1、（20_届）本科毕业设计数学与应用数学关于函数方程的求解1目录中文摘要11绪言12函数方程的一些概念23函数方程的求解方法331换元法32待定系数法33递归数列法34数学归纳法35辅助数列法36利用方程组求解函数方程37代值减元法38柯西法求解函数方程参考文献16ABSTRACT16致谢词172关于函数方程的求解摘要在数学的许多研究领域都涉及到函数方程问题，在许多应用性科学研究中需要用到大量的函数方程模型因此，求解函数方程一直是重要课题函数方程的求解既是一个难点，同时又没有一个普遍使用的方法本文主要介绍了函数方程若干求解方法关键词函数；函数方程；求解1绪言当今世界，在数学研究的许多领域包括微分
2、方程、动力系统、泛函分析、代数学、几何学、拓扑学、概率论等都涉及到函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题1函数方程又是一个经典的课题，早在18世纪初期，欧拉LEULER、拉格朗日LAGRANGE等著名数学大师就已经利用函数方程解决问题了1769年达朗贝尔DA1CMBERT在讨论力的合成法则时，导出了函数方程2FXYFXYFXFY1773年法国数学家蒙日在研究曲面理论时又再一次运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的一般阐述；同年，
3、拉普拉斯又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法；从1821年，数学家柯西ALCAUCHY对一系列函数方程，如2FXYFXFYFXYFXFYFXYFXYFXFY等作了深入的研究，并创造了一种求解函数方程的方法柯西CAUCHY法；另外，函数方程还受到了阿贝尔NHABEL、维尔斯特拉斯、哈代GHHARDY以及阿采尔等数学家的充分重视被应用于不同的领域，取得了许多令人意想不到的结果例如，罗巴切夫斯基就曾将平行角12XKTGXE定义成函数方程2XYFFXFY的解20世纪初期，以谢留德为首的波兰学派对函数方程进行了些开创性的研究工作20世纪403年代前后，苏联数学家盖尔谢凡诺夫教授进一步发展了函数方程的某
4、些理论，并成功解决了一系列有关力学、渗透理论、弹性理论和地层动力理论等问题这些问题都与谢留德函数方程有关长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了大量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，就连一般的解法也较少实践证明，不论是对函数方程本身的研究或是函数方程中未知函数的求解者，都需要有良好的数学素质才行正是由于这个原因，20世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克IMO竞赛试题之中，成为当今数学竞赛的一个重要领域，越来越受到数学竞赛命题者的青睐，并引起国内外数学教育界的广泛关注由于函数方程的异常复杂和困难，二百多年间发展缓慢、步履维艰至今还没有关于
5、函数方程的统一理论和解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则不仅如此，甚至还有一些函数方程至今未能解出本文试图对函数方程的解法主要是初等解法作一个初步的总结但由于函数方程类型十分复杂，想对它进行适当分类就比较困难，加之还没有形成一般的理论和一般的方法，以及受我能力所限，欲对这一课题作系统、完整的叙述，似乎不现实，所以本文就我感兴趣的方法作一介绍2函数方程的一些概念1函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程，如1FXX、FXFX、FXFX、2FXFX等其中FX是未知函数22函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解如1FXX、偶函数、奇函数、周期函数分别
6、是上述各方程的解3解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4迭代周期如果存在自然数P使对定义域X中的所有X都满足PFXX，则称F具有迭代周期性满足这种关系的最小自然数P称为F的迭代周期33函数方程的求解方法31换元法通过换元，用“新元”代替原表达式中的“旧元”，从而求出函数方程4例1解函数方程XXEFXSIN3解令XET；则0,LNTTX将此代入1式可得4TTTFLNSINLN3即3LNSINLN,0FXXXX代入已知方程，易知其满足方程式运用换元思想解方程的关键是针对所要解决的具体问题，根据题目的具体形式选准换元的方法，使问题获得妙解总之，通过换元把某些非常规的方程问题转
