函数项级数的收敛判别法的推广和应用【毕业论文】.doc

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1、（20_届）本科毕业设计数学与应用数学函数项级数的收敛判别法的推广和应用1目录中文摘要11引言12函数项级数收敛定义以及收敛域问题121函数项级数定义122函数项级数收敛的定义223求函数项级数收敛区间的一种新方法23判断函数项级数一致收敛的方法及其推广和应用531函数项级数一致收敛的定义和充要条件5311一致收敛的定义5312函数项级数一致收敛的等价定义5313一致收敛的充要条件532一些常见的判别法633函数项级数一致收敛的CAUCHY准则及推论8331一致收敛的CAUCHY准则8332CAUCHY收敛准则的推广834一致收敛的积分判别法1035逼敛性定理1136函数项级数一致收敛的几个新

2、的判别法1237一些特殊的方法在判断函数项级数一致收敛时的应用134交错函数项级数及其一致收敛判别法175总结20致谢20主要参考文献20ABSTRACT212函数项级数的收敛判别法的推广和应用摘要级数问题可以说是经典微积分学基本问题之一，是数学分析课程中基本内容之一，无论是在科学研究，还是在实际工程、运筹规划中，将问题转化为级数问题是常见的而函数项级数是级数问题的一个重点，本文将研究函数项级数收敛判别法及一致收敛判别法，并将其推广和应用到实际问题中关键词函数项级数；收敛；一致收敛；判别法；推广和应用1引言本文主要论证了函数项级数的定义2、收敛区间17，函数项级数收敛级数收敛性的定3,18和一

3、致收敛的多种判别法5,7,8,10,11,12,13,14,15，并且将它们推广和应用1,4,16对于函数项级数,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质，比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微,判断出和函数的连续性、可积性和可微性，这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例一致收敛是函数项级数的一个重要性质，判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用为了开阔思路，更好的理解和掌握函

4、数项级数一致收敛的方法，本文除了课本提出的几个函数项级数一致收敛性的判断法,在这里,我们提出几个新的函数项级数一致收敛的判别对函数项级数一致收敛的几种判别法，分析、归纳和总结如LEIBNIZ型函数项级数,并研究了其一致收敛判别法6,9,192函数项级数收敛的定义以及收敛域问题21函数项级数定义设NUX是定义在数集E上的一个函数列，表达式12,NUXUXUXXE，称为定义在E上的函数项级数，简记为1NNUX或者NUX称1,1,2,NNKKSXUXXEN为函数项级数的部分和函数列322函数项级数收敛的定义若0XE，数项级数10200NUXUXUX收敛，即部分和001NNKKSXUX当N时极限存在，

5、则称级数1NNUX在点0X收敛，0X称为级数1NNUX的收敛点若级数1,1,2,NNKKSXUXXEN发散，则称级数1NNUX在点0X发散若级数1NNUX在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数1NNUX在D上收敛若D为级数1NNUX全体收敛点的集合，这时则称D为级数1NNUX的收敛域级数1NNUX在D上每一点X与其所对应的数项级数1,1,2,NNKKSXUXXEN的和SX构成一个定义在D上的函数，称为级数1NNUX的和函数，并写作12,NUXUXUXSXXD即LIM,NNSXSXXD也就是说，函数项级数1NNUX的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性23求函数项级数收敛区间的一种新方法对形如0

6、,KNBNNAXKNBZ的幂级数,当其缺项的时候,不能直接用公式1LIMNNNAA求其收敛半径与收敛区间本处约定收敛区间不含端点,一般都是直接采用达朗贝尔比值判别法求其收敛半径与收敛区间事实上,对这种幂级数只需先作一个变量代换,就可以采用公式法求解以下给出了这种方法的理论证明,并将结论进行了推广,即利用变量代换与公式法同样可求形如形式0,KNBSNNAXKSNBZ的函数项级数的收敛区间设有幂级数0,KNBNNAXKNBZ，令KNBM，将MBNK代入系数NA，得MBKA并记MMBKBA，以MMBKBA为系数作一新幂级数0MMMBX，若1LIMNNNAA，1LIMMMMBA都存在（含极限4为情形，

