1、第十三章 含耦合电感的电路分析,磁耦合线圈在电子工程、通信工程和测量仪器等方面得到了广泛应用。为了得到实际耦合线圈的电路模型，现在介绍一种动态双口元件耦合电感，并讨论含耦合电感的电路分析。,在介绍耦合电感元件以前，下面先用示波器观察磁耦合线圈初级和次级的波形。,在环形磁芯上用漆包线绕一个耦合电感，初级60匝，次级30匝，如图所示。,在环形磁芯上用漆包线绕一个耦合电感，初级60匝，次级30匝，如图所示。,在初级加上999kHz的正弦信号，用示波器观察到正弦波形。,在耦合电感的次级上，可以观察到正弦波形，其幅度约为初级电压的一半。,用双踪示波器可以同时观察耦合电感初级和次级线圈上的正弦电压波形，它
2、们的相位是相同的。,当我们改变次级线圈的绕向时，耦合电感初级和次级线圈上电压波形的相位是相反的。,为了区别这两种情况，需确定耦合电感的同名端，图示耦合电感线圈的两个红色(或绿色)端钮是一对同名端。当初次级电压参考方向的正极都在同名端时，它们的相位相同。,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,13l 耦合电感的电压电流关系,图13-1所示为两个相互有磁耦合关系的线圈。第一个线圈中电流i1在线圈本身中形成的总磁通或磁链记为11，它与电流i1成正比，即11=L1i1，L1称为线圈 l的自感。电流i1 在第二个线圈全部匝数N2中形成的总磁通或磁链记为21，它也与电流i1 成正比，即21=M21i
3、1，比例系数M21称为线圈 l与线圈2的互感。,图131(a),与上面的情况相似，若第二个线圈中电流i2在第二个线圈形成的磁链22=L2i2，其中L2称为线圈2的自感。电流i2在第一个线圈全部匝数N1中形成的磁链12=M12i2，比例系数M12称为线圈2与线圈 l的互感。,图131(b),若两个线圈中同时有电流i1和i2存在，则每个线圈中总磁链为本身的磁链和另一个线圈中电流形成的磁链的代数和。,对于图13l(b)所示的情况有：,图131(b),式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈中
4、的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。,当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随时间变化，将在线圈中产生感应电动势。,图131(a),对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：,与此相似，对于图(b)情况可以得到：,每个线圈的电压均由自感磁链产生的自感电压和互感磁链产生的互感电压两部分组成。,图131(b),为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压取正号或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名端。这一对符号是这样确定的，当电流i1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向相同而相互增强时，电流i1和i2所进入(或流出)的两个端钮，称为同名端，常用一对符号
5、“ ”或“ *”表示。例如，图(a)的 l和2(或 l和2 )是同名端；图(b)的 l和2 或（ l 和2）是同名端。,图131,根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：,图132(a),图132(b),耦合电感是一种线性时不变双口元件，它由L1,L2和M三个参数来表征。它是一种动态电路元件。,耦合线圈的同名端可用图示实验电路来确定。,图134 测定同名端的电路,耦合线圈的同名端是这样确定的，当电流i1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向相同而相互增强时，电流i1和i2所进入(或流出)的两个端钮，称为同名端。,图中 US表示直流电源，例如1.5V干电
