1、常微分方程,常微分方程是鲁东大学数学与统计科学学院数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的一门重要的专业基础课。是继数学分析、高等代数、解析几何、数学软件和普通物理等课程之后的必修课程，这门课程不仅在数学科学领域起着重要的作用，而且在物理、经济、工程等领域也是不可缺少的基础课程之一，它是数学物理方程、动力系统、微分方程数值解、生物数学、数学模型、数理经济、经济数学以及自动控制、生物学、经济学等许多后续课程的基础。早在十七世纪至十八世纪，常微分方程作为牛顿力学的得力助手，在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能。例如，在海王星被实际观测到之前，这颗行星的存在就被天文学家用微分方
2、程的方法推算出来了。时至今日，常微分方程在自然科学以及社会科学中越来越表现出它的重要性。,常微分方程是数学分析、解析几何等课程的后续课程，又是概率论与数理统计、实变函数论、泛函分析等课程的先行课程，是数学学科学生修读数学系列课程中必不可少的课程。本课程是数学专业本专科学生必修的一门专业基础课，也是微积分学的一个分支，在众多应用学科领域，微分方程有着它独特的魅力，如天文学，物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题, 一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程。因此，常微分方程是一门重要的纯数学与应用数学相结合的核心课程。常微分方程所涉及的基础知识、基本理论和基本应用思想，对学生后
3、续课程学习和从事数学相关学科的研究与应用，都有着不可替代的作用,第一章 绪论,1.1 微分方程模型,分析中的函数y=y(x)反映实际过程中的变量与变量之间的关系，而大量的实际运动过程，其规律并不容易直接写出来，但可以建立变量及其导数（或微分）的关系式。如：,象这种联系着自变量未知函数以及它的导数（或微分）的关系式，称为微分方程（简记为DE）（注意：导数或微分不可缺少） 现在，我们通过实例介绍DE模型的建立方法，并讲述一些最基本的概念。,例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.,解: 设所求的曲线方程为,由导数的几何意义, 应有,即,又由条件: 曲线过(1,3), 即,
4、于是得,故所求的曲线方程为:,例2 物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中, 在时刻,时, 测得它的温度为,10分钟后测量得温度为 试决定此物,体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在,解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到,其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.,注意:此式子并不是直接给
5、出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍.,1.2 基本概念,一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 1. 显式解与隐式解 2. 通解与特解,一、常微分方程与偏微分方程 定义1: 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的 关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含. 如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微
6、分方程，例如 就不是微分方程. 实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.,附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中,就是常微分方程；,如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中,就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,二、微分方程的基本概念 阶数：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 在上面例1中，,是一阶微分方程；,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,一般方程： 线性微分方程：上式方程的左端是 的一
7、次有理整式，称方程为n阶线性微分方程非线性微分方程： 不是线性方程的方程,例如上面例1中,是线性微分方程，,而,是非线性微分方程.,方程的解：如果函数 代入方程 后，能使它变为恒等式，称 为方程的解 隐式解：如果函数 由 决定，那么 称为方程的隐式解通解：我们把含有n个独立的任意常数 得到的解 称为方程的通解同样可定义隐式通解定解条件：给出方程的特定解所需的必须条件,初值条件：定解问题：求微分方程满足定解条件的解初值问题：当定解条件为初值条件时，相应的定解问题特解：满足初值条件的解,积分曲线：一阶微分方程 的解 表示平面 上的一条曲线方向场：可以用 在平面 某区域D上定义过各点的小线段的斜率方向，这样的区域D称为方程 的方向场（向量场）等倾斜线：方向场中方向相同的曲线 称为等斜线微分方程组：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程,习惯将一般n阶常微分方程写成为解出最高阶导数的形式 ，其中,驻定的：如果方程组右端不含t， 也称自治的非驻定（非自治）的：右端含有t的方程相空间：不含自变量、仅由未知函数组成的空间轨线：积分曲线在相空间中的投影,习题1.2. 1； 2 （5）（6）； 3（3）（6）；4; 8（4）（5）（6）（7）,