7、设1LIMNNNAA，11LIMMMMBA，则有下述结论引理110,时，1K，且1证明因为111121111121311KNBBKNBBKNBBKNBKBKNBBKNBBKNBBKNBKBNKKKKNKKKKAAAAAAAAAA1111211111111211KNBKNBKNBKNBKKNBKNBKNBKNBKBBBBBBBB，所以111111111121LIMLIMLIMLIMKNBKNBKNBKNNNNNNKNBKNBKNBKBBBAABBB1111K定理幂级数0,KNBNNAXKNBZ与幂级数0MMMBX（其中MMBKBA）有相同的收敛半径和收敛区间推论设有幂级数0,KNBNNAXKNB

8、Z，令1LIMNNNAA，则它的收敛半径R可用如下公式求得1,0,1,0,0,KR例求幂级数211212NNNNX的收敛半径与收敛区间解法1用变量代换法，令21NM，则121212,222MMNMNMNB考虑幂级数0MMMBX的收敛半径，因为121122321LIMLIM222MMMMMMBMBM，所以0MMMBX的收敛半径1112R由定理1可知，211212NNNNX的收敛半径12RR，收敛区间为2,25解法2用推论中的公式因为1121121LIMLIM2212NNNNNNNAAN，所以211212NNNNX的收敛半径1212R，收敛区间为2,2下面考虑形如0KNBSNNAX（,KSNBZ；

9、KNBS为最简分式）级数的收敛区间问题设有级数0NSNNAXSN，令NMS，将NSM代入系数NA得SMA以MB为系数作幂级数0MMMBX若11LIM,LIMNMNMABAA都存在（含极限为的情形），并设111LIM,LIMNMNMABAA，则有下述结论引理2当0时，1S或11S，且1定理设有级数0KNBSNNAX（,KSNBZ；KNBS为最简分式）与幂级数0MMMBX（其中MMBKBA）111,R为0MMMBX（10时，1R1时，10R）的收敛半径，则（1）当S为奇数时，两级数有相同的收敛区间11,RR（2）当S为偶数时，0KNBSNNAX的收敛区间10,R例求函数项级数1113NNNNXN的

10、收敛区间解因为1113NNNNXN1211,23NNNNXSN为偶数令2NM，可得22123MMMBAM，则2112111LIMLIM239213MMMMMMBMBM所以0MMMBX的收敛半径1119R因2S为偶数，1113NNNNXN的收敛区间为0,93函数项级数一致收敛判别法及其推广和应用31函数项级数一致收敛的定义和充要条件6311一致收敛的定义设NSX是函数项级数NUX的部分和函数列若NSX在数集D上一致收敛于函数SX，则称函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX，或称NUX在D上一致收敛312函数项级数一致收敛的等价定义设NSX是函数项级数NUX的部分和函数列，函数列NSX和函数SX

11、都是定义在同一数集D上，若对于任给的正数，总存在某一正整数N，使得当NN时，对一切XD都有|NSXSX，则称函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX,或称NUX在D上一致收敛313一致收敛的充要条件充要条件1函数项级数NUX在数集D上一致收敛于SX的充要条件是LIMSUP|LIMSUP|0NNNNXDXDRXSXSX充要条件2若NUX在区间D上收敛,则NUX在D上一致收敛的充要条件是NXD，有LIM0NNNRX（其中1NKKNRXUX为级数余和）证明必要性因已知NUX在区间D上一致收敛,所以0,N使得当NN时，对一切XD都有|NSXSX，对于NXD则有|NSXSX，即|NNRX，得LIM0NN

12、RX充分性假设NUX在D上不一致收敛,则00,NXD使得0|NNNSXSX如此得到NXD，但LIM0NNNRX这与已知条件矛盾除了上述定义和定理，有些级数还可以根据级数各项的特性来判别32一些常见的判别法7阿贝尔判别法设（1）NUX在区间I上一致收敛；（2）对于每一个XI，NVX是单调的；（3）NVX在I上一致有界，即对一切XI和正整数N，存在正数M，使得|NVXM，则级数1122NNNNUXVXUXVXUXVXUXVX在I上一致收敛狄利克雷判别法设（1）NUX的部分和函数列1NNKKUXUX（N1,2,）在I上一致有界；（2）对于每一个XI，NVX是单调的；（3）在I上0NVXN，则级数11

