1、专题 7 三角函数的图象与性质 第 1 页（共 9 页） 专题 7 三角函数的图象与性质 高考在考什么 【考题回放】 1.已知函数 xbxaxf c o ss in)( （ a 、 b 为常数， 0a ， Rx ）在4x处取得最小值，则函数 )43( xfy 是 （ D ） （ A） 偶函数且它的图象关于点 )0,( 对称 （ B） 偶函数且它的图象关于点 )0,23( 对称 （ C） 奇函数且它的图象关于点 )0,23( 对称 （ D） 奇函数且它的图象关于点 )0,( 对称 2 定义在 R 上的函数 )(xf 既是偶函数又是周期函数，若 )(xf 的最小正周期是 ，且当 2,0 x 时，
2、xxf sin)( ，则 )35(f 的值为 （ D ） （ A） 21 （ B） 21 （ C） 23 （ D） 23 3 函数 y = xcosx 的部分图象是 ( D ) 4 存在 )2,0( 使 31cossin aa 存在区间（ a， b）使 xy cos 为减函数而 xsin 0 xy tan 在其定义域内为增函数 )2s in (2c o s xxy 既有最大、最小值，又是偶函数 |62|sin xy 最小正周期为 以上命题错误的为 _. 5 把函数 y=cos(x+ 34 )的图象向右平移 个单位，所得的图象正好关于 y 对称，专题 7 三角函数的图象与性质 第 2 页（共 9
3、 页） 则 的最小正值为 36 设函数 f（ x） =asinx+bcosx（ 0）的最小正周期为 ，并且当 x=12时，有最大值 f（12） =4. （ 1）求 a、 b、 的值； （ 2）若角 、 的终边不共线， f（ ） =f（ ） =0，求 tan（ +）的值 . 【 专家解答 】（ 1）由2=， 0 得 =2. f（ x） =asin2x+bcos2x. 由 x=12时， f（ x）的最大值为 4，得.3224232422bababa ， （ 2）由 (1)得 f（ x） =4sin（ 2x+3） , 依题意 4sin（ 2+3） =4sin（ 2+3） =0. sin（ 2+3）
4、sin（ 2+3） =0. cos（ +3） sin（ ） =0 、 的终边不共线，即 k（ k Z）， 故 sin（ ） 0. +=k+6（ k Z） . tan（ +） =33. 高考要考什么 【考点透视】 本专题主要涉及 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 . 掌握两种作图方法：“五点法 ”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性 . 【热点透析】 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.o
5、mwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆常见题型： 1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函
6、数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆三角函数与其他知识相结合的综合题 目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.
7、omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆3新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆三角函数与实际问题的综合应用新疆源头学子小屋 特级教师 王
8、新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆专题 7 三角函数的图象与性质 第 3 页（共 9 页） 突破重难点 【范例 1】 右图为 )sin( xAy 的图象的一段，求其解析式。 解析 法 1 以 M 为
9、第一个零点，则 A= 3 ， 2 所求解析式为 )2sin(3 xy 点 M（ )0,3在图象上，由此求得 32 所求解析式为 )322s in(3 xy 法 2. 由题意 A= 3 ， 2 ，则 3 sin(2 )yx 图 像过点 7( , 3)12 73 3 s in ( )6 73 3 s in ( )6 即 7 2.62k 2 2.3 k 取 2 .3 所求解析式为 23 sin(2 )3yx 【点晴】 1. 由图象求解析式时 ,”第一零点 ”的确定很重要 ,尽量使 A取正值 . 2. 由图象求解析式 kxAy )s in( 或由代数条件确定解析式时 ,应注意 : (1) 振幅 A=
10、)(21minmax yy (2) 相邻两个最值对应的横坐标之差 ,或一个单调区间的长度为 T21 , 由此推出 的值 . (3) 确定 值 ,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定 . 【文】 设函数 )(),0( )2s in ()( xfyxxf 图像的一条对称轴是直线 8x 。 （ ）求 ；（ ）求函数 )(xfy 的单调增区间； （ ）画出函数 )(xfy 在区间 ,0 上的图像。 解析 （ ） )(8 xfyx 是函数 的图像的对称轴， ,1)82s in ( ,.42k k Z .43,0 （ ）由（ ）知 ).432s in (,43 xy因此 由题意得 .,2243222 Zk
