1、1毕业论文开题报告数学与应用数学QBERNSTEIN算子的性质研究一、选题的意义从上世纪五六十年代开始,概率论方法和泛函分析方法在算子逼近理论的研究和应用中得到了蓬勃发展直到七十年代末,人们才开始利用概率论中的中心极限定理来研究线性算子对有界函数的逼近性质利用各种概率分布构造逼近算子和用概率方法研究算子逼近中的问题,是算子逼近论研究中一个热点而BERNSTEIN多项式在逼近论中起着重要的作用,关于它的种种应用和各种的变形,人们已经做了大量的研究特别地,近些年来,随着Q微积分的发展,出现了很多基于Q整数的算子的各种推广该选题就是对新型算子QBERNSTEIN算子的若干问题进行研究该算子是基于Q整
2、数的一种BERNSTEIN算子推广,是由PHILLIPS在1997年首先引入的近年来,众多学者对其进行了广泛的研究,得到了很多有意义的结果这些结果主要在于Q一BERNSTEIN算子的保单调性和保凸凹性,参数Q不同取值时其不同寻常的收敛性质二、研究的主要内容,拟解决的主要问题（阐述的主要观点）在1912年,BERNSTEIN提出了BERNSTEIN多项式用来逼近区间O,1上的连续函数BERNSTEIN多项式在逼近论中起着重要的作用,关于它的种种应用和各种的变形,人们已经做了大量的研究特别地,近些年来,随着Q微积分的发展,出现了很多基于Q整数的算子的各种推广本文在查阅相关文献后,了解QBERNST
3、EIN算子的定义、已有研究结果及其主要研究方法,同时学习正算子理论的常见研究手段然后基于对已有结果的深入理解,尝试用Q导数的办法研究QBERNSTEIN算子,丰富已有的结果三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）研究（工作）步骤120101215201118根据选题,广泛查阅资料,填写任务书有关事项,明确任务要求,初步形成研究方向22011118201135利用课余时间、假期仔细研读参考文献32011362011318初步拟定论文提纲,收集所要翻译的外文资料,完成两篇外文2翻译,以及撰写开题报告和文献综述42011319201141修改开题报告、文献综述和外文翻译,进一步整理论文大纲根据论文大
4、纲翻阅相关详细资料52011412011410整理收集的相关材料,开始写论文工作620114102011425撰写论文初稿,上交论文、译文、开题报告、指导记录、中期检查表720114252011430修改论文,上交所有相关材料820115012011519补充必要的内容,论文打印、定稿920115202011528准备毕业论文答辩方法及措施方法在自学的基础上加强与指导老师的交流，借鉴指导老师的意见，参考相关的文献，同时又要有自己的想法和主见，发挥创造创新的意识。措施（思路）充分地利用好网络资源、图书馆资源等，为论文的写作奠定好坚实的基础，根据论文题目和对相关资料的学习确定论点。而后通过对已有的
5、结果进行深入理解，拓展凸函数的性质和应用，得到凸函数的本质属性。四、毕业论文（设计）提纲1前言2QBERNSTEIN算子的介绍21QBERNSTEIN多项式的基本定义22QBERNSTEIN算子的性质3QBERNSTEIN算子的收敛速度31在01时QBERNSTEIN算子收敛速度4极限QBERNSTEIN算子5Q变量的相关收敛6致谢辞7参考文献五、主要参考文献31谢庭藩,周颂平实函数逼近论M杭州杭州大学出版社,1998182陈文忠算子逼近论厦门大学出版社1991133PHILLIPSGMBERNSTEINPOLYNOMIALSBASEDONTHEQINTEGERSJANNNUMERMATH,1
6、997,45115184ILINSKIIA,OSTROVSKASCONVERGENCEOFGENERALIZEDBERNSTEINPOLYNOMIALSJJAPPROXTHEORY,2002,1161001125WANGHEPINGKOROVKINTYPETHEOREMANDAPPLICATIONJJAPPROXTHEORY,2005,13222582646WANGHEPINGTHERATEOFCONVERGENCEOFQBERNSTEINPOLYNOMIALSFOR01时,QBERNSTEIN多项式不是正算子这个事实,这种情况很少被研究然而,近几年也出现了一些新结果关于Q1时,QBERNST
7、EIN算子的收敛性是由OSTROVSKA在18中给出的出人意料地,此时,该算子虽不再是正线性算子,但对某些函数却有着更好的逼近效果另外,OSTROVSKA还对极限算子在复平面上的解析性进行了研究,并对Q1时QBERNSTEIN算子的收敛速度进行了估计三、存在问题人们利用概率论中的中心极限定理来研究线性算子对有界变差函数有界函数的逼近性质,利用各种概率分布构造逼近算子和用概率方法研究算子逼近中的问题,是算子逼近论研究中一个热点而QBERNSTEIN算子作为一种新型算子和经典推广,对性质的研究不仅仅局限于一些基础问题,得到的知识是这方面的特殊形式,因此还有待于大家作更大的努力,进一步地探讨和研究当