13、22NNNNUXVXUXVXUXVXUXVX在I上一致收敛魏尔斯特拉斯判别法（M判别法或者优级数判别法）设函数项级数NUX定义在数集D上，NM为收敛的正项级数，若对于一切XD，有|,1,2,NNUXMN则函数项级数NUX在D上一致收敛M判别法的三个推论定理设有函数级数1NNUX，存在一收敛的正项级数1NNA使得对于XI，有|LIM0,NNNUXKKA则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛推论设有函数级数1NNUX，若存在极限LIM|,PNNNUXK且0,1,KP则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛定理函数列NUX定义于区间I上，且1UX在I有界，若,NNNNXI有1|1NNUXQUX则函数项

14、级数1NNUX在区间I一致收敛推论函数列NUX定义于区间I上，且1UX在I有界，若,XI有1|LIM1NNNUXLUX则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛8定理有函数项级数1NNUX，若对XI有|1NNUXQ，则函数项级数1NNUX在I一致收敛推论有函数项级数1NNUX，若对,XI有LIM|,NNNUXL且1L，则函数项级数1NNUX在I一致收敛DINI定理若1每个NUX均在A,B上连续且非负；2NUX在A,B上收敛于连续函数SX则NUX在A,B上一致收敛于SX例试证2211NNNNX在,内内闭一致收敛证明（用DINI定理和狄利克雷判别法）显然1|1|1NKK在,上一致有界任取,ABR，对,

15、XAB，易证当N充分大时22NNX单调减且22LIM0NNFXNX，每个22NNX及0FX均在,AB上连续故有DINI定理知22NNX在,AB上一致收敛于0于是，由狄利克雷判别法知原级数在,AB上一致收敛所以由,AB的任意性知原级数在,内内闭一致收敛33函数项级数一致收敛的CAUCHY准则及推论331一致收敛的CAUCHY准则函数项级数NUX在数集D上一致收敛的充要条件为对任给的正数，总存在某正整数N，使得当NN时，对一切XD和一切正整数P，都有|NPNSXSX或12|NNNPUXUXUX332CAUCHY收敛准则的推广定理设函数项级数NUX，（N1,2,）在,AB上可微（其中A,B为有限数）

16、9且满足如下条件（1）函数项级数1NPKKNUX在,AB上收敛；（2）存在常数M，使得对任意的自然数1M，任意的实数,XAB，恒有1|MNNUXM，则函数项级数1NNUX在,AB上一致收敛证明对任意0，因为A,B为有限数,所以存在自然数K,使1AKBAK,我们在闭区间A,B上插入分点0,1,2,1,IKXAXAIIKXB，于是，闭区间被分成K个小区间1,1,2,IIXXIK从而有11,KIIIABUXX又因为函数项级数1NNUX在A,B上是收敛的，故对任意的1,2,1IXIK，存在自然数,INX，使得N,INX时，对任意的P，有1|NPJIJNUX，于是，对任意的1,IIXX，存在自然数,IN

17、X，使得N,INX时，对任意的P，有1111|NPNPNPNPJJJIJIJNJNJNJNUXUXUXUX111|NPNPNPJJIJIJNJNJNUXUXUX11|NPJIJNUXX111|NPNJJIJNJNUUXX111|NPNJJIJNJNUUXX（利用已知条件）21M即函数项级数1NNUX在A,B上一致收敛定理设函数NUX在闭区间A,B上连续,可微,且（A）存在一点0,XAB，使得1NNUX在点0X收敛；B）1NNUX在A,B上一致收敛10则函数项级数1NNUX在A,B上一致收敛证明对任意00,XXBXXAB，又已知条件NUX在0,XX上可积，于是有00XNNNXUXUXUTDT（1

18、）因为01NNUX收敛，故对任意0，存在1N，使得当N1N时，对任意的自然数P，有01|NPJJNUX2（2），又因为01NNUXA,B上一致收敛，显然在0,XB上也一致收敛,于是存在2N，使得当N2N时，有1|NPJJNUX02BX（3）对（1）进行求和运算得00111NPNPNPXNNNXJNJNJNUXUTDTUX，于是，取12MAX,NNN，当NN时，有00111|NPNPNPXNNNXJNJNJNUXUTDTUX0011|NPNPXNNXJNJNUTDTUX（利用（2）和（3）0022BXBX即函数项级数1NNUX在0,XB上一致收敛类似地,我们可以证明函数级数1NNUX在0,AX上

