1、1（20_届）本科毕业设计数学与应用数学极限计算的方法与技巧2目录中文摘要和关键词英文摘要和关键词1引言2极限计算的技巧与方法21利用定义求极限第3页22利用极限的四则运算性质求极限第5页23利用两个重要极限公式求极限第6页24利用变量替换求极限（换元法）第7页25利用夹逼准则求极限第7也26洛必达法则求极限第8页27利用单调有界准则求极限第9页28利用无穷小量的性质求极限第10页29利用迈克劳林展开式或泰勒展开式求极限第10页210利用定积分求定义及性质的极限第11页211利用级数收敛的必要条件求极限第12页212利用中值定理求极限第13页213利用单侧极限求极限第15页214利用一些结论求
2、极限第15页215多种方法的综合运用第16页3小结参考文献致谢3极限计算的方法与技巧摘要求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至感到变幻莫测无从下手,本文总结了几种常用的求极限方法辅以例题,并对其适用范围及使用时的注意事项等进行了一定说明关键词极限,夹逼准则,洛必达法则,泰勒公式,定积分,无穷级数ONMETHODSANDSKILLSINLIMITCALCULATIONSABSTRACTTHEMETHODSOFLIMITCALCULATIONSVARYALOTBECAUSEOFQUESTIONSANDCHANGEMULTITERMINAL,SOMETIMESEVENCANBEFELTOVERWH
3、ELMINGANDUNPREDICTABLETHISPAPERSUMMARIZESSEVERALCOMMONMETHODSWITHEXAMPLESASWELLASTHERESPECTIVESCOPEANDITEMSSHOULDBENOTICEDWHENUSINGTHEMETHODSKEYWORDSLIMIT,CLIPFORCEDCRITERION,LHOSPITALLAWS,TAYLORFORMULA,DEFINITEINTEGRAL,INFINITESERIES41引言极限的由来可以追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由
4、于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识精确极限的思想方法贯穿数学分析的始终可以说数学分析中几乎所有概念离不开极限几乎所有数学分析著作都是先介绍极限,然后利用极限的方法给出连续函数,导数,定积分,级数的敛散性,多元函数的偏导性,重积分和曲线积分与曲面积分的概念因此握求极限的技巧和方法是学好高等数学的前提条件但求极限的方法因题而异,变化多端,有
5、时甚至感到变幻莫测无从下手,本文总结了几种常用的求极限方法辅以例题并对其适用范围、使用时的注意事项等进行了一定说明2极限计算的技巧与方法21利用定义求极限例11223LIM22XXXX证明由于244122322XXXXXX2222XXX,故对0,取,则当20X时,就有12232XXX由函数极限的定义有2232LIM12XXXX适用范围用定义求极限适用于能预先猜测极限结果,并且表达式相对比较简单的问题,常和单调有界原理等方法结合适用,如例2设010,1,SIN0,1,NNXAXAXN证明LIMNNX存在，且为方程SINXXA（第二届全国大学生数学竞赛预赛试题）5证明设SINFXXXA，0,1则1
6、COS0FXX，,FF,于是FX在R上有且仅有一个根，记为从而对20,由于1SINSINNNXAXASINSIN2SINCOS2,222NNNNNXXXXX故有11210NNNNXXA因此只要取LOG20,N当NN时，就有21NNX由极限定义知，LIMNNX存在且为22利用极限的四则运算性质求极限对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,法则本身很简单,但为了能够使用这些法则,往往需要先对函数做某些恒等变形或化简采用怎样的变形和化简,要根据具体的算式确定,常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量
7、替换极限的四则运算性质1AXFXXLIM0，BXGXXLIM01LIM0XGXFXXLIM0XFXXBAXGXXLIM02BAXGXFXGXFXXXXXXLIMLIMLIM0003若B0则BAXGXFXGXFXXXXXXLIMLIMLIM0004CAXFCXFCXXXXLIMLIM00（C为常数）上述性质对于,XXX时也同样成立6例3例（1）2211LIM21XXXX2已知11112231NXNN求LIMNNX解（1）2211111112LIMLIMLIM21121213XXXXXXXXXXXX（2）11112231NXNN11111111111122334411NNNN,所以1LIMLIM1
8、1NNNXN适用范围必须各项极限都存在（对分母部分还要分母极限不为零）才可使用，并且只对有限项的适用常见错解222214732LIM1111NNNNNN222214732LIMLIMLIMLIM1111XXXXNNNNN00000剖析错误所在将只适用于有限个数列加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围数学中的公式、法则、定理等，大都有一定的适用范围，不注意这一点，思维就是不严密的，就有导致错误的可能，这一点我们必须引起足够的重视222211323332LIMLIMLIM212212XXXNNNNNNN正解23利用两个重要极限公式求极限第1个重
