1、1毕业论文开题报告数学与应用数学从二次曲线到二次曲面的轨迹方程一、选题的意义圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一。在中学数学的学习中，二次曲线问题是数学竞赛中常见的问题。虽然问题并不复杂，却具有相当高的综合性，用到的求解知识和方法也很广泛。通过对中学数学中二次曲线的定义（第一定义及第二定义），方程及性质的概括。有助于提高学生进行系统梳理和类比研究的能力。在解析几何中，二次曲面和二次曲线一样都是它的重点内容。它对学生有关曲线和方程，曲面和方程的基础知识要求很高，综合了函数与方程、不等式、三
2、角及直线，平面等各种内容，综合性比较强。同时也要求学生有较高的计算能力以应付大计算量。在高等数学的教学中，空间解析几何的内容要求学生有较强的空间想象能力。通过对二次曲面的定义（第一定义及第二定义），方程及性质进行概括。有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。再将二次曲面与二次曲线进行类比，得出他们之间的异同从而抓住轨迹问题的实质并结合中学数学中的实例进行剖析。有助于加强学生求解二次曲线或二次曲面的轨迹方程的能力。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）研究的主要内容二次曲线和二次曲面是解析几何中的重要组成部分，而轨迹问题则是解析几何的重点，更是难点。通过对二次曲线和二次曲面的定义
3、，方程和性质的概括和归纳类比，得出他们的异同和轨迹方程的实质，从而更好的应用于中学数学的教学。拟解决的主要问题1对中学数学中二次曲线的定义（第一定义及第二定义），方程及性质进行概括。2对空间解析几何中二次曲面的定义（第一定义及第二定义），方程及性质进行概括。3将二次曲面与二次曲线进行类比，得出他们之间的异同从而抓住轨迹问题的实质并结合实例进行剖析。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）1课题研究步骤21查阅相关资料及参考文献；2撰写开题报告及上交审核；3对二次曲面与二次曲线进行类比得出他们之间的异同，从而抓住轨迹问题的实质，并结合中学数学的实例进行剖析；4撰写本课题论文；5提交及审核。2课题
4、研究方法1资料收集方法二手资料的研究成果和结论对本课题的研究起到重要的参考作用，二手资料收集的方法主要为上网查询，查阅书籍、学术期刊杂志，咨询导师等。2整理分类研究方法从收集来的资料中整理归类，将二次曲线和二次曲面的定义、性质及方程归类进行类比研究。3例举与说明相结合方法为了能使问题深入浅出的阐述，本论文采用了实例和说明来阐述从二次曲线到二次曲面的轨迹问题的应用。四、毕业论文（设计）提纲0引言1二次曲线的定义、性质及方程11椭圆12双曲线13抛物线2二次曲面的定义、性质和方程21椭球面22双曲面221单叶双曲面222双叶双曲面23抛物面231椭圆抛物面3232双曲抛物面3二次曲线与二次曲面轨迹
5、之间的联系31从椭圆到椭球面32从双曲线到双曲面33从抛物线到抛物面4从二次曲线到二次曲面的轨迹问题的应用参考文献五、主要参考文献1吕林根、许子道编解析几何（第四版）M高等教育出版社2006年5月2蒋大为编空间解析几何及其应用M北京科学出版社20043赵振威主编中学数学教材教法（第三分册）M华东师范大学出版社，19904李伟文巧用二次曲线的定义解题J广东职业技术师范学院学报2000年增刊81825俞少红,张宏翀例谈二次曲线的定义J数理天地高中版2007年第8期676沈伯英主编竞赛数学理论与方法M北京北京师范大学出版社,19927丘维生编解析几何（第二版）M北京北京师范大学出版社,19968刘连
6、璞平面解析几何方法与研究M北京北京大学出版社，1999,89吕林根、张紫霞、孙存金编解析几何学习指导书M北京高等教育出版社200110李伟文巧用二次曲线的定义解题J广东职业技术师范学院学报2000年增刊818211唐胜伟在解析几何中求轨迹的几种常用策略J内江科技2009年08期6112孟宪云二次曲面的定义和它的方程J承德民族师专学报1993年增刊76794毕业论文文献综述数学与应用数学从二次曲线到二次曲面的轨迹方程1国内外现状二次曲线和二次曲面是解析几何中的重要组成部分，而轨迹问题则是解析几何的重点，更是难点。解析几何,又叫坐标几何,它是用代数方法来研究几何图形和变换性质的一门科学,是17世纪