19、一致收敛从而函数1NNUX在,AB上一致收敛34一致收敛的积分判别法一致收敛的积分判别法设,FXY为区域,|,1RXYAXBY上的非负函数,如果,FXY在区间1,上关于Y为单调减函数,那么函数项级数1,NFXN与含参变量反常积11分1,FXYDY在区间,AB上具有相同的一致收敛性用函数项级数一致收敛的柯西准则和含参变量反常积分一致收敛的柯西准则来证明证明由假设,FXY为区域,|,1RXYAXBY上的非负函数,并且,FXY关于Y为1,上的减函数，对区间,AB上任意固定的X以及任意2N的自然数,我们有1,1NNFXNFXYDYFXN（1）1）若含参变量反常积分1,FXYDY在,AB上一致收敛，则由

20、含参变量反常积分一致收敛的柯西准则可得，,对任意给定的正数，总存在某一实数M1，使得当N1M时，对一切,XAB和一切正整数P，都有1|,|NPNFXYDY由（1）式，对一切,XAB有1|,1,|,NPNFXNFXNFXNPFXYDY由函数项级数一致收敛的柯西准则可知函数项级数1,NFXN在区间,AB上一致收敛2）若函数项级数1,NFXN在区间,AB上一致收敛，由函数项级数一致收敛的柯西准则可得对任意给定的正数，总存在某一正数N,使得当NN时,对一切XD和一切正整数P,都有|,1,|FXNFXNFXNP而对任意的12,AAN,令01021,1NANPA这样的正整数0N和P总是存在的，由（1）式，

21、对一切XD,有2010|,|,|ANPANFXYDYFXYDY000|,1,|FXNFXNFXNP由含参变量反常积分一致收敛的柯西准则可知含参变量反常积分1,FXYDY在,AB上一致收敛例设2231,LN1FXYXYY，证明含参变量积分1,FXYDY在0,1上一致收敛证明令2231LN1,1,2,NUXNXNN，易见，对每个N，NUX为0,1上的增函数，故有2311LN1,1,2,NNUXUNNN又当1T时，有不等式2LN1TT，所以23211LN1,1,2,NUXNNNN以收敛级数21N为NUX的优级数，推得NUX在0,1上一致收敛另外，对任意的,|01,1XYRXYXY，有122231,L

22、N10FXYXYY，并且对任意固定的0,1,0YXFXY，即,FXY是区间1,上的减函数，因此由定理知，含参变量积分1,FXYDY在0,1上一致收敛35逼敛性定理设对任意的自然数N,XI都有NNNUXVXWX成立,且1NNUX和1NNWX在I都一致收敛于SX,则1NNVX在I也一致收敛于SX证明设111,NNNNKNKNKKKKUXUXVXVXWXWX因为,NNXI都有NNNUXVXWX，所以，,NNXI有NNNUXVXWX，又级数1NNUX，1NNWX在I上一致收敛于SX，即0,NNNNXI有NSXUXSX及NSXWXSX所以0,NNNNXI有NNNSXUXVXWXSX，由函数项级数一致收敛

23、定义知，1NNVX在I也一致收敛于SX36函数项级数一致收敛的几个新的判别法定理设NUX是定义在数集D上的正项函数项级数，NUX在D上有界（N1,2,）,若1,NNUXRXNXDUX设SUPXDRRX，则131）R1时，NUX在D上不一致收敛注若SUP1XDRX时，无法判断在NUXD上是否一致收敛例22XN，0,1X因为2121NNUXNUXN，由221,0,11NNXN，0,1SUP11,X因为2221XNN，而一致收敛所以22XN在0,1上一致收敛但是XN在0,1上不一致收敛定理设NUX是定义在数集D上的正项函数项级数,若NNUXRX，设SUPXDRRX，则1）R1时,NUX在D上不一致收