9、要极限的标准形式0SINLIM1XXX第2个重要极限的标准形式1LIM1XXEX7在0SINLIM1XXX中，X是无穷小量，即此极限的特征是无穷小量的正弦与其自身之比的极限时1，设X为X的函数，在X的某个变化过程中，若0X则第一个重要极限的一般形式为0SINLIM1XXX在1LIM1XXEX中，X时1X是无穷小量,因此该极限的特征为10LIM1XXXE例40SINLIM,SINXAXABBX均为常数解因SINSINSINSINAXAXXBXXBX，于是可以把以上极限化为两个函数的极限求解又当0X时，0,AX0,BX于是有SINSINSINSINAXAAXBXABXBAXBXB适用范围用该方法求
10、极限时,常需对函数或数列做适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化24利用变量替换求极限（换元法）当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求例511LIMLNXXXXX解令1,LNLN1XTXXT则,因此1001LN11LIMLIMLIM1LNLN1XXTTTXTXXTT适用范围换元法求极限适用范围很广，通常是作为恒等变形的一种技巧，需结合求极限的其他方法一起使用25利用夹逼准则求极限定理11数列极限的迫敛性（夹逼准则）设收敛数列,NNAB都以A为极限，数列NC满足存在正数N,当NN时,有NNNACB，则有LIMNXCA8例16221
11、1LIM222NNNNNNNNN解NNNNNNNNNNNN22222211211212NNN,即NNNNNNNNNNNN222222112211212NNNN,而214211LIM421LIM221LIM2NNNNNNNNNNN,2122211LIM121LIM22NNNNNNNNN利用两边夹定理知212211LIM222NNNNNNNNN适用范围利用夹逼准则求极限关键在于从NX的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列NY和NZ,使得NNNYXZ关键在于选用合适的不等式26利用洛必达法则求极限洛必达法则对求未定式的极限而言是一种简便而又有效的方法使用时,注意适当地化简、换
12、元定理2100LIM0,LIM0XXXXIFXGX若000000LIMLIMLIMOXXXXXXIIFGXUXGXFXIIIAAGXFXFXAGXGX与在的某空心邻域内可导，且可为实数，也可为或），则此定理是对00型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则例7求10LNSINLIMLNSINXMXNX2211LN1SINLIM1ARCTANNNNN解（1）由0LIMLNSINLIMLNSINXXOMXNX所以上述极限是待定型9000LNSINCOSSINSINLIMLIMLIM1LNSINCOSSINSINXXXMXMMXNXMMXNXNNXMXNNX（2211LN1SINLIM1ARCT
13、ANNNNN220001COSLN1SINLN1SIN1LIMLIMLIM2ARCTANXXXXXXXXXXXX0011COSCOS1COS1LIMLIM222XXXXXXXX适用范围洛必达法则适用于000,1,0,00等未定式极限,但不能直接用于数列极限,且对未定式的函数极限也不是万能,有失效的时候因此为了更准确、快捷的运用洛必达法则求极限应注意以下几点1要注意条件,也就是说,在没有化为0,0时不可求导2应用洛必达法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数3要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用洛必达法则,否则会引起错误4当
14、LIMXGXFAX不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法如1XXXXXCOS3SIN2LIM解易见该极限是“00”型,但用洛比达法则后得到XXXSIN3COS21LIM,此极限不存在而原来极限却是存在的正确做法如下原式XXXXXCOS3SIN21LIM（分子、分母同时除以X）31221LIMXXX10解尝试洛必达法则得原式2LIM1XXX21LIMXXX,但利用四则运算的方法易得原式21LIM1XXX5使用时要及时化简,结合使用等价无穷小替换、换元等方法和技巧27利用单调有界准则求极限单调有界准则1单调有界数列必有极限,而且极限唯一例8证明下列数列的极限存在,并求极
