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第四章 线性定常系统的综合,概 述,控制系统综合的目的：,设计出一个控制系统，满足性能等要求。,控制系统的要求：,基本要求＋其它,控制系统综合方法：,古典法：“设计＋校正”
现代法：“精确综合”,不等式指标：优化型指标：,基本综合理论最优控制理论,4.1 反馈控制系统的基本结构及其特性,4.1.1 输出反馈,设n阶系统状态方程与输出方程为：,反馈优越性？
区别：多变量反馈！,线性反馈控制律为：,一般情况下，矩阵D=0 (???)，有：,维数？,通过输出反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为：,写成传递函数形式：,比较闭环传递函数矩阵和开环传递函数矩阵，有,其中：,( 含义? ),( 分析? ?),4.1.2 状态反馈,线性反馈控制律为：,通过状态反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为：,一般矩阵D=0，有：,其传递函数为：,( 分析? ),（1）反馈的引入不增加新的状态变量；,（2）可控性无变化。输出反馈保持可观测性，但状态反馈不一定保持可观测性；,（3）实现状态反馈的前提是必须能够得到系统状态：或者可以物理量测，或者可以通过状态观测器重构。,（4）输出反馈优点：简单易实现，但常常需要辅以补偿器来满足系统性能要求（增加系统维数）。,4.1.3 输出反馈与状态反馈特点分析,（5）状态反馈优点：可以使系统具有更好的性能。,4.2 极点配置,4.2.1 基本思想及配置原则,系统稳定性及动态性能由系统极点决定；
极点由特征式即系统矩阵决定；
状态反馈后系统矩阵改变了，极点位置也将发生变化。,配置要求：,（1 ）对于一个n阶控制系统，可以而且必须给定n个希望的极点；,（2）所希望的极点可以为实数或共轭复数；,基本思想：,通过状态反馈矩阵，可以使闭环系统极点位于所希望的位置。,（3）在选取所希望的极点位置时，需要研究它们对系统品质的影响，以及它们与零点分布状况的关系。此外，还要考虑工程实际情况。,（4）要考虑抗干扰及低灵敏度问题。应使系统具有较强的抑制干扰能力，对系统参数变化不敏感。,4.2.2 单输入单输出状态反馈系统极点配置法,定理1,对单输入单输出系统,以这几个极点为特征根的多项式为：,那么存在一个1n矩阵K，使闭环系统：,以 为极点的充要条件是闭环系统完全可控。,给定任意n个极点 ,可以是实数或共轭复数。,证明（充分性） ：,由于非奇异变换不改变特征值，所以不妨设状态反馈前的系统为可控规范型(?)，即,其传递函数为,设状态反馈矩阵为,于是,闭环系统传递函数为,因此，只需取,则当,就可使,即以任意给定的 为极点。,,对完全可控的单输入单输出系统，极点配置不改变系统零点分布状态。
由于n阶系统含有n个可以调节的参数，因此状态反馈对系统品质改进程度远比输出反馈好。
极点配置法常用于进行系统校正（效果？）。
若系统为一般形式，矩阵K可按下式计算：,小结：,式中 TC 为使系统化成可控标准型的相似变换阵。,系统状态反馈后系统完全可观测条件：,设如下单输入单输出系统是可控又可观测的：,且具有如下可控规范型形式：,则采用系统状态反馈后，闭环系统仍保持可观性的充要条件是：,即原系统是无零点系统。,当控制系统工作于伺服状态时，除了要确定反馈矩阵K外，通常还引入比例放大器k，此时系统闭环传函为：,无零点系统特点？,（输入不带导数项！）,伺服系统极点配置原理图,比例放大器为何要放在前端？
多输入、多输出系统状态反馈后保持可观性条件？,单输入、单输出系统极点配置计算步骤:,设系统状态方程为,使闭环系统的特征值为 时反馈矩阵K的计算步骤为：,（1） 检验系统的可控性。如果系统是可控的，进行下一步；,（2） 从矩阵A的特征多项式,来确定 值；,（3） 求,（4） 利用期望的特征值，写出期望的特征多项式,并确定 值,（5 ）求状态反馈矩阵K,Example,设系统状态方程为,式中,希望该系统的闭环极点为,试确定状态反馈增益矩阵K,（1）首先检验系统的可控性矩阵,可控性矩阵的秩为3，系统完全可控,（2）矩阵A的特征多项式,（4） 利用期望的特征值，写出期望的特征多项式,（3）求,（5） 求状态反馈增益矩阵K,4.2.3 多输入系统极点配置法,设多输入系统状态空间表达式为：,其中： x为n维， v为r维,引入线性反馈控制律：,其中 K为r n维反馈矩阵，则闭环系统状态方程变成：,方法1：转化为等价的单输入系统,方法2：利用多变量系统的可控规范型,分析：,闭环特征式只有n个待定系数！