24、敛例证明NNX在1XR上一致收敛证明由1NNNNNXXX知11LIMSUPLIM10NNNNXRNNXXR，即1,NNNXRXX且11SUP1XRXR，由定理得NNX在1XR上一致收敛所以NNX在1XR上一致收敛37放大法在判断函数项级数一致收敛时的应用一般要实现对函数项级数一致收敛的判别，均要对一定的表达式进行有效的放大，实现放大有许多不同的技巧定理设NSX是函数项级数NUX的部分和函数列，函数列NSX和函数SX都是定义在同一数集D上,对于任意的N，存在数列NANA0，使其对于任意的XD有|NNSXSXA，且LIM0NNA，则称函数列NSX一致收敛于SX，即函数项级数14NUX在D上一致收敛

25、于函数SX证明由假设LIM0NNA，对任给0存在正整数N,使得当NN时,有|NA，因为对于一切XD总有|NNSXSXA，故对任给0，存在正整数N,使得当NN时,对一切XD都有|NNSXSXA，由定义312可得函数列NSX一致收敛于SX即函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX1、利用不等式进行放大（1）利用柯西不等式例利用柯西不等式222BBBAAAFXGXDXFXDXGXDX进行判断若NFX在,AB上可积，N1,2,，且FX与GX在,AB上都可积2LIM|0BNANFXFXDX，设,XXNNAAHXFTGTDTHXFTGTDT，则在,AB上NHX一致收敛于HX证明因为GX在,AB上可积，故M

27、敛于零又因111|COS|22SIN2KKXX，知级数COSNX的部分和函数列在0,2,1XY上一致收敛2、通过求最大值进行放大例给定函数列LNANXXNFXN，（N2,3,4）试问当A为何值时，在0,上一致收敛解1LN1LNANXNFXXNN，可见X1LNN时，NFX单调递减函数NFX在X1LNN处取得最大值又注意到函数列的极限函数LIM0NNFXFX故0,0,1SUP|MAX|LNNNNNXXAFXFXFXFN111LNLN1LNAANNNEN，这里11LNLNLNNNNNEE当1A时，LIM0NNA当A1时，LIM0NNA所以NFX当且仅当A1时，在0,内一致收敛3、利用级数的余和进行估

28、计用级数余和估计不等式对满足交错级数条件的级数，级数余和11KNNKKNRXSSA有估计式1|NNRA例试证2211NNNNX在,内一致收敛证明设函数22TFTTX，则22222XTFTTX，可见,X，当N充分大时，级数通项的绝对值22NNX单调下降趋于0（当N）故该级数为LEIBNIZ级数当N时，162211011NNRXNNX，所以级数2211NNNNX在,内一致收敛4、用递推的方法进行放大当函数序列使用递推的形式给出时，这时可以考虑用递推的方式进行放大例设1FX在,AB上正常可积，1,1,2,XNNAFXFTDTN，证明函数序列1NFX在,AB上一致收敛于零证明先用数学归纳法证明一切N有

29、11NNMXAFXN（其中M为常数）因为1FX在,AB上正常可积，故在,AB上有界，即10,MSTFXMXAB，从而21,XAFXFTDTMXA2322XXAAMXAFXFTDTMTADT设对N有11NNMXAFXN，则有111NXXNNNAAMXAMFXFTDTTADTNN所以101NNMXAFXNN故当N时，NFX在,AB上一致收敛于零5、利用TAYLOR公式等进行变形后放大例设一元函数F在0X的邻域里有二阶连续导数，00F，0FX1函数NFX是F的N次复合证明级数1NNFX在0X的邻域里一致收敛证明因为F在X0的邻域里有二阶连续导数，存在0，在,上FX连续，从而存在M0，使得|,FXMX

30、利用TAYLOR公式有“2“21002102FXFFXFXXFXFX从而102FXXFMQX（1）17记102QFM由于01FX，可取1210MIN,FM，用1代替，则111012QFM，则（1）式可以改写成111,FXQX重复使用得2211111FXQFXQQXQ，11111,NNNFXQFXQX由级数111NNQ的收敛性可知级数1NNFX在X0的邻域内一致收敛6、利用ABEL变换进行放大利用CAUCHY收敛准则证明函数项级数1NNUX一致收敛，一个重要的问题是将“1NPKKNUX进行变形”这种变形的一个重要方法是利用ABEL变换例设函数序列0FX，1FX，在区间I上有定义，且满足（1）0|

