1、1毕业论文开题报告数学与应用数学复积分的计算一、选题的意义复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西黎曼条件”复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，
2、也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变
3、函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领2域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数作为数学的基础课,它研究的主要对象是解析函数,解析函数在理论和实践中有着广泛的应用。复变函数积分理论又是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解析函数的重要工具之一。解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明例如，要证明“解析函数的导函数连续”及“解析函数
4、的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分在复变函数的积分理论中，柯西积分定理和柯西积分公式尤为重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式柯西积分定理是解析函数积分的理论基础，由柯西积分定理推出的柯西积分公式表明，一个在区域内的解析函数可以用一个积分来表达，即解析函数在区域内任意点处的值均可用它在边界上的值通过积分来表示出来，这说明解析函数的值与值之间是有密切联系的用柯西积分公式又可证明解析函数的高阶导数公式一个解析函数存在任意阶的导数，因而解析函数的导函数仍然是解析函数可以说，复变函数的微分学是建立在积分学基础之上的，这和实变函数的情形绝然不同因此复积分的运算具有
5、十分重要的地位和意义复积分是定义在复平面上的线积分，它是定积分和二元函数线积分的推广，类似于定积分，而复积分的计算是积分理论的基本问题之一,也是较难解决的问题。复变函数的积分计算是研究解析函数的重要工具。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）研究主要内容从不同角度给出了复积分的计算方法。拟解决的主要问题1本文将介绍几种复积分的常用方法，从复积分的定义，曲线的参数方程，借助柯西积分公式，利用牛顿莱布尼兹公式解决复积分计算。2介绍另外几种处理有关复变函数积分问题的方法。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤1确定论文的题目，研究方向；2广泛查阅资料，撰写开题报告、文献综述；3
6、3撰写论文初稿；4翻译两篇外文资料；5修改论文、译文；6论文定稿，上交所有相关的材料。方法比较研究方法，归纳整理法措施利用网络、书籍，杂志等渠道收集与复积分计算相关的信息资料,然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。四、毕业论文（设计）提纲1简单介绍复变函数积分的历史2介绍几种常用的复变函数积分计算方法以及例题3介绍另外几种处理有关复变函数积分问题的方法。五、主要参考文献1钟玉泉复变函数第三版M北京高等教育出版社,20042崔冬玲复积分的计算方法淮南师范学院学报，NO320063潘永亮等复变函数M北京科学
7、出版社,20044裘冬宝复变函数典型题M西安西安交通大学出版社,20035余家荣复变函数M北京人民教育出版社19796钟玉泉复变函数学习指导书M北京高等教育出版社,20047西安交通大学高等数学教研室复变函数（工程数学）M北京高等教育出版社,20018郭芳沿闭曲线的复积分计算方法探析M保定师范专科学校学报,2005NO49南京理工大学数学系复变函数与积分变换M高等教育出版社，200610孙清华复变函数M武昌华中科技大学出版社,20041552004毕业论文文献综述数学与应用数学复积分的计算复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函
8、数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解
9、决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛
10、的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被5应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。复变函数作为数学的基础课,它研究的主要对象是解析函数,解析函数在理论和实践中有着广泛的应用。复变函数积分理论又是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究