8、1Q时,QBERNSTEIN多项式的收敛性和古典BERNSTEIN多项式的不同对于01时,QBERNSTEIN多项式不是正算子这个事实,这种情况很少被研究。有一些在运用的过程中具有很大的难度,并不能顺利地解决问题,因此需要对此改进,使6得他们在实际运用中能真正发挥作用。参考文献1谢庭藩,周颂平实函数逼近论M杭州杭州大学出版社,1998182陈文忠算子逼近论M厦门大学出版社1991133PHILLIPSGMBERNSTEINPOLYNOMIALSBASEDONTHEQINTEGERSJANNNUMERMATH,1997,45115184ILINSKIIA,OSTROVSKASCONVERGENC
9、EOFGENERALIZEDBERNSTEINPOLYNOMIALSJJAPPROXTHEORY,2002,1161001125WANGHEPINGKOROVKINTYPETHEOREMANDAPPLICATIONJJAPPROXTHEORY,2005,13222582646WANGHEPINGTHERATEOFCONVERGENCEOFQBERNSTEINPOLYNOMIALSFOR00,称,SUPXXHIHTFTFXHFX为FX的连续性模3QBERNSTEIN多项式由于BERNSTEIN多项式在逼近理论及其应用上扮演了一个重要角色,它们的各种变形一直被不断地研究伴随着Q计算的深入发展,BE
10、RNSTEIN多项式基于Q整数的变形应运而生31QBERNSTEIN多项式的基本定义首先介绍一些Q分析的标准记号设Q0,0,1,2,N,Q整数QN被定义为11NQNQQN1,2,00Q，且Q的阶乘QN定义为12QQQQNNN1,2,01Q当整数K满足0KN,Q的二项式或高斯系数被定义为QQQQNNKKNK15显然,当Q1时,1NN,1NN,1NNKK设0,1FC我们用0,1C0,1,1NCN表示0,1上的所有连续N阶连续可微的复值函数空间带一致范数表达式NGXGX意味着一个序列NGX到GX的一致收敛定义314设0,1FC，FX的QBERNSTEIN多项式是0,1,2,NQNNKKQKBFQXF
11、PQXNN这里,0,1,KNKNKQNPQXXXQKNK，其中1000111NKKNKKZQZQZQZQZQ显然,当Q1时,多项式,1NBFX就是经典的BERNSTEIN多项式，因此QBERNSTEIN多项式是BERNSTEIN多项式的一种基于Q整数的推广32QBERNSTEIN多项式的性质321QBERNSTEIN多项式的保形性等首先给出0,1Q时QBERNSTEIN多项式的线性性,端点插值性，正性与保形性等方面的性质定理321若,FG是0,1上的函数,是常数,I是0,1上的恒等映射,则1,NBFQ的次数N2,NNNBFGQBFQBGQ线性性质证明是显然的16定理331QBERNSTEIN算
12、子的保形性等性质设,FG是0,1上的函数,那么1,00NBFQF,11NBFQF（端点插值性）2,NNFGBFQBGQ（正性）3F是0,1上的单调函数或严格单调函数,NBFQ也是0,1上单调函数或严格单调函数,其增减性与F相同（保单调性）4F是0,1上的凸函数或严格凸函数,NBFQ也是0,1上凸函数或严格凸函数,并且1,NNBFQBFQ（保凸凹性）由此可知，0,1Q时QBERNSTEIN多项式有着与经典BERNSTEIN多项式完全相同的线性性，端点插值性，正性和保形性的性质但是容易证明,当1Q时,很多性质将不再具备，如最基本的正性就不再成立下面利用Q导数,给出0,1Q时QBERNSTEIN多项
13、式保单调性和保凸凹性的证明首先，我们先引入Q导数的概念对于函数FX,Q导数表示为QDFX,定义为0,0,1LIM,0QQTFQXFXXQXDFXDFTX而更高阶的Q导数被循环定义为10,1,2,NNQQQQDFDDFNDFF从Q导数的定义不难得到若FX在0,1上是连续的,则NQDFX,N1,2,在0,1上也是连续的进一步还有如下的引理成立引理34设FX是0,1上的连续函数满足01FF,那么存在0,1使得0QDF对所有0,11,Q都成立证明由于FX在0,1上是连续的且01FF,故FX在0,1内存在最大值或者最小值下面是在0,1Q的情况下,我们对1QDF的符号进行讨论情形110QDF在这个情况下,