6、池。V表示高内阻直流电压表，当开关闭合时，电流由零急剧增加到某一量值，电流对时间的变化率大于零，即 。,如果发现电压表指针正向偏转，说明 ，则可断定 l和2是同名端.,图134 测定同名端的电路,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,例13l 试求图135所示耦合电感的电压电流关系。,解：耦合电感的电压由自感电压和互感电压两部分组成。 自感电压正负号确定方法与二端电感相同。互感电压 正负号的确定与同名端有关。,图135,工作在正弦稳态条件下的耦合电感，其相量模型如图所示,相应的电压电流关系为:,图136,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,13-2 耦合电感的串联与
7、并联,耦合电感的串联有两种方式顺接和反接。,顺接是将L1和L2的异名端相连图(a)，电流i均从同名端流入，磁场方向相同而相互增强。反接是将L1和L2的同名端相连 图(b)，电流i从L1的有标记端流入，则从L2的有标记端流出，磁场方向相反而相互削弱。,图137,图示单口网络的电压电流关系为,此式表明耦合电感顺接串联的单口网络，就端口特性而言，等效为一个电感值为L= L1+L2+2M 的二端电感。,图(b)单口网络的电压电流关系为,此式表明耦合电感反接串联的单口网络，就端口特性而言，等效为一个电感值为L”= L1+L2-2M的二端电感。,综上所述，耦合电感串联时的等效电感为,图137,实际耦合线圈
8、的互感值与顺接串联和反接串联时的电感L和L”之间，存在以下关系。,如果能用仪器测量实际耦合线圈顺接串联和反接串联时的电感L和L”，则可用式(1310)算出其互感值，这是测量互感量值的一种方法。还可根据电感值较大(或较小)时线圈的连接情况来判断其同名端。,图137,耦合线圈参数的测量,实验室常用高频Q表来测量电感线圈和耦合电感的参数。,测量60匝的初级线圈电感为0.66mH，品质因数Q为86。,测量30匝的次级线圈电感为0.17mH，品质因数Q为100。,测量耦合电感线圈顺接串联时的等效电感为1.25mH，品质因数Q150。,测量耦合电感线圈反接串联时的等效电感为0.21mH，品质因数Q50。,
9、根据以上测量的耦合电感线圈顺接串联等效电感L=1.25mH和耦合电感线圈反接串联时的等效电感L0.21mH。可以计算出耦合电感的互感为,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,研究耦合电感的并联。图(a)表示同名端并联的情况。,图138,可以求得,网孔方程为,耦合电感异名端并联图(b)的等效电感为,图138,此式表明耦合电感同名端并联等效于一个电感，其电感值为,综合所述，得到耦合电感并联时的等效电感为,同名端并联时，磁场增强，等效电感增大，分母取负号；异名端并联时，磁场削弱，等效电感减小，分母取正号。,图138,为了说明耦合电感的耦合程度，定义一个耦合因数,耦合因数k的最小值为零，此时M=
10、0，表示无互感的情况。k 的最大值为 l，此时 ，这反映一个线圈电流产生的磁感应线与另一个线圈的每一匝都完全交链的情况。k =1时称为全耦合，k接近于 l称为紧耦合，k很小时称为松耦合。,在前面的实验中已经测量出上图所示耦合电感初级线圈自电感L1=0.66mH和耦合电感线圈次级的等效自电感L20.17mH。由此可以计算出该耦合线圈的耦合系数为,该耦合线圈接近紧耦合，其原因是磁环的导磁系数很高。,例13-2 图13-9电路原已稳定。已知R=20， L1=L2=4H， k=0.25, US=8V。t=0时开关闭合，求t0时的i(t)和 u(t)。,图139,解：先求出互感,耦合电感串联的等效电感,
11、得到图(b)的等效电路。用三要素法求得电流和电压为,图139,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,133 耦合电感的去耦等效电路,图13-10(a)表示有一个公共端的耦合电感，就端口特性来说，可用三个电感连接成星形网络图(b)来等效。,图1310,列出图(a)和(b)电路的电压、电流关系方程：,图1310,令以上两式各系数分别相等，得到：,由此解得：,由此解得：,图1311(d),例133 用去耦等效电路求图(a)单口网络的等效电感。,解：若将耦合电感 b、d两端相连，其连接线中的电流为零， 不会影响单口网络的端口电压电流关系，此时可用图 (b)电路来等效。再用电感串并联