11、kxk 所以函数 .,85,8)432s i n ( Zkkkxy 的单调增区间为 专题 7 三角函数的图象与性质 第 4 页（共 9 页） （ ）由 知)432sin( xy x 0 8 83 85 87 y 22 1 0 1 0 22 故函数 上图像是在区间 ,0)( xfy 【点晴】 此题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力 . 【范例 2】 已知函数 )c o s(s inlo g)(21 xxxf ， （ 1）求它的定义域和值域；（ 2）求它的单调区间；（ 3）判断它的奇偶性； （ 4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。 解析 （ 1）由题意得
12、sinx-cosx 0 即 0)4sin(2 x ， 从而得 kxk 242 ， 函数的定义域为 ），（ 45242 kk Zk ， 1)4sin(0 x ，故 0 sinx-cosx 2 ，所有函数 f(x)的值域是 ),21 。 （ 2）单调递增区间是 ）， 452432 kk Zk 单调递减区间是 ），（ 43242 kk Zk ， （ 3）因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故 f(x)是非奇非偶函数。 （ 4） )()2c o s ()2 s i n (l o g)2(21 xfxxxf 函数 f(x)的最小正周期 T=2。 【点睛】 此题主要是考察 对数函数与三角函
13、数复合而成的复合函数的性质 【文】 已知 向量 a = ( 3 ， 2)， b =( )co s,2sin 2 xx ，（ )0 。 （ 1）若 ()f x a b ，且 )(xf 的最小正周期为 ，求 )(xf 的最大值，并求 )(xf 取得最大值时 x 的集合； 专题 7 三角函数的图象与性质 第 5 页（共 9 页） （ 2）在（ 1）的条件下， )(xf 沿向量 c 平移可得到函数 ,2sin2 xy 求向量 c 。 解析 ()f x a b = 1)62s in (2c o s22s in3 2 xxx ， T= ， 1 )(xf = 1)62sin(2 x ， 1maxy ，这时
14、x 的集合为 Zkkxx ,3 （ 2） )(xf 的图象向左平移 12 ，再向上平移 1 个单位可得 xy 2sin2 的图象，所以向量 c = )1,12( 。 【点晴】 此题 是三角函数与向量的综合题， 主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象 平移 等基本知识 . 【范例 3】 设函数 xcxbaxf s inc o s)( 的图象经过两点（ 0， 1），（ 1,2），且在 2|)(|20 xfx 内 ，求实数 a 的的取值范围 . 解析 由图象过两点得 1=a+b， 1=a+c， )4s i n ()1(2)c o s) ( s i n1()(,1,1 xaaxxaa
15、xfacab 1)4s i n (2 2,4344,20 xxx 则 当 a 1 时， 2|)(|,)21(2)(1 xfaxf 要使， 只须 2)21(2 a解得 2a 当 1)()21(2,1 xfaa 时 要使 2)21(22|)(| axf 只须 解得 234a ， 故所求 a 的范围是 2342 a 【点睛】 此题是恒成立问题在三角函数中的应用。恒大于问题，大于最大值；恒小于问题，恒小于最小值 . 【 变式 】 若函数 )4s in (s in)2s in (2 2c o s1)( 2 xaxxxxf的最大值为 32 ，试确定常数 a 的值 . 解析 )4s i n (s i n)2
16、s i n (21c o s21)( 22 xaxxxxf )4s i n (c o ss i n)4s i n (s i nc o s2 c o s2 222 xaxxxaxx x )4s i n ()2()4s i n ()4s i n (2 22 xaxax 因为 )(xf 的最大值为 )4sin(,32 x 的最大值为 1，则 ,322 2 a 专题 7 三角函数的图象与性质 第 6 页（共 9 页） 所以 3a 【 点晴 】 此题是三角函数 “合一变换 ”求最值的应用 【范例 4】 已知二次函数 )(xf 对任意 Rx ，都有 )1()1( xfxf 成立，设向量 a （ sinx，
17、 2）， b （ 2sinx， 21 ）， c （ cos2x， 1）， d （ 1， 2），当 x 0， 时，求不等式 f（ ab） f（ cd）的解集 解析 设 f（ x）的二次项系数为 m，其图象上两点为（ 1-x， 1y ）、 B（ 1 x， 2y ） 因为 12 )1()1( xx ， )1()1( xfxf ，所以 21 yy ， 由 x 的任意性得 f（ x）的图象关于直 线 x 1 对称， 若 m 0，则 x1时， f（ x）是增函数，若 m 0，则 x1时， f（ x）是减函数 (sinxab ， xsin2()2 ， 11sin2)21 2 x ， (cos2xcd ， 1
18、()1 ， )2 122cos x ， 当 0m 时， 2( ) ( ) ( 2 s i n 1 ) ( c o s 2 1 )f f f x f x a b c d 1sin2 2 x 02c o s222c o s12c o s122c o s xxxx 02cos x 22 k 2322 kx ， Zk 0 x ， 434 x 当 0m 时，同理可得 40 x 或 43 x 综上 ( ) ( )ffa b c d的解集是当 0m 时，为 434| xx ； 当 0m 时，为 40| xx ，或 43 x 【 点晴 】 此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重
