1、1毕业论文开题报告数学与应用数学2R上的完备性定理的证明及应用一、选题的意义二维平面2R上的5个基本定理闭区域套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理及CAUTHY准则1刻画了2R的完备性,构成了二元函数极限理论的基础。极限理论是数学分析的理论基础，而完备性定理又是极限理论的重要部分本文选择实数完备性的证明旨在弄清楚二维平面2R上的5个基本定理之间的互相证明及用其中一个区证明另外4个，完善这5个定理之间的等价性并在实际的应用中体会他们之间的等价性二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）（1）二维平面2R上的5个基本定理的循环证明（2）用其中的一个定理去证明另外4个（3）在实际应
2、用中体现实数的完备性及等价性三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）（1）查询整理相关资料、文献（2）论文初稿，相应的定理证明。自己证明相应的循环论证和其他一证四（3）整理论文，查漏补缺四、毕业论文（设计）提纲1、平面2R上的5个基本定理闭区域套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理及CAUTHY准则的循环证明2、用其中的一个定理去证明另外四个3、在实际的题目中运用完备性、并体现他们之间的等价性五、主要参考文献1华东师范大学数学系编数学分析上册M北京高等教育出版社,20012华东师范大学数学系编数学分析下册M北京高等教育出版社,200123裴礼，数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社4薛怀
3、玉、R2上完备性定理的等价性，咸阳师范专科学校学报1988年第13卷第6期5、李博、梅瑞、利用完全覆盖定理证明二维空间的几个完备性定理，河北北方学院学报6、关金玉,徐永春二维空间完备性基本定理的相互证明河北北方学院学报自然科学版3毕业论文文献综述数学与应用数学2R上的完备性定理的证明及应用数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一,更是高等师范学校数学教育专业最主要的基础课程在数学分析教材中,实数集的确界定理、数列的单调有界定理、区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理,它们各自从不同角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性,成为极限理论乃至数学分析的坚实基
4、础这6个基本定理是相互等价的,也就是说可以相互循环论证但一般是以其中某一个定理做为公理,然后推证其余5个定理的正确性2R上的完备性定理相比较实数上的完备性定理因为确界存在定理和单调有界定理是以实数集是有序域为基础的,而平面上的点不能比较大小所以在2R上的完备性定理只有闭区域套定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理及CAUTHY准则。在数学分析下册（华东师范大学数学系编）中在第16章平面点集和多元函数中的第一节中提及了2R上的完备性定理，因为2R上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。为此，在本书中饭先给出平面点列的收敛性概念。定义1设2NPR为平面点列，20PR为一固定点，若0，0N使当NN
5、有0,NPUP则称点列NP收敛于0P记作0LIM,NNPP或0,NPPN然后再给出2R上的完备性定理定理161（柯西准则）平面点列NP收敛的充要条件是任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正整数P，都有,NNPPP定理162（闭域套定理）设ND是2R中的闭域列，它满足（I）1,1,2,3,NNDDN4（II）,LIM0,NNNDDD则存在唯一的点0,1,2,NPDN定理163（聚点定理）设2ER为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点。推论有界无限点列2NPR必存在收敛子列KNP定理164（有限覆盖定理）设2DR为一有界闭域，A为一开域族，它覆盖了D（即1NIID）,则在A中必存在有限