31、0|,FM（2）10|,0,1,2,MNNNFXFXMM其中M是常数，试证如果级数1NNBX收敛，则级数0NNNBFX必在区间I上一致收敛证明因1NNB收敛，故对0,0,N当NN时，有1,NPKKNBPN1记11NPKKNSB，于是11,2,SI2利用ABEL变换有1121211NPKKNNPPNPKNBFXSFSSFSSF11211NNPNPNPPNPSFFSFFSF11211|NNPNPNPPNPSFFSFFSF11NPKKNPKNFFF（由（2）式）因为11110NPNPKKKKKNKFFFFM（条件II）0011110011|2NPNPNPNPNPNPFFFFFFFFFFFFFM（条件

32、I）18所以13NPKKKNBFXMPN，故级数0NNNBFX在区间I上一致收敛4、交错函数项级数及其一致收敛判别法定义设有函数项级数111NNNUX，其中1,2,3NUXN是区间,AB上的连续函数，当N时，NUX在区间,AB上单调递减趋于0，则称这一级数为莱布尼兹型函数级数莱布尼兹判别法若111NNNUX为莱布尼兹型函数项级数，则此级数在,AB上一致收敛定理设NUX在区间,AB上的连续函数列，且对,XAB，都有（1）10,NNUXUXNN（2）LIM0NNUX则交错函数项级数11NNNUX在,AB上一致收敛例证明1211NNNX在区间,AB一致收敛分析此例若用阿贝尔判别法将无法判别，而用狄利

33、克雷判别法必须证明21NX一致收敛于0，如果应用以上定理就方便多了证明21NX是任意闭区间,AB的连续函数列1,0NNXABUXUX，LIM0,NNUX由上述定理知，函数项级数1211NNNX一致收敛致收敛定理若交错函数级数111NNNUX满足以下条件XI，NN有1NNUXUX；XI，有LIM0NNUX，则有（1）交错函数级数111NNNUX在I收敛于SX；（2）|NNNRXSXSXUX，其中NSX为交错函数级数前N项部分和,NRX交错函数级数前N项部分和的余和19证明（1）0XI，KN，有0102021021022021,KKKKSXUXUXUXUXUX20102021020,KKKSXUX

34、UXUXUX210202102200,KKKKSXSXUXUX即偶子列20KSX单调增加又有201020302102010203040502202102010KKKKKKSXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUX即偶子列20KSX有上界根据收敛原理，偶子列20KSX收敛设200LIMKKSXSX，则21020210LIMLIMKKKKKSXSXUX，即奇子列210KSX也收敛于0SX于是，00LIMKKSXSX，即交错函数级数111NNNUX在I收敛（2）由于,XINN有10,NNUXUX且0,NUX故123412345123451NNNNNNNNNNNNNNNNNNRXSX

35、SXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUX例证明级数212111NNNXX在,上一致收敛证明记221NNXUXX，则NUX在,上连续1,2,3,N,又对2211,11NNNNXXXUXUX1,2,3,N,22LIMLIM01NNNNXUXX，即对,NXUX单调减少收敛于0，所以级数212111NNNXX，,X为莱布尼兹型级数，从而在,上一致收敛20例考察11SIN1,0NNNXXN的一致收敛性证明因为SINNXN是0X上的连续函数而且对于每一个0,X，当N时SINNXN单调递减趋于0，所以原级数为LEIBNIZ型级数，所以由LEIBNIZ法得证级数11SIN1,0NN

36、NXXN是一致收敛的5、总结本文是数学与应用数学之分析学为研究方向的，具体内容为函数项级数收敛判别法的推广和应用主要从函数项级数收敛尤其是一致收敛的角度来探讨研究，并且分别举出它们的应用和推广函数项级数的思想不仅在中学教育而且在高等数学中都起着十分重要的作用，无穷的思想在初等数学和高等数学中起着承上启下的作用对函数项级数收敛判别的推广，我将从原来的基础做出更一步的研究，对判别函数项级数收敛或者一致收敛的应用方面将从多角度进行举例主要参考文献1裴礼文数学分析中的典型问题与方法（2版）M高等教育出版社，20064815142华东师范大学数学系数学分析（3版下册）M高等教育出版社，200126433钱吉林数学分析题解精粹M崇文

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