11、解析函数的重要工具之一。解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明例如，要证明“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分在复变函数的积分理论中，柯西积分定理和柯西积分公式尤为重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式柯西积分定理是解析函数积分的理论基础，由柯西积分定理推出的柯西积分公式表明，一个在区域内的解析函数可以用一个积分来表达，即解析函数在区域内任意点处的值均可用它在边界上的值通过积分来表示出来，这说明解析函数的值与值之间是有密切联系的用柯西积分公式又可证明解析函数的高阶导数公式一个解析函数存在任意阶的导数，因而解析函数的导函
12、数仍然是解析函数可以说，复变函数的微分学是建立在积分学基础之上的，这和实变函数的情形绝然不同因此复积分的运算具有十分重要的地位和意义本文将从不同的角度对复积分的计算方法作一探讨。若积分所沿的积分路径是不封闭曲线，可根据积分的定义，参数方程法和牛顿莱布尼兹公式来进行计算若积分所沿的积分路径是封闭曲线，根据被积函数的特征，可以考虑用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶求导公式或柯西留数定理来计算。做题的过程中分析好积分路径与被积函数的特点，选着最合适的方法，可更快地解决问题。柯西用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。有关柯西定理我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上
13、就是函数沿区域D任何闭曲线的积分值是否为零的问题1825年，柯西得到了如下著名的柯西积分定理定理设FZ在Z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条围线，则0CFZDZ1851年，黎曼在附加条件“FZ在D内连续”的情况下，给出柯西积分定理一个简单的证明6黎曼证明令,ZXIYFZUXYIVXY，由公式得CCCFZDZUDXVDYIVDYUDX由假设FZ在D内连续，从而,XYXUUVV在D内连续，且满足CR条件,XYYXUVUV根据格林（GREEN）定理有0CUDXVDY，0CVDXUDY，因此0CFZDZ1900年，古莎（GOURSAT）在去掉FZ在D内连续的条件下证明了柯西积分定理，由于其证
14、明较长，故略去不证MORERA定理即柯西积分定理的逆定理如果函数FZ在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有0CFZDZ。那么FZ在区域D内解析。他刻画了解析函数的又一种定义有关柯西积分公式柯西积分公式设区域D的边界是周线（复周线）C，函数FZ在D内解析，在DDC内连续，则12CFFZDZDIZ。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数，从而证明了AL柯西与K魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积分定理已推广到沿同伦曲线或沿同调链积分的形式。
15、柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式有关留数定理留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。7柯西留数定理FZ在周线（复周线）C所围区域D内除A1，A2，AN外解析，在闭域DDC上除A1，A2，AN外连续，
16、则CFZDZ12REKNZAKISFZ参考文献1钟玉泉复变函数第三版M北京高等教育出版社,20042崔冬玲复积分的计算方法淮南师范学院学报，NO320063潘永亮等复变函数M北京科学出版社,20044裘冬宝复变函数典型题M西安西安交通大学出版社,20035余家荣复变函数M北京人民教育出版社19796钟玉泉复变函数学习指导书M北京高等教育出版社,20047西安交通大学高等数学教研室复变函数（工程数学）M北京高等教育出版社,20018郭芳沿闭曲线的复积分计算方法探析M保定师范专科学校学报,2005NO49南京理工大学数学系复变函数与积分变换M高等教育出版社，200610孙清华复变函数M武昌华中科技
17、大学出版社,20041552008（20_届）本科毕业设计数学与应用数学复积分的计算910目录1利用复积分的定义12参数方程法（变量代换）23利用牛顿莱布尼兹公式64利用柯西积分定理计算75利用柯西积分公式计算106借助柯西高阶求导公式117留数定理14小结1511复积分的计算摘要复变函数的积分计算是研究解析函数重要工具，本文总结归纳了复积分的计算方法，并从中揭示了诸多方法的内在联系关键词复变函数；复积分复变函数作为数学的基础课，它研究的主要对象是解析函数，解析函数在理论和实践中有着广泛的应用复变函数的积分理论是研究解析函数的一个重要工具，而复积分的计算是积分理论的基本问题之一，也是较难解决的