6、个开域12,N，它们同样它覆盖了D（即1NIID）而这4个基本定理也是相互等价的,也就是说可以相互循环论证但一般是以其中某一个定理作为公理,然后推证其余3个定理的正确性而在数学分析下册中首先给出柯西准则的证明，而之后以柯西准则去证明闭域套定理，再用闭域套定理证明聚点定理而在有限覆盖定理的证明是通过在R上的类比推论。在这里我想在我的论文中完善一个完整的循环论证即柯西准则闭域套定理聚点定理有限覆盖定理同时，因为在数学分析下册上稍有提及R上的完备性推广到2R上的完备性定理的思路，所以在我的论文里希望完成书本上没有给出的推广过程。在薛怀玉、R2上完备性定理的等价性，咸阳师范专科学校学报1988年第13
7、卷第6期；中指出实数完备性的六个基本定理确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和数列收敛的可喜准则，在实数系中式相互等价的，其中因为确界原理与单调有界定理是以实数可以比较大小为基础的，由于二维空间2R中的有序实数对不能比较大小，所以在2R上没有两个定理的相应定理，而其余四个基本定理都可以推广到2R上分别得到定理一（闭域套定理）设ND是2R中的闭域列，它满足（I）1,1,2,3,NNDDN（II）,LIM0,NNNDDD5则存在唯一的点0,1,2,NPDN定理二（有限覆盖定理）设2DR为一有界闭域，A为一开域族，它覆盖了D（即1NIID）,则在A中必存在有限个开域12,N，它
8、们同样它覆盖了D（即1NIID）定理三（聚点定理）设2ER为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点。定理四（平面点列收敛的柯西准则）平面点列NP收敛的充要条件是任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正整数P，都有,NNPPP接下来在本文中证明了2R上的四个完备性定理是等价的，他所给定的证明顺序是定理1定理2定理3定理4定理1。通过这样的循环证明达到验证等价的目的而在李博、梅瑞、利用完全覆盖定理证明二维空间的几个完备性定理，河北北方学院学报；中则是将完全覆盖的概念和完全覆盖定理从一维空间推广到二维空间,利用完全覆盖定理证明二维空间的几个完备性定理在二维空间采用四等分矩形区域的方法构造闭区
9、域列,再根据闭区域套定理给出二维空间完全覆盖定理的严格证明则推广到二维空间的完全覆盖定理从另一个侧面刻划二维空间的完备性,丰富了证明二维空间连续性的方法和手段,为把完全覆盖定理推广到N维空间作出必要的准备和铺垫因为完全覆盖定理在二维空间有广泛的应用,对二维空间整体性的描述具有重要的意义,可以利用完全覆盖定理证明二维空间的聚点定理、有限覆盖定理和柯西收敛准则在本文中作者应用完备性四个定理中的一个区证明另外三个定理，从另一个角度去证明2R上完备性的等价性。而在金玉,徐永春二维空间完备性基本定理的相互证明河北北方学院学报自然科学版。中他的完备性定理相对于其他的多了一个致密性定理（致密性定理）有界数列
10、必有收敛子列所以在本文中的完备性定理是有五个定理1闭区间套定理，定理2有限覆盖定理，定理3聚点定理，定理4致密性定理，定理5平面点列收敛的柯西准则。在本文的证明中，作者分别以定理1，定理2，定理3为公理去推导出另外的定理。以此证明2R上的完备性定理之间的等价性。通过对以上几篇文章的研究可知对于当前完备性定理的证明主要是证明几个定理之间6的等价性，但这4个定理各有特点,但都从不同的侧面刻划了2R上的完备性。而目前证明其等价性的手段是循环论证或则以其某一个定理为公理去证明另外几个定理。我们知道这几个定理是实数理论的基础,也可以说是数学分析的理论基础,以后微分学与积分理论的建立都是以实数理论为基础的
