1、 1 等价转化思想在充要条件中的应用 在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想 。 例如互为逆否命题的两个命题 （ 原命题与逆否命题或逆命题与否命题 ）一定同真或同假，它们 都是 等价的 。 但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真 。 【规律总结】 命题的充要关系的判断方法 定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性。 等价法： p是 q的什么条件等价于 q是 p的什么条件。 利用集合间的包含关系判断：建立命题 p、 q的 相应集合： p： A x|p（ x）成立 ， q：B x|q（ x）成立 ，转化为判定 A与 B间的关系
2、 。 练习 ： 已知 p： x y2， q： x， y不都是 1，则 p是 q的 _条件 。 思路 分析 ： p和 q中都含有否定词语，直接判断较为困难，可采用间接判断 。 答案： p： x y2， q： x1或 y1， p： x y 2， q： x 1 且 y 1。 p q，但 q p， q是 p的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件 。 技巧点拨： 由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由 p q较困难时，可利用等价转化，先判断由 q p，从而得到 p q。 例题 已知 p： 2x2 9x a0），且 p 是 q 的必要而不充分条件，求实数 m的取值范围 。 思路分析： p
3、是 q的必要而不充分条件 ， 等价于 q是 p的必要不充分条件 ， 化简 p和 q后 ， 借助集合间的包含关系即可求得 m的 取值 范围 。 答案： 方法一 由 q： x2 2x 1 m20，得 1 mx1 m， q： A x|x1 m或 x0， 2 由 113x2，解得 2x10， p： B x|x10 或 x9， m9。 方法二 p是 q的必要而不充分条件， p是 q的充分而不必要条件， 由 q： x2 2x 1 m20，得 1 mx1 m， q： Q x|1 mx1 m， 由 113x2，解得 2x10， p： P x| 2x10。 p是 q的充分而不必要条件， P Q， 0121 10
4、mmm ， 或 0121 10mmm ， 即 m9或 m9， m9。 技巧点拨： 本例 题 涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决。一般地，在涉及字母参数的充要关系问题中，常常要利用集合的包含 、 相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键。 等价转化思想 在证明题中 的应用 等价转化思想是包含在化归思想中的比较具体的一种数学思想 ， 主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之 间的等价转化等 ， 即以充要条件为基础 ， 把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式 ， 从而使复杂问题
5、简单化、具体化。 【 满分训练】 证明：若 a2 b2 2a 4b 3 0，则 a b 1。 思路分析： 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题 。 答案： 证明： 命题 “若 a2 b2 2a 4b 30，则 a b1”的逆否命题是 “若 a b 1，则 a2 b2 2a 4b 3 0”。 由 a b 1 得 a2 b2 2a 4b 3 （ a b）（ a b） 2（ a b） 2b 3 a b 1 0。 原命题的逆否命题是真命题， 原命题也是真命题 。 故若 a2 b2 2a 4b 30，则 a b1。 技巧点拨： 原命题和逆否命题真假性相同，故当判断一个命题 的真假 不易解决时，常等价转化为判断或证明其逆否命题的真假。