12、公式求得等效电感,也可将耦合电感 b、c两端相连，所求得的等效电感与式(1317)相同。,图1312,例134 试求图13-13(a)所示单口网络的等效电路。,解：先化简电路,将2电阻合并到3电阻成为5 。,图1313,将端接50mH电感的理想变压器等效为5H电感。,将耦合电感去耦以得到图(b)所示等效电路。,例134 试求图13-13(a)所示单口网络的等效电路。,解：先化简电路，将耦合电感去耦以得到图(b)所示等效电路，最后用电感串并联公式求得总电感为,最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电感的串联。,图1313,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,13
13、4 空心变压器电路的分析,不含铁心(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器，它在电子与通信工程和测量仪器中得到广泛应用。空心变压器的电路模型如图所示，R1和R2表示初级和次级线圈的电阻。,图1314,一、端接负载的空心变压器,该电路的网孔方程为：,空心变压器次级接负载的相量模型如图所示。,图1315(a),求得,图1315(b),图1315(a),式中Z11= R1+jL1是初级回路阻抗，Zref是次级回路在初级回路的反映阻抗,若负载开路，Z22, Zref=0，则Zi=Z11=R1+jL1，不受次级回路的影响；,再用式(1320)即可求得次级电流,若改变图1315(a)电路中同名端位置，则式(13
14、18)、(1319)和(1320)中M 前的符号要改变。但不会影响输入阻抗、反映阻抗和等效电路。,例135 电路如图13-16(a)所示。已知,试求：(l) i1(t),i2(t)； (2) 1.6负载电阻吸收的功率。,图1316,解：画出相量模型，如图(b)所示。求出反映阻抗,求出输入阻抗,求出初级电流,求出次级电流,最后得到：,1.6负载电阻吸收的平均功率为,二、端接电源的空心变压器 现在讨论除负载以外含源单口网络的戴维宁等效电路。该单口网络的相量模型如图13-17（a）所示。,图1317,得到图示戴维宁等效电路。根据最大功率传输定理，当负载ZL与Zo共轭匹配，即,可获得最大功率为,图13
15、17(b),例13-6 求图13-16电路中1.6负载电阻经调整获得的最大功 率。,解：将1.6电阻断开，求含源单口网络的戴维宁等效电路。 求出开路电压,图1316,当 时获得最大功率,用与输入阻抗相类似的公式计算输出阻抗,三、用去耦等效电路简化电路分析 含耦合电感的电路，若能将耦合电感用去耦等效电路代替，可避免使用耦合电感的VCR方程，常可简化电路分析。现举例说明,图1311,解：将耦合电感 b、d两点相连，用去耦等效电路代替耦合 电感，得到图(b)相量模型。,例13-7 电路如图(a)所示。已知 。 试求电流i1(t),i2(t)和负载可获得的最大功率。,图1318,等效电路中三个电感的阻
16、抗为：,图1318,用阻抗串并联和分流公式求得：,为求负载可获得的最大功率，断开负载ZL=(0.6-j2) 求得,根据最大功率传输定理，当负载为 时可获得最大功率,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,135 耦合电感与理想变压器的关系,我们介绍了耦合电感和理想变压器两种电路元件，其电压电流关系如下所示，一个是双口动态元件，另一个是电阻双口元件，它们都是从具有互感耦合的线圈抽象出的理想电路元件，为什么要提出两种电路元件？它们之间的关系如何？,图(a)耦合电感也可用图(b)所示两个电感和一个理想变压器电路等效。其等效条件推导如下：,
17、图1319,图1319,图(a)耦合电感与图(b)所示两个电感和一个理想变压器电路等效电路的等效条件为：,式中LS称为漏电感， Lm称为磁化电感。,这表明对于k=1的全耦合电感，可用一个电感L1和变比为 的理想变压器构成其电路模型。,当耦合因数k=1时， 上式变为：,L1的全耦合电感等效于一个理想变压器。,图1320,用耦合因数表示的图(a)耦合电感与图(b)所示两个电感和一个理想变压器电路等效电路的等效条件为：,式中LS称为漏电感， Lm称为磁化电感。,k=1,L1的全耦合电感等效于一个理想变压器。,(a),(b),结论： 1. 耦合电感可以与两个电感LS 、Lm和一个理想变压器电路等效。
18、2. 全耦合电感可以与一个电感L1和一个理想变压器电路等效。 3. 电感L1足够大的全耦合电感可以用一个理想变压器电路等效。,上面已经说明，虽然耦合电感是双口动态元件，而理想变压器是双口电阻元件，但是在耦合电感的耦合因数等于1以及电感L1足够大的情况下的确可以用一个理想变压器来等效。这个关系也可以从耦合电感的VCR关系推导出理想变压器的VCR关系来加以证明。,下面说明在耦合电感的耦合因数等于1的情况下，从耦合电感的VCR关系可以导出理想变压器的方程 u1=nu2 。,下面说明在耦合电感的耦合因数等于1的情况下，以及电感L1变为无穷大，则可以导出理想变压器的另外一个方程。,以上讨论表明：用导线绕