11、。因此,深入了解这4个定理所反映的实数系的完备性的不同特点,对学好数学分析这门课程有着非常重要的作用。通过对2R上四个完备性定理之间的详细循环证明,更加充分的体现了相互之间的等价性,使其等价性的依据更加充分参考文献1华东师范大学数学系编数学分析上册M北京高等教育出版社,20012华东师范大学数学系编数学分析下册M北京高等教育出版社,20013裴礼，数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社4薛怀玉、R上完备性定理的等价性，咸阳师范专科学校学报1988年第13卷第6期5李博、梅瑞、利用完全覆盖定理证明二维空间的几个完备性定理，河北北方学院学报6关金玉,徐永春二维空间完备性基本定理的相互证明河北北方
12、学院学报自然科学版7张骞，2R上的完备性定理的相互等价性，陇东学院报，第21卷第5期，2010年9月8沈晨，金贵荣，有关一致空间完备性证明的修正，高等数学研究9王美丽，李磊，实数完备性六个等价命题的推广，南阳师范学院报，2009年12月，第8卷第12期10胡亚红，用实数完备性证明闭区间连续函数的有界性，丽水学院报，第32卷第5期11庄陵，唐贤伦，王东，张金荣，实数系完备性基本定理的循环证明，重庆工商大学学院报（自然科学版），第23卷第31期12欧阳光，实数完备性基本定理教材教法改革，郴州师范高等专科学校学报，第22卷第，2期2001年4月13张静，实数系的连续性和完备性的若干等价定理，北京联合
13、大学学报（自然科学报），第23卷第2期，2009年6月14关金玉，徐永春，二维空间完备性基本定理的相互证明，河北北方学院学报（自然科学版），第23卷第4期，2007年8月15罗昊，可靠性与完备性定理中描述形式等价性证明以及应用的讨论，2009年第8期78（20_届）本科毕业设计数学与应用数学2R上的完备性定理等价性与应用9摘要运用两种不同的角度证明2R上的完备性定理几个定理之间的等价性，并应用2R上的完备性定理几个定理分别去证明有界闭域上的连续函数的有界性定理和一致收敛性定理关键词完备性，等价性1、引言在（在文献2）中的在第16章平面点集和多元函数中的第一节中提及了2R上的完备性定理，因为2R
14、上的完备性定理是二元函数极限理论的基础为此，在该书中先给出平面点列的收敛的概念定义1设2NPR为平面点列，20PR为一固定点，若0，0N使当NN有0,NPUP则称点列NP收敛于0P记作0LIM,NNPP或0,NPPN然后再给出2R上的完备性定理定理161（柯西准则）平面点列NP收敛的充要条件是任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正整数P，都有,NNPPP定理162（闭域套定理）设ND是2R中的闭域列，它满足1、1,1,2,3,NNDDN2、,LIM0,NNNNDDDD则存在唯一的点0,1,2,NPDN定理163（聚点定理）设2ER为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点推论有界无限点
15、列2NPR必存在收敛子列KNP定理164有限覆盖定理）设2DR为一有界闭域，A为一开域族，它覆盖了D10（即1NIID）,则在A中必存在有限个开域12,N，它们同样它覆盖了D（即1NIID）我们这里要说明2R上的完备性定理的四个定理之间是等价的，在这里我将用循环论证即柯西准则闭域套定理聚点定理有限覆盖定理的方法去证明他们之间的等价性和以其中的一个定理为公理去证明其他三个定理的的方法去证明他们之间的等价性2循环论证21用柯西准则证明闭域套定理在闭域套ND的每一个ND内任取一点NP,构成一个互不相同的平面点列NP，则对一切自然数P，由于NPNDD，所以,0,0NNPNNNPNPPDPPDN，因此L
16、IM,0NNPNPP由定义，任给正数，存在正整数N，使得当NN，对一切自然数P，都有,NNPPP，则由柯西准则NP收敛，记作0LIMNNPP现证0,1,2,3,NPDN，我们任取N，对一切自然数1,2,3P都有1,2,3NPNPNPPDD再令P，由于ND是闭域，从而必定是闭集，因此0P作为ND的聚点必定属于ND，即0LIM,1,2,NPNPPPDN最后证明0P的唯一性，若还有0,1,2,NPDN，则由000,0NPPDN所以00,0PP，00PP22用闭域套定理证明聚点定理因为E是平面有界集合，因此存在一个闭正方形1D，连接正方形对边的中点，把1D分成四个小的闭正方形，则在这四个小正方形中，至