7、化，将能达到化难为易，化繁为简的目的532待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法求函数方程较为简洁一般首先确定多项式的系数，写出它的一般表达式，然后由已知条件确定待定系数67例2已知XF为多项式函数，解函数方程XXXFXF42112解因为XF为多项式函数，而1XF与1XF并不会改变XF的次数，又因为XF为二次函数，不妨设CBXAXXF2因为221112FXAXBXCAXABXABC221112FXAXBXCAXBAXABC所以221122224FXFXAXBXACXX所以1,2,1ABC所以122XXXF例3已知XF是二次函
8、数，解函数方程242XXXFF解设CBXAXXF2，因为222FFXAAXBXCBAXBXCCXBABCXABCAABBXAXA222222232432CBCAC所以222222223243CBCACXBABCXABCAABBXAXAXX245所以32222212022200AABABACABABCBACBCC解得101CBA所以12XXF33递归数列法递归数列法具体又分三种形式与方法A递归数列求和法这种方法多是用于定义域为自然数的函数方程，先找出NF的某个递归公式，然后依次取N为自然数M,2,1个值代入递归公式，得到M个等式；设法利用这些等式消去NF以外其他形式的函数，即可求出函数方程的解递
9、归数列求和法实质上是将NF的解析式表示成某个数列的前几项之和；所以要熟记等差及等比级数求和公式B递归数列求积法这种方法与递归数列求和法类似，只是此时我们是以乘积的方法消去除NF以外其他形式的函数，取代前面相加消去除NF以外其他形式的函数C有的函数方程需同时用到递归数列求和及递归数列求求积法才能解出一般而言，若函数方程能化成211NFNFNGNFNF其中NG为已知函数时，我们可用递归数列求积法先去一个函数符号，再利用递归数列求和法解出NF例4设NF在整个自然数上都有定义，11F且满足121NNFNF，N1求NF解依次以NN,4,3,2代入1式可得212FF1221223NNFNFFF将这1N个等
10、式加起来，可得122221NFNF1212121222112NNN6例5设NF为定义在自然数上的函数，11F且满足131NFNFN，2N2求NF解依次以N,4,3,2代入2式可得13233132143NFNFFFFFN将上面1N个等式相乘，可得241143143331333NNNNFNF，NN例6设82,11FF且满足21NFNFNF，3N3求NF解由假设条件知0NF，NN在3式两边取对数，得到2LN1LN21LNNFNFNF移项得1LNLN1LN1LN22FNFNFNFN，3N4依序以N,5,4,3代入4式可得1LN2LN212LN3LNFFFF2LN3LN213LN4LNFFFF2LN1L
11、N211LNLNNFNFNFNF将这2N个等式相乘，可得2211LNLN1LN8LN13LN222NNFNFN5再以N,4,3,2代入5式，再将这1N个等式相加，可得21212112LN31LNLN22NFNF72112112LN31N2112LN21N因为LN1LN10F，所以11212LNLN2NFN所以112122NFN，NN34数学归纳法数学归纳法常用来求某些定义在自然数上的函数方程的解通常我们先根据假设条件求出1F、2F、3F并观察这些函数值的规律，猜测FK的表达式，再验证1KF也成立，则我们所猜测的KF即为此函数方程的解例7设NNGF,，21FNN，13G，且1NGFNG2N都成立
12、，求GN解因为12NNF，取1,2,3N代入原方程，得31G1231122GG232213221GG32423132221GG猜测222121212121122312223NNNNNNG212122321121122321121NNNNN121223111NNN68现用数学归纳法证明以上猜测是正确的以1N代入6式，可得13G设NK时6式成立，当1NK时，12112212121KKKGKGFKG，故由数学归纳法可知6式成立例8设21,XXXFRRF，若1XFFXF且2,1NXFFXFNN求NFX解212222112111XFXXXFXFFXXXFXX2222123121121XXXXXXXFFX