7、初期产生出来的一个数学分科,它包括平面解析几何和空间解析几何两部分通过在几何空间中建立坐标系,就可将空间中的点均用坐标表出,从而图形的几何性质可以表示为图形上的点的坐标之间的关系,特别是代数关系。朱瑾浅谈解析几何的发展及其简单应用简单介绍了解析几何的发展以及其在生产、生活中的简单应用。吴琦笛卡尔与解析几何学提出解析几何学的精髓所在,是通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程,然后通过对方程的研究来揭示曲线的性质笛卡尔通过帕普斯问题的解法,表达了他的这个新思想和新方法。康盛伟在解析几何中求轨迹的几种常用策略针对轨迹问题是解析几何中的重点也是难点这种情况对解析几何中求轨迹的常用方法进行了归纳和总结。有
8、定义法，待定系数法，直接法三种方法，并对每一种方法以例题的形式做了详细的阐述。李伟文巧用二次曲线的定义解题指出数学概念在教学中的重要性。然后指出用常规方法解题复杂,而利用二次曲线的定义来解可达到简单、快捷的典型事例,来体现利用二次曲线的定义解题的好处。最后指出,在数学教学中应强调数学概念、定义的理解,掌握及运用,从而使学生能锻炼思维、提高能力。王卫生，陶成海二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究通过对二次曲线与二次曲面方程系数所构成的不变量1I，2I，3I，4I二次曲线没有4I的几何特性的研究,给出了不变量相对应的几何意义刘德金，司兴海解析几何教学中应注意的几个问题指出了解析几何常用教材、教学
9、参考书中存在的解法不通用、应用代数条件不准确、消参数忽视等价性等几处瑕疵,相应地提出了解析几何教学中应该注意的几个问题52研究方向在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面与直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆面、双曲面、抛物面的有关性质。朱瑾浅谈解析几何的发展及其简单应用简单介绍了解析几何的发展以及其在生产、生活中的简单应用。吴琦笛卡尔与解析几何学提出解析几何学的精髓所在,是通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程,然后通过对方程的研究来揭示曲线的性质笛卡尔通过帕普斯问题的解法,表达了他的这个
10、新思想和新方法。康盛伟在解析几何中求轨迹的几种常用策略针对轨迹问题是解析几何中的重点也是难点这种情况对解析几何中求轨迹的常用方法进行了归纳和总结。有定义法，待定系数法，直接法三种方法，并对每一种方法以例题的形式做了详细的阐述。李伟文巧用二次曲线的定义解题指出数学概念在教学中的重要性。然后指出用常规方法解题复杂,而利用二次曲线的定义来解可达到简单、快捷的典型事例,来体现利用二次曲线的定义解题的好处。最后指出,在数学教学中应强调数学概念、定义的理解,掌握及运用,从而使学生能锻炼思维、提高能力。王卫生，陶成海二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究通过对二次曲线与二次曲面方程系数所构成的不变量1I，2
11、I，3I，4I二次曲线没有4I的几何特性的研究,给出了不变量相对应的几何意义刘德金，司兴海解析几何教学中应注意的几个问题指出了解析几何常用教材、教学参考书中存在的解法不通用、应用代数条件不准确、消参数忽视等价性等几处瑕疵,相应地提出了解析几何教学中应该注意的几个问题3进展情况十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了
12、解析几何的出现。617世纪初，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了分析引论，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉
13、给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化成标准形式。继欧拉之后，空间解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。4存在问题现在很多数学家还在研究圆锥曲线和二次曲面的问题，他们在前人的研究基础上归纳总结，进一步完善圆锥曲线和二次曲面的定义，性质以及各种轨迹方程的应用。并将这些应用于生活当中。例如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。然而对于
14、圆锥曲线和圆锥曲面的轨迹问题的应用就没有系统的阐述。所以在本文的研究中将对这两种轨迹问题的本质进行归纳概括，有利于中学生更好的掌握解析几何的本质，抓住它们的特性，感悟它们存在的意义。从而在求解方程的问题中更快、更好的解决。参考依据1吕林根,许子道编解析几何（第四版）M高等教育出版社2006，1581742丘维生编解析几何（第二版）M北京北京师范大学出版社1996，56583蒋大为编空间解析几何及其应用M北京科学出版社2004，78794杨文茂,李全英编空间解析几何习题集J武汉武汉大学出版社2003，1021055朱瑾浅谈解析几何的发展及其简单应用J科技信息，高校理科研究736吴琦笛卡尔与解析几
15、何学J数学通讯2002年第23期，42447刘德金，司兴海解析几何教学中应注意的几个问题J菏泽学院学报第32卷第2期1051108李伟文巧用二次曲线的定义解题J广东职业技术师范学院学报2000年增刊81829王卫生，陶成海二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究J重庆文理学院（自然科学版）20097年6月495310唐胜伟在解析几何中求轨迹的几种常用策略J内江科技2009年08期6111吕林根,许子道解析几何M北京高等教育出版社2006，23124012吕林根,张紫霞,孙存金解析几何学习指导书M北京高等教育出版社2001，484913陈志友,陈灿辉新编解析几何教学辅导M东营石油大学出版社1994
16、，27114刘永铮,陈灿辉解析几何习题课指导M成都电子科技大学出版社1993，29229815萧永震,李秉贞,邵淼空间解析几何习题指导M天津天津科学技术出版社1990，18616陈绍菱,付若男空间解析几何习题试析M北京北京师范大学出版社1984，2042058（20_届）本科毕业设计数学与应用数学从二次曲线到二次曲面的轨迹方程910正文目录0引言11二次曲线的定义、性质和方程211椭圆212双曲线213抛物线32二次曲面的定义、性质和方程421椭球面422双曲面6221单叶双曲面6222双叶双曲面923抛物面10231椭圆抛物面10232双曲抛物面123二次曲线与二次曲面轨迹之间的联系1531
17、从椭圆到椭球面1532从双曲线到双曲面1633从抛物线到抛物面174从二次曲线到二次曲面的轨迹问题的应用19参考文献21致谢2211从二次曲线到二次曲面的轨迹方程摘要轨迹方程，特别是二次曲线和二次曲面的轨迹方程是解析几何研究的重要内容之一。本文首先对二次曲线和二次曲面的定义、性质及轨迹方程进行归纳，然后对比探究得出了两者之间的联系并结合实例进行了分析。关键词轨迹方程，二次曲线，二次曲面0引言解析几何,又叫坐标几何，它是用代数方法来研究几何图形和变换性质的一门科学,是17世纪初期产生出来的一个数学分科,它包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空间中建立坐标系,就可将空间中的点均用坐标表
18、出,从而图形的几何性质可以表示为图形上的点的坐标之间的关系,即代数关系。在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面与直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、二次曲面（椭圆面、双曲面、抛物面）的有关性质。所以说二次曲线和二次曲面是解析几何中的重要组成部分，而轨迹问题则是解析几何的重点，更是难点。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一。在中学数学的学习中，二次曲线问题也是数学竞赛中常见的问题。通过对中学数学中二
