1、第 1 页 共 8 页 类型二、 离散型随机变量的二项分布 例 3. 一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑球得 1 分。 （ ）若从袋子里一次随机取出 3 个球，求得 4 分的概率； （ ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸 3 次，求得分 的概率分布列。 【思路点拨】 有放回地依次取 3 次 ，相当于三次独立重复试验， 其 得分 服从 二项分布， 故可用 n 次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。 【解析】 （ ）设 “一次取出 3 个球得 4 分 ”的事件记为 A， 它表示
2、取出的球中有 1 个红球和 2 个黑球的情况，则53)( 352312 CCCAP（ ）由题意， 的可能取值为 3 4 5 6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.53,52 取到黑球的概率为 12527)53()3( 333 CP 1 2 55452)53()4( 223 CP 12536)52()53()5( 213 CP 1258)52()6( 303 CP 的分布列为 3 4 5 6 P 12527 12554 12536 1258 【总结升华】 本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量 服从 二项分布 ，然后运用 n
3、 次独立重复试验的概率公式计算。 注意 n 次 独立重复试验中， 离散型随机变量 X 服从二项分布，即 ( , )X B n p ，这里 n 是独立重复试验的次数， p 是每次试验中某事件发生的概 率。 举一反三： 【变式 1】 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布 【答案】 依题意，随机变量 B(2， 5%)所以， 第 2 页 共 8 页 P( =0)= 02C (95%)2 =0.9025， P( =1)= 12C (5%)(95%)=0.095， P( 2 )= 22C (5%)2 =0.0025 因此，次品数 的概率分
4、布是 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 【高清课堂： 独立重复试验与二项分布 409089 例题 3】 【变式 2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到 学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相 互 独立的，并且概率都是 31 。 （ 1） 求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列； （ 2） 求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的分布列； （ 3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解：（ 1） B(5, 31 )， 的分布列为 P( =k)= 55 12( ) ( )33k k kC ， k=0， 1， 2， 3， 4， 5
5、； （ 2） 的分布列为 P( =k)=p(前 k个是绿灯，第 k+1个是红 灯 )= 21()33k ， k=0， 1， 2， 3， 4； P( =5)=P(5个均为绿灯 )= 52()3 ； （ 3）所求概率 =P( 1)=1 P( =0)=1 52 211()3 243 0.8683. 【变式 3】 一袋中有 5 个白球， 3 个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时总共取了 X 次球，求 X 的分布列及 P（ X=12） 【答案】 由题意知， X 是取球次数， X=10， 11， 12，且每次取得红球的概率是 38 ，取得白球的概率是
6、58 ，所以 X=k（ k=10， 11， 12）表示取了 k 次球，且第 k 次取到的是红球，前（ k 1）次取得 9 次红球 X 的分布列为 9 1()kP X k C 9 100 1 3 5 3() 8 8 8kkP X k C （ k=10， 11，）， （表格略） 1 0 2911 35( 1 2 ) 88P X C 【变式 4】 某射手击中目标的概率为 0.8，现有 4 发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X 的概率分布 【答案】 错解 ： X 的可能取值是 1， 2， 3， 4 P（ X=1） =0.8； 12( 2 ) 0 .8 0 .2 0 .3 2P X C ；
7、 123( 3 ) 0 . 8 0 . 2 0 . 0 9 6P X C ； 第 3 页 共 8 页 134( 4 ) 0 . 8 0 . 2 0 . 0 2 5 6P X C 所以 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 0.8 0.32 0.096 0.0256 错解分析 ： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件 A 首次发生出现在第k 次试验中的概率，要使首次发生出现在第 k 次试验，必须而且只需在前（ k 1）次试验中都出现 A 正解 X 的可能取值是 1， 2， 3， 4 P（ X=1） =0.8； P（ X=2） =0.20.8=0.16； P（ X=3）
8、 =0.220.8=0.032； P（ X=4） =0.23=0.008 所以 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008 类型三、 独立重复试验与二项分布 综合应用 例 4.甲、 乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 2334和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响 . （）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率； （）假设某人连续 2 次未击中目标，则停止射击 .问 :乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？ 【思路点拨】 本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标