13、F2341XXXF，于是猜测211XNXXFN7现用数学归纳法证明以上猜测设NK时7式成立，当1NK时，222212111111XKXXKXXKXXFFXFKK故由数学归纳法可知7式成立35辅助数列法一般而言，若AF1，则形如BNQFNF1（A，Q为常数，1Q）的函数方程都可以使用辅助数列法进行求解事实上，若B为一个N的函数，亦可利用这种方法求解9例9设NNF满足11F，并且满足NNFNF31，NN8求FN解我们可将8式改写为23232131NNFNNF即4323432131NNFNNF9设4323NNFBN，则由9式可知NNBB1，所以数列NB是以1为公比的等比数列，且首项为47431432
14、311FB由等比数列的公式可得1147NNB所以可得17331424NNFN即17331424NNFN例10设NNF，11F，25F且满足3,2415NNFNFNF10求FN解由10可得2141NFNFNFNF，所以数列1FNFN是以4为公比的等比数列，且首项为41512FF因为1FNFN为数列1FNFN中的第1N项，所以211444NNFNFN，分别以2,3,N代入上式，我们可得214FF102324FF3434FF114NFNFN将以上1N个式子相加得到211444NFNF124441N1414411N314N36利用方程组求解函数方程有些函数方程，通过仔细观察分析会发现函数中变量之间存在
15、互为倒数、互为相反数等特殊的关系，对这类函数方程，可利用换元法得到函数方程的导出方程由于变化时没有改变函数的定义域，所以原函数方程和其导出方程形成的方程组的解即为函数方程的解8例11已知1210XFXFX，求解FX分析，注意到X与1X的倒数关系，利用变量代换构造关于FX与1FX的方程组，消去1FX得解解由1210XFXFX，令1TX，得11210XFFXX解方程组112101210XXFFXXFXFX，消去1FX，得121101033XXFX37代值减元法函数方程不只一个变量时,首先设法减少变量个数,代值减元法就是一种减少变量的常用方法911例12已知函数FX满足01,22FF且对于任何实数X
16、、Y有2COSFXYFXYFXY,求FX解由题意可取三组特殊值0,2222XYTXTYXYT将上面三组值代入原函数方程，得到函数方程组20COSFTFTFT；110FTFT；122SIN2FTFTFT13111213,得220COS2SIN2FTFTFT，又因为01,22FF，所以COS2SINFTTT，即所求函数为COS2SINFXXX例13设XF是定义在实数域上的函数，满足10F且对任意RYX,，12YXYXFYXF14求XF解取YX代入14式，则可得22101FXXFXXXXFXXXF，所以21,FXXXXR例14设F的定义域为N，满足11F，且对任意的NNM,MNNFMFNMF15求N
17、F解取1M代入15式，可得111NNFNNFFNF以1,2,1KN代入上式可得12323212FFFF1FKFKK将以上1K个式子加起来，得21214321KKKKFKF所以解得12NNFN38柯西法求解函数方程在函数发展史上，许多函数方程的建立和解法都是有柯西首先提出来的柯西法的运用是有条件的，它要求函数方程中所涉及的函数是连续或是单调的同时，在解题中要用到闭区间套定理利用柯西法解函数方程的步骤是依次求出对于自变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得到函数方程的解10在假设函数F是连续函数时，对于常见的二元函数方程我们用柯西法求解有以下5个常用的结果AYFXFYXF，FXAXB
18、YFXFYXF，XFXACYFXFXYF，XXFBLOGDYFXFXYF，AXXFE,TAN1FXFYFXYFXAXFXFY其中0AF11下面我们举几个典型的用柯西法求解的函数方程的例子例15解函数方程RRFYFXFYXF16解用数学归纳法易知，对任意的实数NXXX,21有2121NNXFXFXFXXXF特别当XXXXN21时，XNFNXF17取1X，可得1NFNF在16式中取0YX，则解得130000FFF因此，在16式中取1,1YX，可得0110FFF所以11FF在17式中取1X，可得11NFNFNF所以对任意的整数ZM，有1MFMF在17式中取NMXM,N为正整数，有NMNFNMNF因为