单输入单输出系统，矩阵K唯一；
多输入系统，矩阵K有nr个待定元素，结 果不唯一！,处理：,4.3 系统镇定问题,镇定问题：
受控系统通过状态反馈或输出反馈，使得闭环系统渐近稳定，这样的问题称为。,4.3.1 概述,古典控制论中：,闭环比开环有优越性，但前提是闭环必须稳定；
开环稳定，闭环稳定否？开环不稳定呢？,现代控制论：,利用状态反馈等可获得优异性能，但构成的反馈系统是否稳定呢？,4.3.2 镇定方法（状态反馈/输出反馈）,（1 ）完全可控系统镇定方法,设系统状态方程为,反馈方程为,镇定条件：
只要闭环极点位于复平面的左半平面内（若是离散系统，只要求闭环极点位于复平面单位圆内）。,注意“稳定”、“渐近稳定”、“镇定”区别与联系！,引入状态反馈矩阵后，系统状态方程为：,由于系统是可控的，根据极点配置理论可知，可以通过状态反馈矩阵使闭环系统的极点得到任意配置，因此，只要适当处理，就可以将闭环系统的特征值配置在[s]平面的左半平面。,分析：,通过状态反馈矩阵K，可以使完全可控系统镇定。,（2 ） 系统不完全可控时镇定处理,如果系统不完全可控，则线性状态反馈使系统获得镇定的充要条件为：系统不可控部分是渐近稳定的，即系统不稳定的极点全部分布在系统的可控部分。,如果系统是完全可控的，则系统可镇定。
系统可镇定，状态不一定完全可控。,分析：
古典控制论中：开环系统不稳定，闭环系统仍可稳定。,不完全可控系统镇定条件：,（3 ） 线性定常系统输出反馈镇定问题,通过输出反馈，可以使系统镇定的充要条件是：
（1）其可控又可观测部分是可以镇定的。
（2）其可控不可观、可观不可控或既不可观又不可控部分的特征值具有负实部。,如果线性系统输出反馈是可镇定的，则该系统状态反馈必可镇定。但是，一个状态反馈可以镇定的系统其输出反馈不一定可镇定。,推论：,比状态反馈镇定条件严格。
因输出反馈对系统性能改善能力也不如前者，故现代控制论中，常用状态反馈。,Example,考虑线性定常系统,其中,分析其输出反馈可镇定性条件,通过对系统(A,B,C)的可控性矩阵M和可观测性矩阵N的分析可知，系统(A,B,C) 是完全可控和可观测的。,系统(A,B,C)的特征多项式为,由Roth判据可知，系统不是稳定的。,采用输出反馈,式中反馈矩阵为,则闭环系统的系数矩阵为,闭环系统的特征多项式为,若取,则闭环系统的特征多项式为,其特征根为,可见闭环系统是渐近稳定的，即通过输出反馈可以使系统得到镇定。,4.4 系统解耦问题,多输入多输出系统的传递函数矩阵一般具有下面的形式：,耦合：,4.4.1 概述,由于,每一个输入 和多个输出有关联；
每一个输出 受多个输入控制。,使每个输出仅受一个输入控制，而且不同输出受不同输入控制，即将传递函数阵变换成非奇异对角型形式：,这种现象称为耦合。,解耦：,耦合给系统分析、综合、使用带来困难（举例）。,4.4.2 补偿器解耦,如图所示，设Gp为原系统的传递函数矩阵，Gc为补偿器传递函数矩阵。则前向通道函数矩阵为：,反馈回路矩阵为,解耦原理：,为何将补偿器放在前面？,闭环系统的传递函数矩阵为：,整理，得,或,则, 应为对角矩阵！(分析？),为了实现解耦，要求W(s)为对角矩阵， [I-W(s)]也为对角矩阵。,解耦计算：,已知系统方块图与期望的传递函数对角矩阵W(s),（1）首先求出不包含补偿器的受控对象部分的传递函数矩阵Gp(s),（2）根据,,（3）,解耦条件？,输入、输出维数相等，原系统传函阵满秩，…,4.4.3 状态反馈解耦,设系统状态空间表达式为,状态反馈系统方块图为,其中，Q为输入变换矩阵，K为非奇异的反馈矩阵。其反馈方程为：,设系统输出矩阵C的行向量分别为,采用输入信号变换＋状态反馈控制使系统解耦的充要条件为（有条件的！）：,矩阵E是非奇异矩阵!,式中,, di 为0到n-1间的一个正整数。,若选取反馈矩阵,式中,输入信号变换矩阵：,则图示闭环系统的状态空间表达式为：,系统闭环传递函数矩阵为：,解耦计算步骤：,（1）求E，并判定奇异性；若非奇异，继续；,（2）求Q和K；,（3）写出解耦系统状态方程；,（4）写出传递函数矩阵。,分析：,解耦后，传函对角线各元素均为积分环节。称为积分型解耦系统。