18、问题本文将从不同的角度对复积分的计算方法作一探讨1利用复积分的定义复变函数的积分简称复积分，对于研究解析函数的性质，起着重要作用复积分的计算可利用复积分的定义1定义设有向曲线CZZTXTYT,T以AZ为起点，BZ，FZ沿C有定义，在C上从A到B的方向取分点011,NNAZZZZB把曲线C分成N个弧段（图）12图31在从1KZ到KZ（1,2,KN）的每一个弧段上任取一点K，作和数1NNKKKSFZ其中1KKKZZZ（1,2,KN）且设MAX1KZKN若0LIMNSJ（J为复常数），则称FZ沿C（从A到B）可积，J称为FZ沿C的积分，记为CJFZDZC称为积分路径，同时CFZDZ表示沿C的负方向的
19、积分例1命C表示连接A及B的任一曲线，试证（1）CDZBA；（2）2212CZDZBA证明（1）因1FZ于是111NNNKKKKKKSFZZZBA故MAX0LIMKNNZSBA即CDZBA（2）因FZZ，1NNKKKSFZ，令1KKZ得1111NKKKKZZZ令KKZ得211NKKKKZZZ有定义可得NS的极限存在且应与1及2的极限相等，从而应与1212的极限相等于是1322221211111222NNKKKSZZBA，所以2212CZDZBA（特别的，当C为闭曲线时，则上述两个积分值为0）2参数方程法（变量代换）可转化为其实部、虚部两个二元实函数的曲线积分根据曲线积分的计算公式，当把曲线积分
20、的路径C表示为参数式时，则复积分可转化为下面单变量的定积分定理设光滑曲线CZZTXTIYTT，ZT在,上连续，且0ZT，又设FZ沿C连续，则CFZDZFZTZTDZ（21）21若曲线C是直线段或抛物线弧段，先求出C的参数方程C为过1Z，2Z两点的直线段，121,0,1CZZZZTT，1为始点，2Z为终点然后再按上述方法计算例2计算积分1REIZDZ，路径为直线段解设111ZITTIT，0,1T原式101TIDT21102TTI2I例3计算积分CIZDZ，其中C的起点为O，终点为1I，积分路径为14（1）YX；（2）2YX；（3）沿实轴由0到1及由1到1I的直线段所组成的折线段解（1）将直线段Y
21、X写成参数式,01,XTTYT则由0Z到1ZI的直线段复数形式的参数方程为1ZTITIT，01T因而1DZZTDTIDT应用复积分计算公式（21）有21100111112102CTZDZITIDTIITDT（2）将抛物线2YX写成参数方程2,XTYT则从0到1I的抛物线弧段复数形式的参数方程为2,01,ZZTTITT所以XY011IC1C215112220012CZDZTITTITDTTITITDT2413223011212200243TTTTITTDTIT13I（3）12CCC，其中1C的参数方程为,01ZTT2C的参数方程为1,01ZITT12110011CCIZDZZDZTDTITITD
22、T21201111100222TTIITDTITI211122III此例说明，具有相同起点和终点，同一个复变函数的积分，其值随着路径的不同可能不同22若曲线C为圆周或圆周的一部分，例如C以A为心R为半径的圆设CZAR，即REIZA，0,2，（曲线的正方向为逆时针）例4计算积分CZDZ，C为从1到1的下半单位圆周解设IZE，IDZIED，,0原式0IIEDCOSSINOID2例52101NCINDZNZA的整数其中C是以A为心，R为半径的圆周证明因为C的参数方程为02IZARE故由公式21得221100IINNNINNCDZIREDIEDZARER16因此，1N时，202NCDZIDIZA，当N
23、为整数且1N时，1201101INNNCDZIEZARN注意此积分值与半径R无关例6计算积分ZDZZ，其中是圆环12Z上半部分的边界，其方向如图分析只须写出积分路径各部分的参数方程，并利用参数方程法即可计算解设1，2为两个上半圆周，则路线各部分的参数方程为；ZT，1T2；ZT，1T21IZE，0；2IZE，0由积分性质得PZDZZ21ZZZZDZDZDZDZZZZZ21022221202IIIIDTDTIEEDIEED330022IIIEDIED43注上述方法只适用于积分曲线是特殊类型的曲线3利用牛顿莱布尼兹公式若FZ在单连通区域D内解析，C是D内的光滑曲线，则积分EFZDZ只与C的起点和终点
24、有关，固定起点Z0，则0ZZFZFZDZ是FZ在D内的一个单值原函数，且FZFZ于是00ZZFZDZFZFZ0P1C317所以我们要求求出FZ的原函数FZ例7求积分2281EZZDZ之值其中C为摆线；SINXAQ，1COSYA从0到2的一段分析若用计算复积分的参数方程法，则应写出C的参数方程SIN1COSZZAIA，确定起点参数0，终点参数2，然后代入公式计算，计算过程繁杂注意到被积函数2281FZZZ在复平面上处处解析，积分与路径无关，因此可先求其不定积分再用复积分的牛顿莱布尼兹公式做简单计算解2281EZZDZ3220243AZZZ3322161623AAA例8计算2222IZDZ解因为2
25、2FZZ在复平面上处处解析，所以积分与路径无关原式22244IZZDZ32221243IZZZ3I在运用牛顿莱布尼茨公式计算积分时，定积分的换元积分法和分部积分法仍成立例9121ZIIEDZ解因为2ZE在复平面内解析，用换元积分法有1112221124ZZIIIIEDZEEI例10计算积分0SINIZZDZ解由于SINZZ在复平面内处处解析，用分部积分法得0000SINCOSCOSCOSSINIIIIZZDZZZZDZIIZ1COSSINCOSSINIIIIIIIIE注若积分与路径无关的条件下可直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计算4利用柯西积分定理计算18应用柯西积分定理和牛顿莱布尼茨公式的前