19、次曲线的定义，方程及性质的概括。有助于提高学生进行系统梳理和类比研究的能力。在解析几何中，二次曲面和二次曲线一样都是它的重点内容。它对学生有关曲线和方程，曲面和方程的基础知识要求很高，综合了函数与方程、不等式、三角及直线，平面等各种内容，综合性比较强。同时也要求学生有较高的计算能力以应付大计算量。在高等数学的教学中，空间解析几何的内容要求学生有较强的空间想象能力。通过对二次曲面的定义，方程及性质进行概括。有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。再将二次曲面与二次曲线进行类比，得出他们之间的异同从而抓住轨迹问题的实质并结合实例进行剖析，有助于加强学生求解二次曲线或二次曲面的轨迹方程的能力。1二次
20、曲线的定义、方程及性质1211椭圆定义1111平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于常数A2（A2大于21FF）的动点P的轨迹叫做椭圆。即222121FFAAPFPF其中两个定点1F，2F叫作椭圆的焦点，两个焦点的的距离21FF叫作椭圆的焦距。若212FFA，则点的轨迹表示线段21FF；若212FFA，则点的轨迹不存在。定义1121平面上的动点P到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数E（定点F不在定直线上，且10E）。其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线，E为椭圆的离心率。椭圆的标准方程为12222BYAX；参数方程为SINCOSBYAX椭圆的性质（1）对称性椭圆是轴对称图形，也是
21、中心对称图形；标准位置的椭圆的对称轴是坐标轴X轴和Y轴，原点是它的对称中心；（2）顶点椭圆与它的对称轴的四个交点，叫作椭圆的顶点；（3）范围整个椭圆全部包含在由它的过顶点的切线作成的矩形BYAX,的内部；（4）椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比ACE，叫作椭圆的离心率；离心率的取值范围10E；离心率对椭圆形状的影响有1E越接近1，椭圆就越扁；2E越接近0，椭圆就越圆。12双曲线定义1211平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数A2（A2小于21FF）的动点P的轨迹叫做双曲线。即222121FFAAPFPF其中两个定点1F，2F叫作双曲线的焦点，两个焦点的的距离21FF叫作双曲线的
22、焦距。13若212FFA，则点的轨迹表示两条射线；若212FFA，则点的轨迹不存在。定义1221平面上的动点P到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数E（定点F不在定直线上，且1E）。其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线，E为双曲线的离心率。双曲线的标准方程为12222BYAX双曲线的性质（1）对称性双曲面是轴对称图形，也是中心对称图形；标准位置的双曲线的对称轴是坐标轴X轴和Y轴，原点是它的对称中心；（2）顶点双曲线与它的对称轴的交点，叫作双曲线的顶点；（3）范围AX或AX；（4）双曲线的离心率双曲线的焦距与长轴长的比ACE，叫作双曲线的离心率。离心率的取值范围1E。13抛物线定义13
23、11平面内与一个定点F和一定直线L（定点F不再定直线L上）的距离相等的动点P的轨迹叫做抛物线。其中定点F为抛物线的焦点，定直线L称为抛物线的准线定义1321平面上的动点P到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数E（定点F不在定直线上，且1E）。其中定点F为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线，E为抛物线的离心率。抛物线的标准方程为PXY22或PYX22抛物线的性质（1）对称性抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形。因此，抛物线叫作无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线叫作有心圆锥曲线；（2）顶点抛物线与它的对称轴的交点，叫作抛物线的顶点；（3）范围0X，Y取全体实数；（4）抛物线的离心率抛物线的焦距与长