15、限123,NYAYAAYAAAYAAAA,证明从这个数列构造来看NY显然是单调增加的用归纳法可证又因为21321,NNYAYYAYYAY,所以得21NNYAY因为前面证明NY是单调增加的两端除以NY得1NNAYY因为1NYYA则NAAY,从而11NAAY1NAYA即NY是有界的根据定理NY有极限,而且极限唯一令LIMNNYL则21LIMLIMNNNNYYA则2LLA因为0NY解方程得1412AL所以141LIM2NNAYL适用范围此方法主要用于数列极限利用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的存在,然后根据数列的通项递推公式求极限28利用无穷小量的性质求极限11无穷小量的性质主要指（1）有限个
16、无穷小的和是无穷小（2）有界函数与无穷小乘积是无穷小（3）等价无穷小在求极限时可以相互替换这些性质常用来求相关的极限,特别是等价无穷小的替换常见的等价无穷小关系有当0X时,有XXSINXTANXARCSINXARCTAN1LNX1XE例9ARCTAN31LNLIM20XXXX解31LN0XX时，X3,ARCTAN2X2X,原式33LIM20XXXX适用范围等价无穷小替换只适用于乘除运算,在加减运算中使用常会造成错误,且常作为一种化简技巧与其他求极限方法结合适用常见错解2000111LIMLIMLIM011XXXXXXEXXXXEXEX这里解题者在分子、分母中分别用了0X时X1XE,其中分母部分
17、是适当的,但分子部分就是用在了加减运算中是错误的,因而造成了结果的错误正确解法001111LIMLIM121XXXXXEXXEXE29TAYLOR展式求极限应用泰勒展式求极限需要清楚泰勒定理成立的条件,清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式实际上,泰勒公式在证明及计算极限等方面有着广泛而独到的应用定理31泰勒展开式若FX在X0点有直到N1阶连续导数,那么,2002NNNFXFXFXFFXXXRXN这里111NNNFRXXN其中在0与1之间例102240COSLIMXXXEX解泰勒展开式244COS124XXXOX1222224211222XXXEOX于是24421COS1
18、2XXEXOX所以244244001COS112LIMLIM12XXXXOXXEXX适用范围利用泰勒公式求极限的适用范围较为广泛,只要知道表达式中各个部分的泰勒展式（带佩亚型余项）,不过使用时要注意展开到足够的阶数,否则无法得到结果210利用定积分定义及性质求极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数FX把所求极限的和式表示成FX在某区间,AB上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限例11求222221LIM121NNNNNNNNN解由于222221121NNNNNNNN222111111211111NNNNN可取函数211FXX区间为0,1上述和式恰好是211FXX在0,1上N等分
19、的积分和所以222221LIM121NNNNNNNNN2221111LIM11211111NNNNNN120114DXX13适用范围定积分定义求极限适用于和式或连乘积的数列极限,有时要结合夹逼准则一同适用如例12121LIM1SINNNKKKNN首届全国大学生数学竞赛决赛试题解利用3SIN,0,13XXXXX,得3222211SIN13KKKKKKKNNNNNNN左边332611NNKKKKKKNNNN,积分得左边1100101XXDXXXDXN右边211NKKKNN,积分得右边101XXDXN,所以原式22110051236XXXXDX211级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级
20、数1NN收敛,则0NN运用这个方法首先判定级数1NN收敛,然后求出它的通项的极限例13求2LIMNNNN解设2NNNAN则1122111LIMLIMLIM10111NNNNNNNNNANANNNN14由比值判别法知1NN收敛由必要条件知2LIM0NNNN适用范围适用于判断数列极限是否为0,需要对应的无穷级数收敛性可知,需特别注意通项极限为0只是级数收敛的必要条件,因此即使无穷级数发散也由此断定数列极限必不为0212利用微积分中值定理求极限1微分中值定理2若函数FX满足I在,AB连续II在,AB可导；则在,AB内至少存在一点,使FBFAFBA例14求30SINSINSINLIMXXXX解SINS
21、INSINSINCOSSINXXXXXXX0130SINSINSINLIMXXXX30SINCOSSINLIMXXXXXXX200COS1SIN1LIMLIM366XXXX适用范围适用导数方面求极限，以及求函数值或差值的函数2积分中值定理2设函数FX在闭区间,AB上连续GX在,AB上不变号且可积,则在,AB上至少有一点使得BBAAFXGXFGXAB例15求40LIMSINNNXDX解40LIMSINLIMSIN0044NNNNXDXLIMSIN04NN适用范围适用于出现函数值的差或积分的函数、数列极限,在使用时一定要注意介点本身的变化是否会对极限造成影响,如上面的第二个例子若改为20LIMSI