26、提都是满足条件区域D是单连通域FZ是解区域D内的解析函数，2柯西积分定理设函数FZ在复平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则0CFZDZ，就是说D平面上任何闭曲线积分值都为0例11计算222CDZZZ，C为单位圆周1Z解1Z是222DZFZZZ的解析区域内的一闭曲线，有柯西积分定理有2022CDZZZ注此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西积分定理很简单例12计算256ZCEDZIZZ的值,C1Z解25623ZZEEZZZZ的奇点为2Z,3Z都在1Z的外部256ZEZZ在1Z上解析,由柯西积分定理可得0I柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函
27、数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形复合闭路定理设区域D是复连通区域，OC为D的外边界，12,NCCC为D的内边界，它们都是分段光滑的，其中12,NCCC都在OC的内部，且12,NCCC中的每一个都在其余的外部，012NCCCCC若函数FZ在内解析，在D上连续，则FZ沿外边界逆时针方向积分等于沿内边界逆时针方向积分之和01KNCCKFZDZFZDZ，（41）0CFZDZ19例13计算1CNDZZA，其中C是围绕A的任一简单闭曲线解函数1NFZZA在复平面内除点A外的区域内处处解析以奇点A为中心，适当小的R为半径作圆周1C（如图），使1C在C的内
28、部有式（41）得12,1110,1CCNNINDZDZNZAZA的整数C1YXAOC例14计算221CZDZZZ的值，C为包含圆周1Z的任何正向简单闭曲线解221CZDZZZ111CDZZZ，分别以0,1ZZ为心做两完全含于C内且互不相交的圆周C1，C2，则有原式12111111CCDZDZZZZZ1122111111CCCCDZDZDZDZZZZZ2002II例15计算下列积分1631ZDZZZ131ZDZZZ分析被积函数131ZFZZ在复平面上共有两个奇点0Z和13Z，将ZF分为两项，即131ZFZZ1331ZZ20解1631ZDZZZ11661331ZZDZDZZZ因331Z的奇点13Z
29、在16Z的外部，故可由重要积分及CANCHY积分定理得1631ZDZZZ202II（2）被积函数的两个奇点0Z和13Z均在1Z的内部，故可在1Z内作两个充分小圆1及2，将两奇点挖去，与原曲线C构成复围线，应用复合闭路定理（如图）131ZDZZZ123131DZDZZZZZ蜒1122333131DZDZDZDZZZZZ蜒蜒220022013DZIIIZ对于积分（1），由于被积函数在16Z的内部只有一个奇点0Z，而另一个奇点13Z则在16Z的外部，故可将FZ适当变形后应用CANCHY积分公式解（1）解1631ZDZZZ131ZDZZ012231ZIIZ注利用柯西积分定理也有一定的局限性，主要体现在
30、被积函数上，只有某些特殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便5利用柯西积分公式计算1XY1312O21柯西积分公式设区域D的边界是周线（复周线）C，函数FZ在D内解析，在DDC内连续，则12CFFZDZDIZ柯西积分公式较柯西积分定理的高级之处在于它可以解决积分曲线内有被积函数的奇点且被积函数不是特殊函数的积分问题216例计算积分,21ZCEDZCZZ解ZFZE在全平面解析，1Z在2Z内，所以，由柯西积分公式原式122ZZIEEI例17计算积分22SIN41SZIDZZ解因为211111211ZZZ所以SINSIN144211CCZZIDZDZZZ11112SIN2SIN2424Z
31、ZIZIZ22II2I例18计算21ZCEDZZ，其中C为圆周2Z解因被积函数的两个奇点是I，I，分别以这两点为心作两个完全含于C而且互不相交的圆周C1，C2原式122211ZZCCEEDZDZZZ12ZZCCEEZIZIDZDZZIZI22ZZZIZIEEIIZIZIIIEE22此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合，比单独应用柯西积分定理容易方便得多6借助柯西高阶求导公式柯西积分公式解决的是形如,CFDZDZ的积分，那形如,CNFDZDZ的积分怎样计算呢可根据柯西高阶求导公式来解决高阶导数公式若函数FZ在区域D内解析，在DDC（C为D的边界）上连续，则在内任一点Z处，函数FZ具有各阶导