24、轴长的比ACE，叫作抛物线的离心率；离心率的取值范围1E。142二次曲面的定义，方程及性质21椭球面定义2112在空间直角坐标系下，形如方程1222222CZBYAX（211）所表示的曲面叫作椭球面，或称椭圆面，方程（211）叫作椭圆面的标准方程，其中A，B，C为任意的常数，通常假定CBA。椭圆面也可以如下定义3已知坐标系OXYZ，在OXZ平面上有一个椭圆AQC（如图21），在OYZ平面上有一个椭圆BRC，椭圆BRC和椭圆AQC相交而且有共同的轴CD，取一动椭圆RPQ，它所在的平面垂直于平面AQC和平面BRC。当平面平行于OXZ平面移动，且动椭圆RPQ的长轴和短轴的两个端点分别在椭圆BQC和A
25、RC上移动时，动椭圆RBQ形成的曲面就是椭圆面。（图21）导出椭圆面的方程3设动椭圆的任意位置为RPQ（如图21），Q，R分别在椭圆AQC和BRC上，点（X,Y,Z）为动椭圆上的任意一点，亦即为椭圆面上的任一点。设动椭圆所在的动平面与OZ轴交点为N。AOA，BOB，COC由于P在动椭圆RPQ上，故有12222NRYNQX因为点Q在椭圆AQC上，所以成立等式12222CONANQ即12222CZANQ又因为R点在椭圆BRC上，所以成立等式1512222CONBNR即12222CZBNR将其代入得椭圆方程为1222222CZBYAX当ABC时，即为球面。椭球面的方程除了用标准方程（211）来表达外
26、，有时也用参数方程SINSINCOSCOSCOSCZBYAX（212）来表达，其实22，20为参数。如果从（212）式中消去参数，那么就得（211）。现在我们从方程（211）出发来讨论椭球面的一些简单性质。（1）对称性方程仅含平方项，所以当（X,Y,Z）满足方程时，ZY,X,也满足，所以椭球面有三个对称面即坐标平面，对称面叫作主径面；三条对称轴即坐标轴，对称轴叫作主轴；一个对称中心即原点，对称中心叫作中心；（2）有界性AX，BY，CZ，椭球面包含于一个长方体的内部。A，B，C叫作椭球面的半轴；2A，2B，2C叫作椭球面的轴。（A，0，0）（0，B，0）（0，0，C）叫作椭球面的顶点；（3）平行
27、截面曲线的形状可用平行于XOY面的平面ZH截割椭球面，得交线HZCZBYAX1222222即HZCHBYAX2222221当CH时，上式无图形；当CH时，上式表示平面HZ上的一个点C,0,0或C,0,0；当CH时，上式可写为HZCHBYCHAX1112222222216它是ZH上的半轴分别是221CHA，221CHB的椭圆。特别当H0时，椭圆最大，半轴为A，B，这叫做椭球面的主截线（或主椭圆）。同理，平行于YOZ坐标面或ZOX坐标面的平面分别截椭球面时，可得类似结论。通过这些讨论可以想象出椭球面的形状，是一个有三个对称平面，三条对称轴，一个对称中心的有限范围内的卵形曲面。22双曲面221单叶双
28、曲面定义2212在直角坐标系下，由方程1222222CZBYAXA，B，C0（2211）所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（2211）称为单叶双曲面的标准方程单叶双曲面也可以如下定义3已知坐标系OXYZ，在OYZ平面上有一双曲线I，在OXZ平面上有一双曲线II，在OXY平面上有一椭圆曲线（如图22）。双曲线I，II的实轴在OXY平面上，且有公共的虚轴为OZ轴，并和椭圆曲线有公共的交点1N，2N，3N，4N。如果让椭圆曲线平行于自身而移动，同时使其顶点1N，2N及3N，4N分别在两条双曲线I和II上移动，那么这个移动的椭圆就描绘出一个曲面。我们把这个曲面叫作单叶双曲面。（图22）导出单叶双曲线的
29、方程3设双曲线的方程为I012222XCZBYII012222YCZAX17在OXY平面上的椭圆方程为012222ZBYAX由于曲面是移动椭圆曲线得到的，在曲面上任取一点MX,Y,Z，并且通过M点作一个垂直于OZ轴的平面ZZ，这个平面正好是移动椭圆曲线通过点M时所在的平面。这时椭圆曲线的四个顶点分别为,0221ZCZCBN，,0222ZCZCBN，,0,223ZCZCAN，,0,224ZCZCAN，（显然，这四个顶点满足双曲线I和双曲线II的方程，即1N，2N在双曲线I上，3N4N在双曲线II上。）这时，过M点的椭圆方程为122222222CZCBYCZCAX整理，得1222222CZBYAX