17、少有一个小闭正方形含有E中无限多个点11记这个小闭正方形为2D，再对正方形2D如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个闭正方形含有E的无限多个点，如此下去得到一个正方形序列123DDD容易看到这个闭正方形序列ND的边长随着N趋向于无限而趋向于零于是由闭域套定理，存在一点0,1,2NMDN现证0M就是E的聚点任取0M的的邻域0UM，当N充分大之后，正方形的边长可小于2，即有0NDUM，又由ND的取法知道0UM中含有E的无限多个点，这就表明0M是E的聚点23用聚点定理证明有限覆盖定理这里我们先证明聚点定理的推论致密性定理致密性定理有界无限点列2NPR必存在收敛子列KNP证明NP为2R上的有界
18、点列，若NP中有无限多个相等的项，则由此组成的点列是常点列，所以收敛若NP不含有无限多个相等的项，则NP在平面上必定是一有界无限点集，由聚点定理NP至少有一个聚点，设为，则由定义NP存在一个收敛的子列KNP现再证有限覆盖定理设2ER为有界闭域,开域族A为E的一个覆盖,反设不存在A中的有限个开域覆盖E,由2ER为有界闭域,则必存在2R中的闭正方形区域1D,使得1ED将1D沿对边中点分成四个小闭正方形区域,则E在四个小闭正方形区域中的部分至少有一个不能用A中的有限个开域覆盖,该正方形区域记为2D,按上述方法依次进行下去,得到ND,取,1,2,NNPDEN则NP为有界无限点列由致密性定理,必有收敛子
19、列KNP令0LIMKNKPP由于2ER为有界闭域,开域族A为E的一个覆盖,则0PE,且存在一个开域A,使得0AP,同时存在0,使得120,AUP又正方形ND的边长趋于0,则N充分大时,0,NADUP,即N充分大时,ND可由一个开域覆盖,这与上述ND的构造矛盾,即存在A中的有限个开域覆盖E24用有限覆盖定理证明柯西准则若NP有无穷多项相等即10KNNPPP则0NPPN即0,|NNPNNNPNPP而对于N存在KNN,使0KNPP，故00,|KKNNNNNNNNPPPP即0NPPN若NP中没有无限多项相等,则NP为无限点列而由题设知NP有界设D为有界闭域,NPD反证法,假设NP不收敛,则PD都不是N
20、P极限点,故,0PPD,使,PUP中至多有NP的有限项,否则0,UP中有NP的无限项由已知条件,存在,NNNMN有|NMPP一定存在IN且,IPUP从而,|2NNIINNPPPPPP，即LIMNNPP与假设矛盾故PD存在0P使,PUP中至多有NP有限项,显然,|PUPPD覆盖了D,从而有有限个开覆盖能覆盖D,设11,NPNPUPUP覆盖了D从而也覆盖了NP而每个,KKPUP中至多有NP中有限项从而NP至多有有限项,与NP为无限点列矛盾3用柯西准则证明另外三个定理为了进一步说明2R上的几个完备性之间的等价性，现在我们用他们之中的一个定理去证明另外三个定理，在这里我们用柯西准则去证明另外三个定理3
21、1用柯西准则证明闭域套定理13闭域套定理设ND是2R中的闭域列，它满足（I）1,1,2,3,NNDDN（II）,LIM0,NNNNDDDD则存在唯一的点0,1,2,NPDN在闭域套ND的每一个ND内任取一点NP,构成一个互不相同的平面点列NP，则对一切自然数P，由于NPNDD，所以,0,0NNPNNNPNPPDPPDN，因此LIM,0NNPNPP由定义，任给正数，存在正整数N，使得当NN，对一切自然数P，都有,NNPPP，则由柯西准则NP收敛，记作0LIMNNPP现证0,1,2,3,NPDN，我们任取N，对一切自然数1,2,3P都有1,2,3NPNPNPPDD，再令P，由于ND是闭域，从而必定
