会发现BD在ABD中,CE在ACE中,这样一来,“AB=AC”可以理解为:AB在ABD中,AC在ACE中,它们是一组对应边; “AD=AE”可以理解为:AD在ABD中,AE在ACE中,它们是一组对应边;21图13所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于:说明“相等的边(角)所在的三角形全等” 解: 1=2(已知) 1+CAD=2+CAD(等式性质) 即: BAD=CAE 在

8、ABD与ACE中, AB=AC(已知) BAD=CAE(已求) AD=AE21图14 ABDACE(SAS) BD=CE(全等三角形的对应边相等)变形1:如图14,已知BAC=DAE,1=2,BD=CE,请说明ABDACE.吗?为什么?分析:例三是两组边相等,放入一组三角形中,利用SAS说明全等, 此题是两组角相等,那么该如何做呢?变形2:过点A分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE,请说明它们相等。图15分析:此题实际上是例三的变形,只不过将等腰三角形换成了等边三角形,只要你根据所求问题,把BD看成在ABD的一边,CE看成ACE的一边,自然就得到了证明的方向。 解:ABC与ADE是

9、等边三角形, AB=AC, AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD(等式性质) 即: BAD=CAE接下来的过程与例三完全一致,不予描述! 图16变形3:如图1618,还是刚才的条件,把右侧小等边三角形的位置稍加变化,连接BD,CE,请说明它们相等 这里仅以图17进行说明 解: ABC与ADE是等边三角形, AB=AC, AD=AE BAC=DAE=60图17BACCAD=DAECAD【仅这步有差别】即:BAD=BAD=CAE 在ABD与ACE中, AB=AC(已知) BAD=CAE(已求) AD=AE图18 ABDACE(SAS) BD=CE(全等三角形的对应边相等

10、) 图16,图18的类型,请同学们自己去完成变形4:如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N求证:;分析:和上面相比,只不过等边三角形换成正方形,60换成直角了,思路一样例六: 如图,ABC中,C=90,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MNAB.求证:AN平分BAC.分析:要说明AN平分BAC,必须说明两角相等,可以说明AMNCAN,而题中已有了一组直角相等,一组公共边(斜边)结合题目中条件,比较容易找到一边直角边相等,从而利用HL定理得到全等。变形1:在RtABC中,已知A=90,DEBC于E点,如果AD=DE,BD=CD,求C的度数

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