30、（2211）即为M点应满足的方程，亦即为所求单叶双曲面的方程。现在我们从方程（2211）出发来讨论单叶双曲面面的一些简单性质（1）对称性方程仅含平方项，所以当（X,Y,Z）满足方程时，ZY,X,也满足，因而单叶双曲面也有三个对称面即坐标平面；三条对称轴即坐标轴；一个对称中心即原点。A，B叫实半轴，C叫虚半轴。（A，0，0）（0，B，0）叫作单叶双曲面的顶点；（2）范围单叶双曲面1222222CZBYAX上的点在椭圆柱面12222BYAX的外部或柱面上（如图23）；18（图23）（3）平行截面曲线的形状1）用平行于XOY面的平面ZH截单叶双曲面，得交线HZCZBYAX1222222即HZCHBY
31、CHAX11122222222可见，对于所有实数H，交线均为椭圆，它的半轴为221CHA和221CHB。特别当H0时，椭圆最小，叫作单叶双曲面的腰椭圆。2）用平行于ZOX面的平面ZK去截单叶双曲面，得HZCHBYAX2222221（2212）当BK时，（2212）式可写为KYBKBXBKCZ11122222222它是平面YK上的实轴平行于Z轴的双曲线。（如图24）当BK时，（2212）式可写为19KYBKKYBKAX11122222222这是平面YK上的实轴平行于X轴，实半轴长221BKA，虚轴平行于Y轴的双曲线。（如图25）当BK时，（2212）式可写为BYCZAX02222或BYCZAX0
32、2222这是YB上的两条相交直线，相交于（0，B，0）。（如图26）（图24）图25）图26）同理，平行于YOZ坐标面的平面ZH去截曲面时可得类似结论。通过这些讨论可以想象出单叶双曲面的形状，是一个有三个对称平面，三条对称轴，一个对称中心的向两个方向无限伸展的曲面。222双叶双曲面定义2222在直角坐标系下，由方程1222222CZBYAX（2221）所表示的图形称为双叶双曲面；而方程（2221）称为双叶双曲面的标准方程双叶双曲面可以如下定义3已知坐标系OXYZ，在OYZ面上有一双曲线I，在OXY面上有一双曲线II，在OXZ面上有一条椭圆曲线（如图27）。两条双曲线有公共的顶点和实轴，且凹向相
33、同，如果让椭圆曲线平行于自身移动，同时使其顶点总在另为两条双曲线上。那么，这个移动的椭圆曲线就描画出一个曲面，我们把这个曲面叫做双叶双曲面。20图27）下面我们来导出双叶双曲面的方程3设两条双曲线方程和一条OXZ平面上的椭圆曲线方程分别为I012222XCZBYII012222ZBYAX和012222YBYAX假定曲面是由移动椭圆曲线得到的。在曲面上任取一点M（X，Y，Z）。并且通过点M作一个垂直于XOY轴的平面YY。这个平面正好是移动椭圆曲线通过点M时所在的平面。这时椭圆的顶点为,0,2221BYBCYN，0,2243YBYBAN（按已给条件1N，2N与3N，4N分别在双曲线上I和II上），
34、因此，过M点的椭圆方程为122222222BYBCZBYBAX整理，得1222222CZBYAX即为M点应满足的方程。亦即是所求的双叶双曲面方程。完全类似于单叶双曲面的讨论可得双叶双曲面的一些简单性质。对称性方程仅含平方项，所以当（X,Y,Z）满足方程时，（X，Y，Z）也满足，因而有三个对称面即坐标平面；三条对称轴即坐标轴；一个对称中心即原点。因此双叶双曲面是有三个对称平面，三个对称轴，一个对称中心的两叶无限的杯状曲面。23抛物面231椭圆抛物面定义2312在直角坐标系下，由方程21ZBYAX22222，（A0,B0）。（2311）所表示的图形称椭圆抛物面；而方程（2311）称为椭圆抛物面的标
35、准方程注当AB时，此椭圆抛物面为旋转抛物面。（如图28）图28）椭圆抛物面可以如下定义3已知坐标系OXYZ，如果取两条抛物线（如图29中的I,II），它们所在的平面互相垂直，有公共的顶点和轴，而凹向是相同的。让其中一条抛物线（如I）平行于自身而移动，同时使其顶点总在另一抛物线（如II）上，那么，这个移动的抛物线描画出一个曲面，我们把这样的曲面叫做椭圆抛物面。（图29）椭圆抛物面的性质（1）用（X，Y，Z）代（X，Y，Z）方程不变，曲面关于YOZ平面对称；用（X，Y，Z）代（X，Y，Z）方程不变，曲面关于XOZ平面对称；用（X，Y，Z）代（X，Y，Z）方程不变，曲面关于Z轴对称；曲面没有对称中心