22、是闭集，因此0P作为ND的聚点必定属于ND，即0LIM,1,2,NPNPPPDN最后证明0P的唯一性，若还有0,1,2,NPDN，则由000,0NPPDN所以00,0PP，00PP32用柯西准则证明聚点定理聚点定理设2ER为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点由E的有界性,必存在2R中的闭正方形区域1DE,取11PED将1D沿对边中点分成四个小闭正方形区域,则在四个小闭正方形区域中至少有一个中包含E的无限个点,记为2D取22PED再对2D按上述方法四等份,也至少有一个小闭正方形区域中包含E的无限个点,记为3D取33PED这样依次下去,得到E中的点列NP由上述过程知ND的边长趋于0,于是NP
23、满足柯西准则,设NP收敛于0P14下面证明0P是E的聚点,对0P的任意邻域0,UP由于当N时,小正方形的边长趋于0,则存在N,当NN时,0,NDUP而ND中含有E中的无限个点,即在0P的任意邻域0,UP中含有E中的无限个点,则0P是E的聚点33用柯西准则证明有限覆盖定理有限覆盖定理设2DR为一有界闭域，A为一开域族，它覆盖了D（即1NIID）,则在A中必存在有限个开域12,N，它们同样它覆盖了D（即1NIID）假设不存在A中的有限个开集覆盖E,由2ER为有界连通闭集,则必存在2R中的闭正方形区域1D,使得1ED,将1D沿对边中点分成四个小闭正方形区域,则E在四个小闭正方形区中的部分至少有一个不
24、能用A中的有限个开集覆盖,该正方形区域记为2D,按上述方法依次进行下去,得到ND,取,1,2NNPDN则NP为点列由上述过程知ND的边长趋于0,于是NP满足柯西准则,设NP收敛于0P由2ER为有界闭集,开集族A为E的一个覆盖,则存在一个开集A,使得0AP,也存在0,使得0,AUP,又正方形ND的边长趋于0,则N充分大时,0,NADUP,即ND可由一个开集覆盖,这与上述ND的构造矛盾,即存在A中的有限个开集覆盖E4用有闭域套证明另外三个定理接下来我们运用闭域套定理去证明另外三个定理柯西准则、有限覆盖定理、聚点定理从另一个角度再来看看2R上完备性定理的等价性41用闭域套定理证明柯西准则柯西准则平面
25、点列NP收敛的充要条件是任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正整数P，都有,NNPPP必要性设0LIMNNPP，则0LIM,0NNPP，由定义任给0，存在正整数N，15使得当NN时，有0,2NPP，而对一切自然数P，也有NPN，从而也有0,2NPP，于是由三角不等式00,22NNPNNPPPPPPP充分性设点列NP满足任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正整数都有,NNPPP若NP有无穷多项相等，设120,KNNNPPPP，则0NPPN，事实上，0,|NNPNNNPNPP，而对于N，存在KNN，使0KNPP故0N，0,|KKNNNNNNNNPPPP，即0NPPN若NP中没有无穷
26、多项相等，取11，则存在正整数N，使得当NN时，对一切自然数P，都有1NNPDPP，取11NNN，则当NN，有11NNDPP，即11|1NNDPPP外最多有NP的有限项，从而1D内有NP的无限多项，取一点21NPD，2121,NNNNPP，令121221MIN,1,2NNNNDPPDPP，则222|NDPPP外最多有NP的有限项，且12DD，一直做下去，取12111MIN,1,KKKKKNNNNKKDPPDPPNNK，则|KKNKDPPP外最多有NP有限项，1KKDD，得到闭域套KD，满足LIM0KKDD，因此，存在唯一0P，满足01,2,3KPDK，0,KZ，使得2K，令0|DPPP，则KD
27、D，而KD外最多有NP有限项，故D外最多有NP的有限项，从而点列NP收敛于0P42用闭域套定理证明有限覆盖定理有限覆盖定理设2DR为一有界闭域，A为一开域族，它覆盖了D（即1NIID）,则在A中必存在有限个开域12,N，它们同样它覆盖了D（即1NIID）16用反证法假设有界闭集D不能被A中有限个开集覆盖，则因为D为有界，所以存在一个闭正方形1D包含它，连接1D各对边中点把1D分成四个小正方形，则其中至少有一个小闭正方形2D包含D的子集2DD不能被A中有限个开集覆盖，再把2D按上述方法分成四个更小的闭正方形，则其中至少有一个更小的闭正方形3D所包含D的子集3DD不能被A中有限个开集覆盖如此下去得