积分型解耦系统的闭环极点全是零，使系统不稳定。因此需要通过极点配置进一步加以校正。,两种解耦方法比较？,4.5 状态观测器,概述：,系统输出 系统状态：关键在状态！(怎知？)
利用状态反馈可以配置理想极点，获得希望的动态性能（系统可控条件下）；
利用状态反馈可以实现系统镇定；
利用状态反馈可以使系统解耦（一定条件下）。, 前提条件：如何得到全部状态变量！,研究系统状态的意义：,状态重构：,根据系统可量测参量，人为构造出系统状态，使之在一定条件下与真实状态等价。,系统状态反映的是系统各阶动态行为；
为内部变量，无法全部直接量测；
系统输出能够反映状态变化，但为状态的线性组合，不能直接得到各阶状态！
放弃状态? or 状态重构?,状态获得分析：,复杂系统几乎没有不使用状态观测器的！,状态重构基本要求：,可替代性：构造出的状态应在一定程度上与真实状态等价。,重构系统也必须是动态系统，且应与原系统同步 同一个输入，系统结构相似！
重构出的状态要满足一定精度要求 误差分析！
重构系统响应要快 初始状态没法一样！,下面看一下如何解决这些问题。,设系统是可观测且线性可微的，其动态方程为,以原系统的输入u和输出y作为重构系统的输入（？），其动态过程可描述为,为加权矩阵（配置矩阵）,重构原理：,-,状态观测器的误差模型为,有,其解为,由于系统是可观测的（哪一个？），总存在一个 使得 具有任意所期望的特征值。,分析：,状态观测器：,如果动态系统 以系统 的输入和输出作为它的输入量，并满足 ，则称动态系统 为 的状态观测器。,状态观测器构建原则：,（1）观测器以原系统的输入和输出作为其输入；
（2）观测器设计条件：原系统可观测，或者x中不可观测部分是渐近稳定的(?)；,（3）估计出的系统状态 要尽快逼近x；,（4）观测器要具有高的抗干扰性；
（5）观测器的结构应尽可能简单。,4.5.2 全维状态观测器,考虑线性定常系统,假设系统是完全可观测的，u和y可直接测量。,是一个以y和u为输入的n维动态系统，不论该系统与原系统之间的初始状态的关系如何,该系统的状态与原系统的状态之间总存在如下关系：,全维状态观测器:,观测器框图：,-,全维状态观测器的状态方程为,其中：,是反馈修正项，目的是用 来消除 的误差。Ke应按照前面给出的条件确定。,状态观测器极点选取？比被观测系统极点稍远一些。
对阶数较高的复杂系统设计观测器时，需先化成可观测规范型。,4.5.3 降维状态观测器,考虑线性定常系统,既然系统具有m个输出，则可以得到m个状态，这些状态可以直接加以利用而无需重构，这样由状态观测器估计的状态数目可以降低，这类状态观测器称为降维观测器。,基本思想：,简化了状态观测器结构，节约了成本；提高了状态重构速度，便于应用！
如何应用m个输出变量（分析）？余者如何重构？,为了将m个输出分量作为状态向量使用，需作如下坐标变换，即：,其前m行为输出矩阵C，后（n-m)行可以任意构造，只要保证P为非奇异矩阵即可。,坐标变换矩阵P可按下法构造：,m个输出如何使用？（1）求出m个状态？（2）直接将输出作为“某种状态”使用？,将P的逆矩阵分块为,则由,得：,仅需重构(n-m）维状态分量,,经坐标变换 ，状态空间表达式为：,令：,得：,包含 的子系统的状态空间表达式为：,重新定义输入和输出，即：,则,,为消去导数项，引入变换,则,它是一个以u,y为输入的(n-m)维动态系统,由,则整个系统的状态重构值为,状态重构过程：,,,,降维观测器的设计算法：,条件：系统(A,B,C) 可观测，C为行满秩，且秩为m,(1)构造变换矩阵P, 其前m行即为C，并添上后(n-m)行,使得P为非奇异矩阵。令,(2)利用坐标变换 将系统(A,B,C)化成,(3)选择 维矩阵 使得矩阵 具有预先指定的特征值,（4）构造（n-m）维降维状态观测器，以获得变量z,（5）构造出系统的重构状态,全维、降维状态观测器比较：,（1）降维观测器结构简单，易实现；