14、有1FQF,0,1Q那么不失一般性,可以假设这里存在00,1X使得001MAXXFXFX显然,00QDFX从17QDFX,0,1X的连续性,我们可以推断出存在0,10,1X使得0QDF情形210QDF与情形1的方法相同,我们可以得到存在0,1使得0QDF情形310QDF在这个情况下,有10FQFF,对QDFQ重复以上的讨论可以得到若0QDFQ,存在0,Q使得0QDF否则,引理结论在Q时显然成立至此我们证明了01Q时引理的正确性对于1,Q的情况,我们可以用相同的方法进行证明引理35设X与01,NXXX是区间0,1上任意独立的点设FX是一个在0,1上的连续函数,那么存在0,1X对所有0,11,Q有
15、101,1NQXNDFFXXXXN成立这里01,NFXXXX表示的是FX在点01,NXXXX上的均差证明由FX的连续性和,0,1,KQDFK的定义得1NQDFX存在区间0,1上成立用引理34代替文献12中定理23证明中的QROLLE定理,我们可以得到引理35的结论为了证明的需要，用QF来标记函数FX的Q差分特别是,0,0,1,2,QIIFFIN且11,0,1,1KKKKQIQIQIFFQFKNI,这里IF表示IFNQBERNSTEIN多项式保单调性的证明通过计算,我们得到18,00,11101,0,111111111QNNNNKNKKKNNKKKNKNNKKLKLNNKKDBFQXKKFPQQ
16、XFPQXNNQXKFPQQXNQNKFQXQXKNQXPQQXKFKXN11,111111KNKNLKLNNKKKQNKKFNKQXKNNKPQQXKKFFKNNQX其中1KKFFNN就是11QKF由于FX是一个递增函数,故对0,1,KN,1110,0QKQKFF成立于是在0,1上,0QNDBFQX结合引理34,我们有对任意12,0,1XX,存在0,1使得12,NQNBFQXXDBFQ因此,对任意120,1XX,12,0NBFQXX成立由此,NBFQX的单调递增性可以直接得到QBERNSTEIN多项式保凸凹性的证明首先,我们有1922,111,1112,111112111111,111111
17、1QNNNKQKKKNNKQKKKNNKQKKKNKKLNKNKNLQKKKKQKNKDBFQXKPQQXFQQXKPQQXFQXQXKPQQXFQXNKQXQXQXQXQXKFQXQXQKFPQQ2222112112211121,222122,222222,222111111111NKKNKKLNKQKNLKKKNQKNKKKNQKNKKKNQKNKKKXQXQNKFKQXQXQKNKQXQQKKFPQQXQXQFKKPQQXQXFKKPQQXQX由于FX在0,1上是凸的,对任意0,1,KNK,21111KKKQQNQNN且11,01QQ,所以12KKKNNN22110QKKKKFFQFQF
18、NNN成立20因此,2,0,0,1QNDLFQXX结合上式与引理35,我们得到了,NBFQX在0,1上是凸的322QBERNSTEIN多项式的逼近性质10,1Q时的逼近性质由321部分知，在0,1Q的情况下,每个QBERNSTEIN多项式都是0,1C上的一个正线性算子5中,指出了QBERNSTEIN多项式序列对每个0,1FC都一致收敛,并且它的极限是在0,1C上的一个正线性算子,我们叫它极限QBERNSTEIN算子这一点与经典的BERNSTEIN多项式完全不同另外，与Q1的典型情况不同地,QBERNSTEIN多项式序列对0,1Q不符合KOROVKIN定理的条件因此,证明以上结果需要一种不同的途
19、径在5中,HWANG证明了能应用于QBERNSTEIN多项式序列的一般KOROVKIN型定理该定理不但揭示了极限QBERNSTEIN算子的存在,而且给出了一个收敛速度的估计定理366设NL是0,1C上的一个正线性算子序列,符合以下条件（I）序列2NLTX一致收敛于0,1（II）对任意凸函数F,0,1X,序列NLFX是关于N的非减序列那么在0,1C上存在一个算子L,使得,NLFXLFXN另外,下面估计成立2NNLFXLFXCFX,1这里22NNXLTXLTX,且C是仅与11L有关的常数对QBERNSTEIN多项式应用上面的一般KOROVKIN型定理可以得到定理377对0,1Q且0,1FC,NBF
20、QXBFQXN等式,NBFQXFX适用于当且仅当FXAXB其中极限QBERNSTEIN算子的定义为210011,01,1,1,1KKSKKSXFQQXXQKBFQXFX易证,极限QBERNSTEIN算子不是恒等算子所以,对于0,1Q时,序列,NBFQX不逼近函数F除非F是线性的这里需要指出的是这与Q1的情况下,对0,1FC,1NBFX逼近F是完全相反的进一步根据（1），汪和平教授在6给出了以下QBERNSTEIN多项式收敛速度的数量结论2,NNCBFQBFQCFQ2这里C是一个绝对常数这一估计对20,1FC是准确的（2）在Q1时QBERNSTEIN多项式的逼近性质事实上,对01Q,QBERNS