28、到一个闭域列12,NDDD满足条件（）123NDDDD（）若记1D的直径为1D，则ND的直径1102NNDDN；（）每一个ND所包含的子集NDD都不能被A中有限个开集覆盖于是有条件（）（）及闭域套定理，存在唯一的点01,2,NPDN现证0NPD，由于每一个NDD都不能被A中有限个开集覆盖，且NDDD的每一个点都属于A中至少一个开集，所以NDD内必含有D的无限多个点，任取1,2,NNPDDN，构成一个各点互不相同的平面点列NP则因为0,1,2,0,0NNNONPPDNPPDN，LIM,0,NONPP0LIMNNPP，由于定义0P是D的聚点，又D为闭集，所以0PD有定理条件A覆盖了D，所以至少存在
29、一个开集0A，使得00P0P是0的内点，因此存在0P的某一个领域00,UP,又因为LIM0NND，所以对上述0，存在正整数N，使得当NN时，ND，从而闭正方形000,NNDUPDD，即当NN时，A中的一个开集就能覆盖NDD，这与条件（）矛盾，于是得到在A中比存在有限个开集覆盖D43用闭域套定理证明聚点定理聚点定理设2ER为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点17因为E是平面有界集合，因此存在一个闭正方形1D，连接正方形对边的中点，把1D分成四个小的闭正方形，则在这四个小正方形中，至少有一个小闭正方形含有E中无限多个点记这个小闭正方形为2D，再对正方形2D如上法分成四个更小的闭正方形，其中又
30、至少有一个闭正方形含有E的无限多个点，如此下去得到一个正方形序列123DDD容易看到这个闭正方形序列ND的边长随着N趋向于无限而趋向于零于是由闭域套定理，存在一点0,1,2NMDN现证0M就是E的聚点任取0M的的邻域0UM，当N充分大之后，正方形的边长可小于2，即有0NDUM，又由ND的取法知道0UM中含有E的无限多个点，这就表明0M是E的聚点5用聚点定理证明另外三个定理接下来我们运用聚点定理去证明另外三个定理柯西准则、有限覆盖定理、闭域套定理再从一个角度再来看看2R上完备性定理的等价性51用聚点定理证明柯西准则柯西准则平面点列NP收敛的充要条件是任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正
31、整数P，都有,NNPPP必要性设0LIMNNPP，则0LIM,0NNPP，由定义任给0，存在正整数N，使得当NN时，有0,2NPP，而对一切自然数P，也有NPN，从而也有0,2NPP，于是由三角不等式00,22NNPNNPPPPPPP充分性设平面点列NP满足柯西准则的条件，特别对1，存在正整数0N,使得当0NN时，有01,1NNPP,从而NP到原点0的距离000111,0,0,01NNNNNPPPPP,取正数，18012MAX,01,01,01NRPPP则0,NNPURP为平面有界点列由聚点定理可知平面有界点列NP必有收敛子列KNP，设0LIMKNNPP，则由定义任给正数，存在正整数1N，使当
32、1KN时，,2KNNPPP，又由柯西准则的条件，对上述0，存在正整数2N，使得当2KN时，0,2KNPP，取12MAX,NNN,并取某一定KN,则因为KNKN，所以当NN时，0,2KNPP,2NNPPP同时成立，从而00,22KKNNNNPPPPPP，由定义0LIMNNPP52用聚点定理证明有限覆盖定理有限覆盖定理设2DR为一有界闭域，A为一开域族，它覆盖了D（即1NIID）,则在A中必存在有限个开域12,N，它们同样它覆盖了D（即1NIID）这里我们先证明聚点定理的推论致密性定理致密性定理有界无限点列2NPR必存在收敛子列KNP证明NP为2R上的有界点列，若NP中有无限多个相等的项，则由此组
33、成的点列是常点列，所以收敛若NP不含有无限多个相等的项，则NP在平面上必定是一有界无限点集，由聚点定理NP至少有一个聚点，设为，则由定义NP存在一个收敛的子列KNP现再证有限覆盖定理设2ER为有界闭域,开域族A为E的一个覆盖,假设不存在A中的有限个开域覆盖E,由2ER为有界闭域,则必存在2R中的闭正方形区域1D,使得1ED,将1D沿对边中点分成四个小闭正方形区域,则E在四个小闭正方形区域中的部分至少有一个不能用A中的有限个开域覆盖,该正方形区域记为2D,按上述方法依次进行下去,得到ND,取,1,2,NNPDEN则NP为有界无限点列由致密性定理,必有收敛子列KNP令0LIMKNKPP由于2ER为