（2）全维观测器中输出y经积分滤波后传送到输入端，重构状态中的观测噪声大为减小；
（3）在降维观测器中，输出y经Q1矩阵直接传送到重构状态中，若y中包含了严重的观测噪声，则重构状态的精度要受到很大影响。,4.6 带状态观测器的状态反馈控制系统特性,带全维状态观测器的状态反馈控制系统，由于系统方程为n维，状态观测器也为n维，所以整个系统为2n维。,问题：
加挂了状态观测器后，对整个系统有无影响？,分析(以全维状态观测器为例)：,系统结构图如后图所示。,整个闭环系统的状态方程可写为,写成矩阵形式,为了便于分析，引入n维观测误差向量 。其一阶微分为：,整理后，得：,复合系统的特征方程为：,n维观测误差向量对u是不可控的，即无论u如何，观测误差向量都按预先设计的速度趋向于零。,即：,因：,状态反馈极点配置要求,状态重构极点配置要求,控制器的动态特性与观测器的动态特性是相互独立的；,状态反馈的引入也不影响已经设计好的观测器的特征多项式 及其相应特征值。,状态反馈控制律的设计与状态观测器的设计可分开独立进行。
“分离原理”。,观测器的引入不影响由状态反馈矩阵K所配置的系统特征多项式 及相应的特征值；,4.7 渐近跟踪鲁棒调节器,4.7.1 概述, 随动控制问题，又常称为跟踪问题。,控制系统分类中，,按照控制目的：
恒值控制：使系统输出值保持恒定；
随动控制：系统输出以给定精度跟踪参考输入信号，即系统输出随输入变化而变化。,系统输入信号分类：,控制信号：使系统正常工作施加的信号；
扰动信号：系统工作时受到的其它外部信号。,扰动信号分类：,随机性扰动：具有随机性质的扰动信号；
确定性扰动：具有确定函数形式的扰动信号。, 本节只讨论在确定性扰动作用下受控系统的跟踪问题。,在系统输入信号r(t)和扰动信号w(t)共同作用下，线性定常、可控又可观系统状态空间表达式为：,其中：,设计目标：,确定控制律u(t)，使得系统输出y(t)在扰动作用下仍然能够准确跟踪参考输入信号r(t)。,跟踪误差：,跟踪条件（渐近跟踪）：,对线性定常系统，上式等价于：,及：,,渐近跟踪,,外扰抑制,标称模型（ nominal model )：,设计时依据的数学模型，称为~。,鲁棒性（robustness）：,若系统实际模型与标称模型存在较大差异时，系统仍然具有较好的控制品质，称控制系统具有较好的鲁棒性。,设计系统时，必须考虑鲁棒性问题！
古典控制论中，闭环系统具有较好的鲁棒性。,鲁棒调节器：,若在系统矩阵参数发生波动的情况下，系统仍然保持渐近跟踪和外扰抑制品质，称这种控制器为~。,4.7.2 阶跃输入和外扰下的鲁棒调节器,基本思想：,构成I型系统＋极点配置。,两个满足：渐近跟踪＋外扰抑制,为简单起见，设系统状态空间表达式为：, I型系统：可以准确跟踪阶跃信号。
需要在原系统中人为添加积分器！
极点配置：通过状态反馈矩阵可以人为配置极点位置。
借助极点配置，不仅可以改善系统动态性能，也可以保证系统即使存在一定的参数误差也能够正常工作！
要根据具体情况进行极点重新配置！,其中：,引入积分器，对跟踪误差进行积分，得：,此外：,将积分器与受控系统串联，并将 作为附加状态变量，可得增广的系统状态方程：,渐近跟踪鲁棒调节器示意图,增广系统的可控性矩阵为：,式中：,当原系统可控时，有：,则：,由此，增广系统可控的充要条件为：,为了在系统参数变化情况下，系统仍然可以正常工作，引入状态反馈：,则其闭环系统状态空间表达式为：,根据期望的闭环特征多项式，可以确定状态反馈矩阵k1，k2 。当受控系统的状态不能直接测量时，可用重构状态代替。,下面考察一下闭环系统的外扰抑制特性。,对增广系统状态方程两边取拉式变换，得：,则有：,对阶跃形式的参考输入和扰动，有：,代入上式，得：,由于引入积分器，导致E(S)表达式中含有s因子，它与W(S)和R(S)中的1/s形成对消，从而保证闭环系统无静差。利用极点配置，保证了不管A,B,C如何波动，只要闭环系统是稳定的，就可实现渐近跟踪，且具有良好的快速性。,4.8 鲁棒调节器的一般构造,
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