22、NNNXDX上述做法将不再成立,错误原因就在于的变化无法确保LIMSINLIMSIN002NNNNNN正确解法为0,对于有15222200220SINSINSINSIN12222NNNNXDXXDXXDX而0LIMSIN022NX,于是对上述0,0,NNN当时，有20SIN222N因此当NN时，有2020SIN222NXDX由的任意性，得200LIMSIN0NXXDX213利用单侧极限求极限1求含XA的函数X趋向无穷的极限,或求含1XA的函数X趋于0的极限2求含取整函数的函数极限3分段函数在分段点处的极限4含偶次方根的函数以及ARCTANX或ARCTANCX的函数,X趋向无穷的极限这种方法还能
23、使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在例1621SIN,01,0XXFXXXX,求FX在X0的左右极限解因为01LIMSIN1XXX,01LIMSIN1XXX所以00LIMLIM1XXFXFX于是0LIM1XFX适用范围此法适用于分段函数分段点处极限或一些左右极限不相等的特殊函数,如指数,反三角函数等214利用一些常用结论求极限结论1设LIMNNA（或A）,证明（1）121LIMNNAAAN（或A）16（2）若01,2,NAN则12LIMNNNAAA（或A）结论2若01,2,NAN且1LIMNNX
24、X存在，则1LIMLIMNNNNNNXXX例17求21LIMNNN解因为211111,1NNNNNN1LIM11NNN从而12111111112NNNNENN所以原式等于112111LIM111112NNNNN例18112LIMNNNNN（2009年浙江省高等数学竞赛试题）解1112221211LIMLIMLIM211NNNNNNNNNNNNNNNNNNNN1221LIM411NNNNENN适用范围此类方法对一些特殊的数列极限有出乎意料的效果,特别是有关阶乘的,这一点通过上面的例子可以很容易看出,但是此法只是充分条件不是必要的,即条件、结果有方向性,切勿错向215多种方法的综合运用上述介绍了求
25、解极限的基本方法,然而每一道题目并非只有一种方法因此在解题中要注意各种方法的综合运用,这样才能又快又准确的求的极限结果例18求2220SINCOS1LIMXXXX解法一2220SINCOS1LIMXXXX1722220SIN2COS2SIN2LIMXXXXXXXX22220SINCOSINLIMXXXXX222220SINCOSSINLIMXXXXXX21注此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法解法二2220SINCOS1LIMXXXX21222SINSIN122SINLIMSIN2SIN2LIM222222022220XXXXXXXXXXX注此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限
26、法解法三21SIN42LIM4SIN2LIMCOS1LIMSINCOS1LIM22032022202220XXXXXXXXXXXXXXXXX注此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四21SIN2LIMSINCOS1LIMSINCOS1LIM224220224202220XXXXXXXXXXXXXX注此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法解法五2121LIM22LIMSIN2SIN2LIMSINCOS1LIM44022220222202220XXXXXXXXXXXXXXX注此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法解法六令2XU21SINCOSCOSC
27、OSLIMCOSSINSINLIMSINCOS1LIMSINCOS1LIM0002220UUUUUUUUUUUUXXXUUUX18注此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则解法七2222222200021COSSIN11LIMLIMLIMSINCOSSIN21TANXXXXXXXXXXXX注此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限适用范围单一的方法解决不了的问题3小结以上介绍了极限计算中常用的16种基本初等方法,在实际运用中,要首先判定所求极限属于哪一种类型,视具体情况灵活正确运用同时,也要注意各种方法的综合运用参考文献1华东师范大学数学分析上、下册（第三版）M北京高等教育出版社,200611
28、91252裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社,20061861913卜春霞赵占才数学分析选讲M郑州大学出版社20069,1404张再云,陈湘栋,丁卫平,涂建斌极限计算的方法与技巧J湖南理工学院学报自然科学版,2009,22216195刘虹对求极限方法的总结J安徽教育学院学报,1999,85150516伏玲娇,孟凤娟计算极限的常用方法J科技信息,2010,71521557唐守宪几种求极限的方法J沈阳师范学院学报自然科学版,2003,22118198韩利娜,张若男常用的几种求极限的方法J郑州工业贸易学院学报,2009,22118209殷俊峰求极限的方法研究J长春大学学报,2010,20283010张燕探讨求极限的方法J石家庄商法学院学报2008,1522830