9、都是相互独立的、可以重 复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的 .第二问解答时要认清限制条件的意义 . 【解析】 （ 1）记 “ 甲连续射击 4 次，至少 1 次未击中目标 ” 为事件 A1，由题意，射击 4 次，相当于 4 次独立重复试验，故 P（ A1） = 41 2 6 51 ( ) 1 ( )3 8 1PA 答：甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率为 6581 ； (2) 记 “ 乙恰好射击 5 次后，被中止射击 ” 为事件 A3， “ 乙第 i 次射击未击中 ” 为事件 Di，（ i=1， 2， 3，4， 5），则 33 5 4 2 1 1(
10、 ) ( ) 4iA D D D D D P D且，由于各事件相互独立， 故 33 5 4 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P D P D P D P D D 1 1 3 1 1 4 5(1 ) ,4 4 4 4 4 1 0 2 4 答：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是 451024 【 总结升华 】 射击问题 必 须弄清 所求目标 的含义， 是否为独立重复试验，再用 排列组合知识 求解。 举一反三： 【变式 1】 一名射击爱好者 每次射击命中率为 0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命第 4 页 共 8 页 中率， (1)不小于 0.9？ (2)不
11、小于 0.99？ 【答案】 已知 n 次独立射击中至少击中一次的概率为 nnP )8.0(1)2.01(1 ； (1)要使 1 1 ( 0 .8 ) 0 .9nP p X ， 0.1 (0.8)n ,必须 3.108.0lg 1.0lg n，即射击次数必须不小于 11n 次 . (2)要使 99.0)8.0(1 nP ，必须 64.208.0lg 01.0lg n，即射击次数必须不小于 21n 次 【变式 2】 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 35 ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了 5 次，求： （ 1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率； （ 2）其中恰有 3
12、次击中目标的概率； （ 3）其中恰有 3 次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。 【答案】 （ 1）该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次击中目标， 相当于射击了 5 次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况， 又因为各次射击的结果互不影响， 故所求概率为 3 3 3 3 3 1 0 8(1 ) (1 )5 5 5 5 5 3 1 2 5P ； （ 2） 法一： 该射手射击了 5次，其中恰有 3次击中目标。 相当于 5 次当中选 3 次击中，其余两次未击中，共有 35C 种情况。 故所求概率为 3 3 25 3 3 2 1 6( ) (1 )5 5
13、 6 2 5PC ； 法二： 因为各次射击的结果互不 影响，所以符合 n次独立重复试验概率模型。 该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标的概率为 3 3 255 3 3 2 1 6( 3 ) ( ) (1 )5 5 6 2 5PC ； （ 3）该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而其他两次没有目标， 把 3 次连续击中目标看成一个整体，可得共有 13C 种情况。 故所求概率为 1 3 23 3 3 3 2 4( ) (1 )5 5 3 1 2 5PC 。 【高清课堂： 独立重复试验与二项分布 409089 例题 5】 【变式 3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶
14、”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； 第 5 页 共 8 页 （）求中奖 人数 的分布列 . 【答案】（ 1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、 B、 C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=16P(ABC )=P(A)P(B )P(C )= 1 5 252()6 6 216 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 25216 6 分 （ 2） 的可能值为 0,1,2,3 P( =k)= 33 15( ) ( )66k k kC (k=0,1,2,3) 所以中奖人数
15、 的分布列为 0 1 2 3 P 125216 2572 572 1216 例 5 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出， 第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 23 （ 1）求油罐被引爆的概率； （ 2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 X，求 X 的概率分布 【思路点拨】 从正面去分析可知： 5 发子弹必须击中 2 次，于是有以下几种情况：第 1 枪击中，第 2 枪也击中；第3 枪击中，前两枪只击中 1 次；第 4 枪击中，前 3 枪只击中 1 次；第 5 枪击中，前 4 枪