19、1FMMF所以得到1MMFFNN在16式中取NMYNMX,，可得00MMMMFFFFNNNN所以1MMMFFFNNN所以对任意的有理数R，1RFRF因为有理数是实数的稠密子集，且F为连续函数，所以1FXXFXR例16设RXF在上是连续的且不恒等于0，求出函数方程YFXFYXF，1FA18的解12解由数学归纳法得2121NNXFXFXFXXXF特别，取XXXXN21，可得NXFNXF1914在上式中取1X，可得NFNF1于18式中，取0Y，可得01000FXFFXFXFXF假设XF不恒等于0，所以10F在19式中，取MX1，M为正整数可得MNMNMNMNFMMFMFMFMNF111在18式中，取
20、MNYMNX,，可得01NNFFFMM所以1NMNFFM所以对任意的有理数R，RFRF1又因为有理数是实数的稠密子集，且RXF在上连续，所以RXFXFX,1所以RXAXFX例17设XF在正实数域上有定义，连续且不恒等于0，求函数方程YFXFXYF20的解解由数学归纳法易知，对所有的正实数12,NXXX；1212NNFXXXFXFXFX特别，取XXXXN21时，可知XNFXFN21在21式中，取2,1NX，可得121FF，所以10F15由21式也可知，11MMMXMFXFXF所以11MFXFXM所以11NNMMMNFXFXNFXFXM所以由20式可知10NNNNMMMMFXXFXFXFNNMMN
21、FXFXFXM因此对于任意的QR，有XRFXFR因为F在正实数上连续且有理数与R的交集为R上的稠密子集，可得对于任意给定的XR，有XFXFR22取定1A，对任意的RX，存在R，使得XA；则LOGAX将此代入22，可得XAFAFAFXFALOG令1AFAB，则1LOGABFA，1LOGAFAB所以LOGLOGLOGLOGAABAXFXFAXXB例18设XF在实数上都有定义，连续且不恒等于0，求方程式YFXFXYF23的解解任取1B，对任意的RYX,，存在RVU,使得UBX，VBY将上面等式代入23式可得16VUVUBFBFBBF令RXBFXGX，则UVUVUVGUVFBFBBFBFBGUGV24
22、因为F在R上连续RG在上连续故24式有唯一的解，所以UCUG，C是一个固定的常数，RUUUFXFBGUC因为LOGLOGLOGLOGLOGLOGBBXCBBBBCXCX所以LOGLOGBBXCCX所以CBXXFLOG，令CABLOG，则AFXX参考文献1王向东函数方程及其应用M上海上海科学技术文献出版社，2003122韩苏函数迭代与函数方程J数学通讯，2001,24第36页3马俊青函数方程求解的迭代周期方法的研究J甘肃联合大学学报（自然科学版），2007,21（4）第121页4蒋强求解函数方程五法J中学教研（数学），1993,8第21页5丁钧巧用换元法解函数方程J河南科技，2010,4第80页
23、6周晓文函数方程问题的求解策略J中学数学教学，2003，05第2930页7俞宏毓函数方程的一些解法J数学教学通讯，2005,10第45页8王晖函数方程的解法浅析J消费导刊，2008,12第164页9胡昱函数方程的一些解法J西昌师范高等专科学校学报，2002,14（3）第79页10阿拉坦巴根试论用初等方法解函数方程J内蒙古名族大学学报，2008,14（2）第7页11张桦函数方程研究J文教资料，2005,29第169170页12蒋华函数方程有效解题方法探析J才智，2010,05第45页SOMESOLUTIONSOFFUNCTIONALEQUATIONABSTRACTMANYRESEARCHAREA
24、SINMATHEMATICSARERELATEDTOTHEPROBLEMOFFUNCTIONALEQUATIONS,ALARGENUMBEROFEQUATIONALMODELSOFFUNCTIONAREUSEDINMANYAPPLIEDSCIENCESTHEREFORE,SOLVINGTHEFUNCTIONALEQUATIONHASBEENA17TOPICFORSTUDYTHESOLUTIONOFTHEFUNCTIONALEQUATIONISNOTONLYADIFFICULTYBUTALSOWITHOUTACOMMONLYUSEDMETHODINTHISPAPER,WECONCERNWITHTHESOLUTIONSOFFUNCTIONALEQUATIONKEYWORDSFUNCTIONFUNCTIONALEQUATIONSOLUTION