34、有界闭域,开域族19A为E的一个覆盖,则0PE,且存在一个开域A,使得0AP,同时存在0,使得0,AUP又正方形ND的边长趋于0则N充分大时,0,NADUP,即N充分大时,ND可由一个开域覆盖,这与上述ND的构造矛盾,即存在A中的有限个开域覆盖E53用聚点定理证明闭域套定理闭域套定理设ND是2R中的闭域列，它满足（I）1,1,2,3,NNDDN（II）,LIM0,NNNNDDDD则存在唯一的点0,1,2,NPDN在闭域套ND的每一个ND内任取一点NP,构成一个互不相同的平面点列NP，因为ND为一闭域，所以NP必定为有界点列，则由聚点定理的推论（前文已经证过）则必定存在收敛子列KNP,则必定存在
35、0P，使得0LIMKNNPP最后证明0P的唯一性，若还有0,1,2,NPDN，则由000,0NPPDN所以00,0PP，00PP6、用有限覆盖定理证明其它三个定理最后我们试着运用最后一个定理有限覆盖定理去证明柯西准则，闭域套定理，聚点定理61用有限覆盖定理证明柯西准则柯西准则平面点列NP收敛的充要条件是任给正数，存在正整数N，使得当NN时，对一切正整数P，都有,NNPPP若NP有无穷多项相等即10KNNPPP则0NPPN即0,|NNPNNNPNPP20而对于N存在KNN,使0KNPP，故00,|KKNNNNNNNNPPPP即0NPPN若NP中没有无限多项相等,则NP为无限点列而由题设知NP有界
36、设D为有界闭域,NPD反证法,假设NP不收敛,则PD都不是NP极限点,故,0PPD,使,PUP中至多有NP的有限项,否则0,UP中有NP的无限项由已知条件,存在,NNNMN,有|NMPP一定存在IN且,IPUP从而,|2NNIINNPPPPPP，即LIMNNPP与假设矛盾故PD存在0P使,PUP中至多有NP有限项显然,|PUPPD覆盖了D,从而有有限个开覆盖能覆盖D,设11,NPNPUPUP覆盖了D从而也覆盖了NP而每个,KKPUP中至多有NP中有限项从而NP至多有有限项,与NP为无限点列矛盾62用有限覆盖定理证明闭域套定理闭域套定理设ND是2R中的闭域列，它满足（I）1,1,2,3,NNDD
37、N（II）,LIM0,NNNNDDDD则存在唯一的点0,1,2,NPDN证明反证法，假设不存在这样的点0P属于所有的,1,2NDN，则1D中的任意一点都不应该属于某个KD，从而存在P点的领域,PUP，使得,KPDUP，显然1,PPDUUP覆盖了1D，由有限覆盖定理，则1,PPDUUP中有有有限个开圆于覆盖1D，设11,KNKPKDUP，其中,1,2,2KKKPIKKUPDKNINI，21设123MAX,NJIIII，由闭域套定理的条件，有1,KNKPJKUPD，于是对1,2,KKPJKNUPD，即1,KNKPJKUUPD，一方面，有11,KNKPKDUUP；另一方面，1,KNKPKUUP不包含
38、1JDD矛盾，因此至少存在一个点0P，使得01,2,3,NPDN现证唯一性，设0P，0P都是属于所有的ND，因为000,NDPPDD，又因为LIM0NNDD，所以00,0DPP，从而00PP故存在唯一的点0P，满足01,2,NPDN63用有限覆盖定理证明聚点定理聚点定理设2ER为有界无限点集，则E在2R中至少有一个聚点用反证法若E为2R上的有界点集，则存在M0，使得,ESMMMM，假设E中没有聚点，则S中任何点都不是E的聚点，有定义对S中的每一个点P，都必存在相应的正数P，使得PUP内至多含有E的有限多个点，记|PPUPPS,则P是S的一个开覆盖，由有限覆盖定理在P中必存在有限多个领域1,2,
39、IIPUPIM，同样可以覆盖S，从而可覆盖ES,而每一个1,2,IIPUPIM都至少含有E的有限多个点，故E为有限点集，这与聚点定理的条件E为无限点集矛盾在上文中我们证明了2R上的完备性定理几个定理之间的等价性，那么接下来我们应用完备性定理的几个定理去证明有界闭域上的连续函数的有界性定理7用完备性定理证明有界性定理有界性定理若函数F在有界闭域2DR上连续，则F在D上有界71、用柯西准则来证明（反证法）假设F在2DR上无界，则对每个正整数N，则必存在点NPD，使得|,1,2NFPNN22因为D有界，则肯定存在一个闭正方形1D，使得1DD，取11NPDD，使得11|NFPN，再1D将对边的中点连接