21、TEIN多项式是正线性算子这一点必不可少的被用于它们特性的研究Q1时,正性不再成立,需要不同的方法在Q1的情况下,QBERNSTEIN多项式的收敛性是由SOSTROVSKA率先考虑得到的定理389若F在圆盘RDZZR,R1中解析,那么对任意紧集RKD,BFQZFZZKN推论398若F是整函数,那么对任意紧集KC,NBFQZFZZKN因此,我们注意到在Q1的情况下,QBERNSTEIN多项式在0,1上在一定范围内解析的函数形成了一个逼近序列若RQ,那么在0,1上的QBERNSTEIN多项式的收敛速度是NQ,而典型QBERNSTEIN多项式的阶为1NHWANG在5中考虑了VORONOVSKAYA型
22、等式,以下是得到的VORONOVSKAYA型定理定理3108设1RQ,若函数F解析于圆盘RU,那么对于任意R,0RRQ,22LIM,NQNNBFQZFZLFZ,3一致于RU这里对ZRQ,我们定义1,11QQZDFZFZLFZQQ且对于1Q,1,1/2LFZFZZZ注3118上述定理严格适用于以下情况定理310中的RQ不可被任何其他大于RQ的数字取代,而在RZZQ上的点,QLFZ并未给出定义,更不必说3从定理310我们可以看出当Q1,NQNBFQZFZLFZ在RQHU且,QRQLFZHU此外,我们有以下当Q1时有关QBERNSTEIN多项式的收敛速度的相关结论定理3128设RQ1,若函数F解析于
23、圆盘RU,那么,NNQBFZFZQ对无穷点集在RQU上有聚点当且仅当F是线性的推论3138设RQ1,若RFHU不是线性函数,那么,对于任意R,0RRQ,SUP,NNQZRBFZFZQ,0,1SUP,NNQXBFZFZQ定理3148设R1且RFHU,那么对于任意R,01时,QBERNSTEIN多项式不是正算子这个事实,这种情况的研究是近几年才发展起23来的但仍有不少问题是开放的,如问题描述函数F的类使得当Q1时,NBFQXFX,0,1,XN参考文献1谢庭藩,周颂平实函数逼近论M杭州杭州大学出版社,1998182陈文忠算子逼近论M厦门大学出版社1991133PHILLIPSGMBERNSTEINP
24、OLYNOMIALSBASEDONTHEQINTEGERSJANNNUMERMATH,1997,45115184ILINSKIIA,OSTROVSKASCONVERGENCEOFGENERALIZEDBERNSTEINPOLYNOMIALSJJAPPROXTHEORY,2002,1161001125WANGHEPINGKOROVKINTYPETHEOREMANDAPPLICATIONJJAPPROXTHEORY,2005,13222582646WANGHEPINGTHERATEOFCONVERGENCEOFQBERNSTEINPOLYNOMIALSFOR0Q1JJAPPROXTHEORY,20
25、05,1361511587WANGHEPINGVORONOVSKAYATPYEFORMULASANDSATURATIONOFCONVERGENCEFORQBERNSTEINPOLYNOMIALSFOR0Q1JJAPPROXTHEORY,2007,14521821958WANGHEPINGSATURATIONOFCONVERGENCEFORQBERNSTEINPOLYNOMIALSINTHECASEQ1JJAPPROXTHEORY,2007,3377447509林地旺关于QBERNSTEIN算子和BASKAKOV算子逼近性质的研究J厦门大学,2009211310云连英QSTANCU算子的保形性及
26、收敛定理J浙江大学学报理学版,2009,36325425811云连英关于QBERNSTEIN多项式及其BOOLE和迭代J应用数学,2008,21352452812AARAL,VGUPTA,THEQDERIVATIVEANDAPPLICATIONTOQSZSZMIRAKYANOPERATORSCALCOLO2006,43151170THEPROPERTIESOFQBERNSTEINPOLYNOMIALSABSTRACTTHISPAPERBRIEFLYINTRODUCEDTHEDEFINITIONSANDPROPERTIESOFTHEQBERNSTEINOPERATOR,INCLUDINGTHEPROPERTIESSUCHASTHESHAPEPRESERVINGPROPERTIESANDTHERATEOFCONVERGENCE,EVENGIVESANEWPROOFOFTHESHAPEPRESERVINGPROPERTIESBYQDERIVATIVEKEYWORDSQBERNSTEINPOLYNOMIALSQDERIVATIVESHAPEPRESERVINGPROPERTIESLIMITQBERNSTEINOPERATORRATEOFCONVERGENCE24