36、，椭圆抛物面称为无心二次曲面；（2）椭圆抛物面位于XOY坐标面的上方（即Z0）；（3）平行截面曲线的形状当H0时，平面ZH与曲面的交线为椭圆。HZHBYAX22222或HZHBYHAX122222222当H0时，ZH与曲面交于一点，即原点，它是曲面与Z轴的交点，称为顶点；当H0，实轴平行于X轴，顶点在抛物线（2322）上；当H0,实轴平行于Y轴，顶点在抛物线（2322）上。（3）依上讨论，可作出双曲双抛物面的图形。双曲抛物面又叫马鞍曲面（如图211）。（图211）进一步的讨论用平行于XOZ面的平面YK去截曲面，得交线24KYZBYAX22222或KYBKZAX222222它是抛物线，且和抛物线
37、（2322）全等，顶点222,0BKT在抛物线（2323）上。于是有如果两个所在平面垂直，轴相同，顶点重合，开口相反的抛物线，当其中一条抛物线保持其顶点在另一抛物线上平行移动时，所产生的曲面就是一个双曲面抛物面。所以双曲抛物面是有两个对称平面、一条对称轴的无限伸展的鞍状曲面。3二次曲线与二次曲面轨迹之间的联系31从椭圆到椭球面椭圆与椭球面的联系有（1）将椭圆012222BAZBYAX绕长轴（即X轴）旋转所得的旋转曲面的方程为1222222BZBYAX绕短轴（即Y轴）旋转所得的旋转曲面的方程为1222222AZBYAX可见椭圆绕其对称轴旋转可生成椭球面。（2）在平面内，到两定点的距离之和为常数的
38、点的轨迹是椭圆。而在空间，到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是旋转椭球面；证明如下取两定点的连线为X轴，两定点连线段的中点为原点建立坐标系，设两定点间的距离为C2，常数0M，则动点,ZYXM在轨迹上的充要条件为MZYCXZYCX222222两边平方并整理得25222222222222CZYXMZYCXZYCX两边平方整理得144422222222CMZCMYMX令AM2，222CAB，上述方程可简化为1222222BZBYAX可见在空间内，到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是旋转椭球面。（3）在平面内，到一定点与定直线的距离之比小于1的常数的点的轨迹是椭圆。而在空间，到一定点与定平面的距离之比
39、小于1的常数的点的轨迹是旋转椭球面。证明如下选取该平面为XOY面，选取Z轴使得定点位于Z轴上，设定点到定平面的距离为C，则该定点坐标为,0,0C，设常数为1M，动点,ZYXM在轨迹上的充要条件是MZCZYX222两边平方并整理得02122222CCZZMYX因为1M，所以012M可化为111112222222232222322CMMMCZCMMYCMMX可见在空间内，到一定点与定平面的距离之比小于1的常数的点的轨迹是旋转椭球面。32从双曲线到双曲面双曲线与双曲面的联系有（1）将双曲线012222XCZBY绕Z轴（即虚轴）旋转所得的旋转曲面的方程为261222222CZBYBX即为单叶旋转双曲面
40、。绕Y轴（即实轴）旋转所得的旋转曲面的方程为1222222CZBYCX即为双叶旋转双曲面。可见双曲线绕其对称轴旋转可生成双曲面；（2）在平面内，到两定点的距离之差为常数的点的轨迹是双曲线，而在空间，到两定点的距离之差为常数的点的轨迹是双叶旋转双曲面；证明如下取两定点的连线为X轴，两定点连线段的中点为原点建立坐标系，设两定点间的距离为C2，常数0M，则动点,ZYXM在轨迹上的充要条件为MZYCXZYCX222222即222222ZYCXMZYCX两边平方并整理得22222MXMCZYCX两边平方整理得144422222222MCZMCYMX令AM2，222ACB，上述方程可简化为1222222B
41、ZBYAX可见在空间，到两定点的距离之差为常数的点的轨迹是双叶旋转双曲面；（3）在平面内，到一定点与定直线的距离之比大于1的常数是双曲线，而在空间到一定点与定平面的距离之比大于1的常数是旋转双曲面。证明如下选取该平面为XOY面，选取Z轴使得定点位于Z轴上，设定点到定平面的距离为C，则该定点坐标为,0,0C，设常数1M，则动点,ZYXM在轨迹上的充要条件为27MZCZYX222两边平方并整理得02122222CCZZMYX因为1M，所以012M可化为111112222222232222322CMMMCZCMMYCMMX可见在空间内，到一定点与定平面的距离之比大于1的常数的点的轨迹是双叶旋转双曲面