40、分成四个小正方形，则必存在一个小正方形使得有NP的无限多个点，记为2D，则在2D上定有一点2NP，使得22|NFPK再对2D按照上述方法进行分解，分成四个正方形，则肯定有一个小正方形使得有NP的无限多个点，记为3D，则一定存在一点33NPDD，使得33|NFPN再这样无限分下去，得到D中的点列KNP，且具有以下性质1、ND的直径趋向于0；2、对于点列KNP，存在N,当KN，对一切正数P，LIM0NPNKKKDPP；3、|KNKFPN于是KNP满足柯西准则，设KNP收敛于0P，因为F在D上连续，显然在0P上也连续，因此有0LIMKNKFPFP矛盾，所以F是D上的有界函数72用闭域套定理来证明假设
41、F在2DR上无界，则对每个正整数N，则必存在点NPD，使得|,1,2NFPNN（1）因为D有界，则肯定存在一个闭正方形1D，使得1DD，取11NPDD，使得11|NFPN，再1D将对边的中点连接分成四个小正方形，则必存在一个小正方形使得有NP的无限多个点，记为2D，则在2D上定有一点2NP，使得22|NFPN，再对2D按照上述方法进行分解，分成四个正方形，则肯定有一个小正方形使得有NP的无限多个点，记为3D，则一定存在一点33NPDD，使得33|NFPN再这样无限分下去，得到D中的点列KNP，且具有以下性质1,1,2,NNDDN；,LIM0NNNNDDDD23则显然满足闭域套定理，则存在唯一一
42、点0,1,2,NPDN0,NNDPPD，0LIMPPKNK，0LIMKNKFPFP这与（1）中的不等式相矛盾，所以F是D上的有界函数73用聚点定理来证明这里引用数学分析（华东师范大学数学系）下册中已有的证明过程假设F在2DR上无界，则对每个正整数N，则必存在点NPD，使得|,1,2NFPNN（1）且总能使NP中有无穷多个不同的点，于是得到一个有界点列NPD，由聚点定理的推论（用聚点定理证明有限覆盖定理已经证明）NP存在收敛子列KNP，设0LIMKNNPP，且因为D是闭域，从而0PD，因为F在D上连续，显然在0P上也连续，因此有0LIMKNKFPFP这与（1）中的不等式相矛盾，所以F是D上的有界
43、函数74用有限覆盖定理来证明F在D上连续，因此对于每一点PD，F在PD上一定也是连续，则对任给的正数，总存在相应的正数，只要PUPD，就有|FPFP因此，可定存在某一正数PM，使得|,PFPMPUPD显然,HUPPD覆盖了D，从而有有限个开覆盖能够覆盖D，设为11,NNUPUP，NPD，且存在正数12,NMMM使得对一切IIIPUPD，有,1,2,IFPMI令1MAXIINMM，则对任何PD，P必定属于某一IIUP，从而IIFPFPMM，所以F在D上有界以上我们应用完备性定理的几个等价性定理去证明了有界闭域上的连续函数的有界性定理从另一个侧面去验证了他们之间的等价性，接下来我们运用完备性定理的
44、几个定理试着去证明一致连续性定理248用完备性定理证明一致连续定理一致连续性定理若函数F在有界闭域2DR上连续，则F在D上一致连续，即对任何0，总存在只依赖与的正数，使得对一切点,PQ,只要,PQ，就有|FPFQ81用柯西准则证明假设F在D上连续而不一致连续，则存在某一个00，对任意小的0,例如1N，1,2,N总有相应的NNPQD、,虽然1NNPQN，但是0|NNFPFQ因为D为有界闭域，则肯定存在一个闭正方形1D，使得1DD，取11KPDD，再将1D对边的中点连接分成四个小正方形，则必存在一个小正方形使得在此小正方形上有NP无限多个点，记为2D，则在2D上定有一点2KP，使得22KPD，再对2D按照上述方法进行分解，分成四个更小的正方形，则必存在一个小正方形使得在此小正方形上有NP无限多个点，记为3D，则在3D上有NP的无限多个点,则一定存在一点33KPDE，再这样无限分下去，得到D中的点列KNP，且具有以下性质1、ND的直径趋向于0；2、对于点列KNP,存在N,当KN，对一切正数P，LIM0NPNKKKDPP于是满足柯