19、点和难点 . 【变式】 试判断方程 sinx= 100x 实数解的个数 . 解析 方程 sinx= 100x 实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= 100x 的图象交点个数 |sinx|1 | 100x |1, |x|100 当 x0时， 如 右 图 ， 此时两线共有 100 个交点，因 y=sinx 与 y= 100x 都是奇函数，由对称性知当 x0 时，也有 100个交点，原点是重复计数的所以只有 199 个交点。 【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性 . 100 专题 7 三角函数的图象与性质 第 7 页（共 9 页） 自我提升 1
20、右图是周期为 2 的三角函数 y=f(x) 的图象，那么 f (x)可以写成（ D ） （ A） sin(1+x) （ B） sin(-1-x) （ C） sin(x-1) （ D） sin(1-x) 2 为了得到函数 )62sin( xy 的图象，可以将函数 xy 2cos 的图象（ B ） (A) 向右平移6个单位长度 （ B）向右平移3个单位长度 （ C） 向左平移6个单位长度 (D) 向左平移3个单位长度 3 （理） 函数 y=sinx 的定义域为 a,b，值域为 21,1 ，则 b-a 的最大值和最小值之和为（ B ） （ A） 34 （ B） 2 （ C） 38 （ D） 4 （文
21、） 函数 f(x)=cos2x+sin(2+x)是 ( D ) （ A） 非奇非偶函数 （ B） 仅有最小值的奇函数 （ C） 仅有最大值的偶函数 （ D） 既有最大值又有最小值的偶函数 4 给出四个命题，则其中正确命题的序号为 ( B ) 存在一个 ABC，使得 sinA+cosA= 1; ABC 中 ,A B 的充要条件为 sinA sinB; 直线 x=8是函数 y=sin(2x+45)图象的一条对称轴； ABC 中，若 sin2A=sin2B,则 ABC 一定是等腰三角形 . （ A） （ B） （ C） （ D） 5 函数 y = -2sin(4x+ 32 )的图象与 x 轴的交点中
22、 , 离原点 最近的一点的坐标是 _ (12 , 0) 6 如果图象 x2+y2k2至少覆盖函数 kxy sin3 的一个最大值点和一个最小值点，则正整数 k 的最小值为 2. 7 已知定义在区间 32, 上的函数 )(xfy 的图象关于直线 6x 对称， 当 32,6 x 时，函数 )22,0,0()s i n ()( AxAxf ， 其图象如图 . （ 1）求函数 )(xfy 在 32, 的表达式； 专题 7 三角函数的图象与性质 第 8 页（共 9 页） （ 2）求方程 2()2fx的解 . 解析 （ 1） 当 2 , 63x 时， 函数 ( ) s in ( ) ( 0 , 0 , )
23、22f x A x A ，观察图象易得： 1 , 1 , 3A ，即函数 ( ) sin( )3f x x ，由函数 ()y f x 的图象关于直线 6x 对称得， , 6x 时， 函数 ( ) sinf x x . 2s in ( ) , 3 6 3()s in , )6xxfxxx . （ 2）当 2 , 63x 时， 由 2sin( )32x 得， 353 4 4 1 2 1 2x x x 或 或； 当 , 6x 时，由 2sin 2x得， 344xx 或 . 方程 2() 2fx 的解集为 35 , , , 4 4 1 2 1 2 【文】 已知函数 )2|,0,0A)(xs in (A
24、)x(f 的图象在 y 轴上的截距为 1，它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 )2,( 0x 和 )2,3( 0 x . (1)试求 )x(f 的解析式； (2)将 )x(fy 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 31 （纵坐标不变），然后再将新的图象向 x 轴正方向平移 3 个单位，得到函数 )x(gy 的图象 .写出函数 )x(gy 的解析式 . 解析 （ 1）由题意可得： 6T ， 2A ， )31s in (2)( xxf ， 专题 7 三角函数的图象与性质 第 9 页（共 9 页） 函数图像过（ 0， 1）， 21sin ， 2 ， 6 ， )63s in (2)( xx
25、f ； （ 2） )6sin(2)( xxg 8 已知函数 .3c o s33c o s3s in)( 2 xxxxf （ ）将 f(x)写成 )sin( xA 的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程 （ ）如果 ABC 的三边 a、 b、 c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域 . 解析 (1)2 3)332s i n (2 332c o s2 332s i n21)32c o s1(2 332s i n21)( xxxxxxf由 )332sin( x =0 即 zkkxzkkx 2 13)(332 得 即对称中心的横坐标为 zkk
26、 ，2 13 （ ）由已知 b2=ac， 2 2 2 2 2 21c o s 2 2 2 2a c b a c a c a c a cx a c a c a c ， 1 2 5c o s 1 02 3 3 3 3 952| | | | sin sin ( ) 13 2 9 2 3 3 3233 sin ( ) 13 3 2xxxxx ， ， ，即 )(xf 的值域为 231,3( . 【文】 )33s in (32)( xxf （ 0） （ 1）若 f (x +)是周期为 2的偶函数，求 及 值 （ 2） f (x)在（ 0， 3 ）上是增函数，求 最大值。 解析 （ 1）因为 f (x +)= )333s in (32 x 又 f (x +)是周期为 2的偶函 数， 故 kk 6,31 Z （ 2）因为 f (x)在（ 0， 3 ）上是增函数，故 最大值为 61
