1、第一节 二次曲线与直线的相关位置1绪论 二次曲线是一种重要的平面曲线在平面直角坐标系或仿射坐标系下，这种曲线的方程总是一个关于x和y的二元二次方程，故统称其为二次曲线二次曲线分为退化的和非退化的两大类，其中非退化的实曲线有椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线3种由于这3种曲线都可以看成一个平面与一个圆锥面的交线，人们也称其为圆锥曲线或圆锥截线 本章的重点是详尽地讨论一般二次曲线的各种性质 为了后面各章引用和讨论的方便，先对二次曲线的标准方程和一些简单的性质进行复习性的概述 在复习了用标准方程表示的圆锥曲线之后，我们来讨论一般二次曲线 在平面直角坐标系下，由二元二次方程 0222 3323132221
2、2211 ayaxayaxyaxa 所表示的曲线，叫做二次曲线其中二次项系数 11a 、 12a 和 22a 不全为零 二次曲线中除了椭圆（包括圆）、抛物线和双曲线外，还有其他的曲线当二次曲线的对称轴不与坐标轴平行，且二次曲线的中 或 点不在坐标 点 ，其方程一般不是标准的， 复 ，表 为方程中的各系数全不为零或 为零在本章，我们 讨论一般二次曲线的 性质，二次曲线的中 、 线、直 、 直 和 方 重要概 2 元 、 元 重要 的引进我们要直线与二次曲线的相交currency1来“二次曲线的些性质为了直线与二次曲线的交点，fifl 二次方程的为二次方程的 可是 数，我们有fl要数中引进 数实数
3、”成复数，在平面 引进 元 在平面 了坐标系之后，一对有实数( )x y， fi表示平面 的一个点，x和y中 有一个是 数，我们 “为( )x y， 表示平面 的一个点，这的点叫做平面 的虚点， ,x y叫做这一 点的坐标相地，我们坐标是一对实数的点叫做平面 的实点两个 点的对 坐标都是复数，这两点叫做一对共轭虚点，实点与 点统称为复点 当平面 引进了 点之后，我们 可以讨论 、直线 概 ),( 111 yxM与 ),( 222 yxM 为平面 的两复点， 称 , 1212 yyxx 为以 1M 为 点、 2M 为 点的复向量， 做 21MM ， 12 xx 与 12 yy 中 有一个为 数，
4、fi称 21MM 为虚向量 点 ( )M x y， 的坐标 表 1,12121 yyyxxx 其中 为复数，我们fi 点 M 分 1 2M M 为 ， 地点 2,2 2121 yyxxM 叫做线 1 2M M 的中点我们 1 2 11 2 1( ) ,( )x x x x ty y y y t 叫做由两点 ),( 111 yxM 和 ),( 222 yxM 的直线的 数方程， 中t为 数，可为的复数 数t 0Ax By C 称 方程为直线的一般方程， , ,A B C与个实数成 ，直线为实直线， 叫做虚直线 由于复数之和为实数，所以 两 点的线 的中点是实点有 ，两 相交的 直线的交点也是实点
5、 在平面 引进了 点之后，曲线的方程中可 系数我们 以后讨论 ， 实系数的曲线方程由于引currency1了 点，实系数方程所表示的曲线 可 有 点， 有的实系数方程所表示的曲线 有 点实点 为了讨论些 的，我们要在平面 引currency1无穷远点和无穷远直线两个 元 我们“为， 两 平行直线在 点相交，平面 所有的 点成 直线 ,x y C ， 用坐标 ,x y 表示的点称为有穷远点 为了以后讨论和的方便，引进下面的一些 2 211 12 22 13 23 33, 2 2 2F x y a x a xy a y a x a y a 1 11 12 13,F x y a x a y a 2
6、12 22 23,F x y a x a y a 3 13 23 33,F x y a x a y a 2 211 12 22, 2x y a x a xy a y 这些 的 ，可 证下面的恒 成 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )?F x y xF x y yF x y F x y， 称 ( )F x y， 的系数所组成的矩阵 332313232212131211aaaaaaaaaA 为二次曲线（1）的系数矩阵，或称 ( )F x y， 的矩阵 用 ,x y 的系数所排成的矩阵 22121211*aaaaF 叫做 ,x y 的矩阵显 ，二次曲线的系数矩阵A的第一、第二与第行的元分 是
7、1 ,F x y 、 2 ,F x y 和 3 ,F x y 的系数 A和F都是实对称矩阵 为了方便今后的讨论，再引进下面的 个行列 332313232212131211322121211222111 ,aaaaaaaaaIaa aaIaaI ，33232322331313111 aaaaaaaaK 这里的 1I 是矩阵F的迹（ 对角线元 的和）， 2 detI F （矩阵F的行列）， 3 detI A （矩阵A的行列 ）， 1K 的两项分 是 3I 中元 22a 和 11a 的数余子 以 内容，尤其是一些 深currency1的概 和讨论，可 学生的基础与程度进行适当的删减，下同. 在我们来
8、讨论二次曲线 0222),( 33231322212211 ayaxayaxyaxayxF 与过点 ),( 00 yx 且具有方 XY的直线l tYyytXxx00 , 的交点currency1整理可 一个关于t的方程 0)222( )()(2)2(330230132022001220112302201213012011222212211ayaxayayxaxatYayaxaXayaxatYaXYaXa利用前面的 ，可成 0),(),(),(2),( 000020012 yxFtYyxFXyxFtYX 方程）可分以下 种情况来讨论 1 ( ) 0X Y ， 这 是关于t的二次方程，的判 为 21 0 0 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , )F x y X F x y Y F X Y F x y 这又可分种情况 1 0 方程有两个不 的实 1t 与 2t ，currency1 直线l与二次曲线 的两个不同的实交点 2 0 方程有两个相 的实 1t 与 2t ，这 直线l与二次曲线 有两个相互重合的实交点 3 0 方程有两个的 ，这 直线l与二次曲线 交于两个的 点