32、数，且1,1,2,2NNCNFFZDNIZL这个公式的应用往往不在于用求积分代替求导数，而是用求导数的方法来计算积分，即12NNCFIDFZZN例19计算积分222211SZZIDZZ解由高阶导数公式2112212416ZZIIZZIZI例20求积分132ZZEDZZ之值分析设3ZEFZZ，ZFZE，FZ在12Z内部只有一个奇点0Z，而FZ在12Z上解析，故可用CANCHY高阶求导公式23解132ZZEDZZ022NZIFZ0NZZIEI若被积函数FZ在周线或复周线C所范围的区域D内有有限个奇点,但不易直接由柯西积分公式或高阶导数公式解出时,这时,我们可采用挖奇点法解题挖奇点法是根据沿外边界积
33、分等于沿内边界积分之和,把积分路径包含区域内的奇点用互不相交且互不包含的几个闭曲线将每一个奇点含于一条闭曲线中（并且这些闭曲线都含于C中）,在利用柯西积分公式或高阶导数公式计算复积分例21计算221ZCEDZZ，C为2Z解因被积函数的两个奇点是I，I，分别以这两点为心作两个完全含于C而且互不相交的圆周C1，C2原式12222211ZZCCEEDZDZZZ122222ZZCCEEZIZIDZDZZIZI222222ZZZIZIEEIIZIZI12IIIEIE例22计算积分231ZSEIDZZZ解被积函数31ZEZZ在区域2Z内有1,0两个奇点,运用挖奇点法，分别以1,0为圆心作互不相交的小圆C1
34、,C2且C1,C2包含在2Z内由柯西积分公式和高阶导数公式有123311ZZCCEEZZIDZDZZZ3012221ZZZZIEEIZZ2452IIE52IE例23计算积分231ZSEIDZZZ解被积函数31ZEZZ在区域2Z内有1,0两个奇点,运用挖奇点法，分别以1,0为圆心作互不相交的小圆C1,C2且C1,C2包含在2Z内由柯西积分公式和高阶导数公式有123311ZZCCEEZZIDZDZZZ3012221ZZZZIEEIZZ52IIE52IE7留数定理若被积函数FZ在周线或复周线C所范围的区域D内除有限个奇点A1,A2,AN外都解析,但由以上方法都不易解出时，则可考虑用留数定理计算复积分
35、1柯西留数定理FZ在周线（复周线）C所围区域D内除A1，A2，AN外解析，在闭域DDC上除A1，A2，AN外连续，则CFZDZ12REKNZAKISFZ例24计算积分31,CIDZZZI其中C为周线2Z25解被积函数31FZZZI在内有两个孤立奇点0Z和ZI，其中0Z为FZ的三级极点，ZI为FZ的一极点，且2323011RE,0LIM2ZDSFZZDZZZI22011LIM2ZDDZZI30121LIM,2ZZII311RE,LIMZISFZIZIZZII由留数定理得311120CIDZIZZIII例25计算22521ZZDZZZ解2521ZFZZZ在圆周2Z内有一阶极点Z0，二阶极点Z120
36、052RE21ZZZSFZZ1152RE2ZZZSFZZ由留数定理原式102REREZZISFZSFZ2220I注此题也可结合柯西积分公式与柯西积分定理求解例25计算积分13SIN1SZZZIDZE解此题无法用上面介绍的方法解题,只好用留数定理求RESFZ被积函数在1Z内只有0Z一个奇点,而263223333133SIN1122ZZZZZZZZZZZEZ于是在0Z的去心邻域内有13SIN11ZZZAZE,由此可得0SINRE11ZZZZSE,由留数定理,2II小结本文研究的主要问题是复积分的计算，共介绍了七种计算复积分的方法，每种方法各有利弊，在做题的过程中分析好积分路径与被积函数的特点，选着
37、最合适的方法，可更快地解决问题主要有以下几种方法（1）设FZ在曲线C上连续（不一定解析），若的参数方程为,ZZTT，则CFZDZFZTZTDZ，其中、分别对应于的起点和终点（2）设FZ在内解析，起积分路线不是内的闭曲线，则可以使用牛顿莱布尼茨公式210ZZFZDZFZFZFZFZ，（3）若积分所沿的积分路径是封闭曲线，根据被积函数的特征，可以考虑用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶求导公式或柯西留数定理来计算参考文献1钟玉泉复变函数第三版M北京高等教育出版社,20042崔冬玲复积分的计算方法淮南师范学院学报，NO320063潘永亮等复变函数M北京科学出版社,20044裘冬宝复变函数典型题M西安西
38、安交通大学出版社,2003275余家荣复变函数M北京人民教育出版社19796钟玉泉复变函数学习指导书M北京高等教育出版社,20047西安交通大学高等数学教研室复变函数（工程数学）M北京高等教育出版社,20018郭芳沿闭曲线的复积分计算方法探析M保定师范专科学校学报,2005NO49南京理工大学数学系复变函数与积分变换M高等教育出版社，200610孙清华复变函数M武昌华中科技大学出版社,2004155200THECALCULATIONOFCOMPLEXINTEGRATIONABSTRACTTHECALCULATIONOFCOMPLEXINTEGRATIONISTHEIMPORTANTTOOLTOSTUDYANALYTICFUNCTIONS,THISPAPERSUMMARISESTHECOMPLEXINTEGRALCALCULATIONMETHOD,ANDTOREVEALTHEINNCOMPLEXVARIABLEFUNCTIONPOINTSCOMPUTINGISANIMPORTANERCONNECTIONOFVARIOUSMETHODSKEYWORDSCOMPLEXVARIABLEFUNCTIONSCOMPLEXINTEGRATION