42、。33从抛物线到抛物面抛物线与抛物面的联系有（1）将抛物线022XPZY绕Z轴（对称轴轴）旋转所得的旋转曲面的方程为PZYX222称为旋转抛物面；设已知两个抛物线方程为0022PYPZX0022QXQZY假定曲面是移动抛物线I得到的，在曲面上任取一点,ZYXM，并且通过点M作一个垂直与OY轴的平面YY，这个平面正好是移动抛物线I通过点M时所在的平面，这时，抛物线的顶点Z,Y,N0按已给条件在抛物线II上。因此，过M点的抛物线方程具有如下形状YYZZPX202由于点Z,Y,N0在抛物线II上，所以它的坐标必满足方程II，28即PZY22或QYZ22，因此，所求曲面方程为2222QYZPX或ZQY
43、PX222这里P、Q同为正数，并称为椭圆抛物面的参数。可见椭圆抛物面是由抛物线I，顶点在抛物线II上平行于自身移动得到的。当QP时抛物面为旋转抛物面。设已知两条抛物线方程为I0022PYPZXII0022QXQZY和导出椭圆抛物面的方程一样，可得所求曲面的方程为2222QYZPX或ZQYPX222或ZQYPX222这里P、Q为正数，称为双曲抛物面的参数。因此，双曲抛物面可看成是一族具有相同形状的抛物线II，顶点保持在抛物线I上平行移动得到的轨迹；（2）在平面内，到一个定点和一定直线（定点F不再定直线上）的距离相等的点的轨迹是抛物线，而在空间，到一个定点和一定平面（定点F不再定平面上）的距离相等
44、的点的轨迹是旋转抛物面；证明如下选取该平面为XOY面，选取Z轴使得定点位于Z轴上，设定点到定平面的距离为C，则该定点坐标为,0,0C，动点,ZYXM在轨迹上的充要条件是ZCZYX222两边平方并整理得2222CCZYX可见在空间，到一个定点和一定平面（定点F不再定平面上）的距离相等的点的轨迹旋转抛物面；（3）在平面内，到一定点与定直线的距离之比等于1的常数的点的轨迹是抛物线，而在空间到一定点与定平面的距离之比等于1的常数的点的轨迹是旋转抛物面。证明如下选取该平面为XOY面，选取Z轴使得定点位于Z轴上，设定点到定平面的距29离为C，则该定点坐标为,0,0C，设常数为1M，动点,ZYXM在轨迹上的
45、充要条件是MZCZYX222即1222ZCZYX两边平方并整理得02222CCZYX即2222CCZYX可见在空间到一定点与定平面的距离之比等于1的常数的点的轨迹是旋转抛物面。4从二次曲线到二次曲面的轨迹问题的应用例14将直线10ZYX绕Z轴旋转，求这个旋转曲面的方程，并就和可能的值讨论这是什么曲面解设,1111ZYXM是母线上的任意一点，因为旋转轴通过原点，所以过1M的纬圆方程是2102121212221ZYXZYXZZ且有10111ZYX即11ZX，1Y（3）由式（1），（2），（3）消去1X，1Y，1Z，得所求的旋转曲面的方程为22222ZYX当0,0时，方程即为022YX，即0X，0Y
46、为直线（Z轴）；当0,0时，方程即为222YX，为圆柱面；当0,0时，方程即为02222ZYX，可以看做是由XOZ坐标面上的曲线222ZX，即ZX，两条直线绕Z轴旋转而成的，故为顶点在原点的圆锥曲线；当0,0时，方程即为1222222ZYX，故为单叶旋转双曲面。可见直线绕一固定的轴旋转可形成旋转曲面。30例24设动点与点0,0,1的距离等于从这点到平面4X的距离的一半，试求此动点的轨迹。解由已知得，动点,ZYXM在轨迹上的充要条件是4211222XZYX两边平方并整理得343222ZYX两边同除以3得1334222ZYX可见此轨迹是旋转椭球面。该例题说明在空间，到一定点与定平面的距离之比小于1
47、的常数的点的轨迹是旋转椭球面。例34设动点与点0,0,4的距离等于从这点到平面1X的距离的两倍，试求此动点的轨迹。解由已知得，动点,ZYXM在轨迹上的充要条件是124222XZYX两边平方并整理得123222ZYX两边同除以12得112124222ZYX可见此轨迹是双叶旋转双曲面。该例题说明在空间，到一定点与定平面的距离之比大于1的常数的点的轨迹是双叶旋转双曲面。参考文献1俞少红,张宏翀例谈二次曲线的定义J数理天地高中版2007年第8期672吕林根,许子道编解析几何（第四版）M高等教育出版社20061581743孟宪云二次曲面的定义和它的方程J承德民族师专学报1993年增刊76794蒋大为,宋伟杰编解析几何（苏大第三版）M西北工业大学出版社20075657,1505丘维生编解析几何（第二版