16、只击中 1 次而利用对立事件去分析更好理解 【解析】 （ 1）解法一：记 B 表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验， X=2， 3， 4， 5 X=2 表明第一次击中，第二次也击中， 2 2 4( 2 ) 3 3 9PX ； X=3 表明前 2 次击中一次，第 3 次击中， 1112 2 1 2 8( 3 ) 3 3 3 2 7P X C ； X=4 表明前 3 次击中一次，第 4 次击中， 1213 2 1 2 4( 4 ) 3 3 3 2 7P X C ； X=5 表明前 4 次击中一次，第 5 次击中， 1314 52 1 2 1 6( 5 ) 3 3 3 3P X C 第 6
17、页 共 8 页 所以，54 8 4 1 6 2 3 2() 9 2 7 2 7 3 2 4 3PB 解法二：利用 ( ) 1 ( )P B P B 油罐没有引爆的情况有两种：射击五次，都没击中；射击五次，只击中一次 所以 54151 1 2 2 3 2( ) 1 3 3 3 2 4 3P B C （ 2） X=2， 3， 4 时同（ 1），当 X=5 时，击中次数分别为 0， 1， 2 5 1 4 1 311541 2 1 2 1 2 1( 5 ) 3 3 3 3 3 3 9P X C C 所以 X 的概率分布为 X 2 3 4 5 P 49 827 427 19 【总结升华】 要特别注意 X
18、=5 的意义，当 X=5 时，表示 5 枪都未中或 5 枪中只中 1 枪或第 5 枪中且前 4枪只中了 1 枪这三种情况，否则 P（ X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验 举一反三： 【变式 1】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1 p，且各发动机互不影响如果至少 50的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的 P 而言，四发动机比二发动机更安全？ 【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为 2 2 2 3 3 4 4 2 2 3 44 4 4( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 ) 4 ( 1 )C p p C p p C p p p p p p ， 二发动机飞机成功
19、飞行的概率为 1 2 2 222(1 ) 2 (1 )C p p C p p p p 要使四发动机飞机比 二发动机飞机安全，只要 2 2 3 4 26 ( 1 ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 )p p p p p p p p ， 化简整理，得 2 13 p 当发动机不出故障的概率大于 23 时，四发动机飞机比二发动机飞机安全 【变式 2】 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。 （ I）若厂家库房中的每件产品合格率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验，求至少有 1 件是合格的概率。 （ ）若厂家
20、发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任意取 2 件进行检验，只有 2 件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家 检验出不合格产品数 X 的分布列 ， 并求该商家拒收这批产品的概率。 【答案】 （ I）记 “厂家任意取出 4 件产品检验，其中至少有一件是合格品 “为事件 A， 则 4( ) 1 ( ) 1 ( 0 , 2 ) 0 . 9 9 8 4P A P A （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 第 7 页 共 8 页 2 1 1 21 7 3 1 7 32 2 22 0 2 0 2 01 3 6 5 1 3( 0 ) , ( 1 ) , ( 2 )
21、 .1 9 0 1 9 0 1 9 0C C C CP X P X P XC C C 所以 X 的概率分布为 1 3 6 5 1 3 5 7 3( ) 0 1 21 9 0 1 9 0 1 9 0 1 9 0 1 01 3 6 2 711 9 0 9 5EXP 商 家 拒 收 这 批 产 品 的 概 率 为27所 以 ， 商 家 拒 收 这 批 产 品 的 概 率 为95例 6 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一大批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布 【思路点拨】 由于产品数量较大，从中任意连续抽取 2 件产品，相当于是 2 次独立重复试验。抽取的次品件数 服
22、从二项分布，即 B(2， 0.05)，算出相 应的概率即可得其概率分布。 【解析】 依题意，随机变量 B(2， 5%)所以， P( 0 )= 02C (95%)2 =0.9025， P( 1 )= 12C (5%)(95%)=0.095， P( 2 )= 22C (5%)2 =0.0025 因此，次品数 的概率分布是 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 【总结升华】 从产品中有放回地抽取是独立事件； 从小数量的产品中无放回地抽取不是独立事件，只能用等可能事件计算； 从大批量的产品中任意地连续取出 n 件产品可近似地看成是 n 次独立重复试验。 举一反三： 【变式】 在 某批很大数量的产品中，有 20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品的概率。 【答案】 从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于 2 次独立重复试验， 抽出的 二等品的件数 (2,0.2)B ， 所以取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品的概率： 2( 1 ) 1 ( 2 ) 1 0 . 2 0 . 9 6PP 。 X 0 1 2 P 136190 51190 3190 第 8 页 共 8 页