19、制的磁耦合线圈，在忽略导线和磁心(或铁心)损耗的条件下，可以用一个耦合电感或两个电感和一个变压器的组合作为它的电路模型。,在耦合因数k比较小的情况下，常采用耦合电感作为它的电路模型。 在耦合因数k1的全耦合的情况下，常用由理想变压器组成的电路模型。当L1 足够大时，其电路模型就是一个N1:N2的理想变压器。,在考虑导线和磁心(或铁心)损耗的情况下，可以用以下电路模型作为铁心变压器的更精确的电路模型。,理想变压器的变比等于线圈匝数之比,变压器次级线圈的损耗和漏感已经折算到初级。,绕制变压器的磁心和铁心以及线圈的骨架。,例13-8 用耦合电感的等效电路重解例13-7。,解：将上图中耦合电感用含理想
20、变压器的电路代替。 由式(13-27)求得n=0.5,Lm=0.5mH, LS=3.5mH。,图1318,其相量模型如图13-21所示。,由此电路容易计算出输入阻抗、输出端的开路电压以及输出阻抗,图1321,再计算出电流,图1321,图1321,根据最大功率传输定理，当负载为 时可获得最大功率,求解结果与例137相同。,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,136 电路实验和计算机分析电路实例,首先用正弦稳态分析程序ACAP来分析含耦合电感的电路。再介绍确定耦合线圈同名端的各种实验方法。,一、计算机辅助电路分析,例139电路如图1
21、323(a)所示。已知试求电流 i1(t), i2(t) 和负载可获得的最大功率。,图1323,解:运行正弦稳态分析程序ACAP，读入图1323(b)所示电路数据，选择代码7，可以得到以下计算结果,L13-9 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 10.000 .00000 R 2 1 2 2.0000 M 3 2 0 4.00000E-03 1.00000E-03 4 3 0 1.00000E-03 2.00000E-03 R 5 3 4 .40000 R
22、6 4 5 .60000 C 7 5 0 5.00000E-04 独立结点数 = 5 支路数 = 7角频率 w= 1000.0 rad/s - 支 路 电 流 瞬 时 值 i(t) - i 1(t)= 2.83 Cos( 1.000E+03t+126.87) i 2(t)= 2.83 Cos( 1.000E+03t -53.13) i 3(t)= 2.83 Cos( 1.000E+03t -53.13) i 4(t)= 2.83 Cos( 1.000E+03t-143.13) i 5(t)= 2.83 Cos( 1.000E+03t +36.87) i 6(t)= 2.83 Cos( 1.00
23、0E+03t +36.87),计算机得到的电流为,L13-9 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 10.000 .00000 R 2 1 2 2.0000 M 3 2 0 4.00000E-03 1.00000E-03 4 3 0 1.00000E-03 2.00000E-03 R 5 3 4 .40000 独立结点数 = 4 支路数 = 5角频率 w= 1000.0 rad/s - 任 两 结 点 间 单 口 的 等 效 电 路 - 4 - 0 实部 虚部
24、 模 幅角 Uoc=( 2.000 +j 1.000 ) = 2.236 exp(j 26.57) Z0 =( .5000 +j 1.800 ) = 1.868 exp(j 74.48) Isc=( .8023 +j -.8883 ) = 1.197 exp(j -47.91) Y0 =( .1433 +j -.5158 ) = .5353 exp(j -74.48) Pmax= 2.500 (电源用有效值时)Pmax= 1.250 (电源用振幅值时)* 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,断开负载，用ACAP程序计算单口网络向可变负载传输的最大平
25、均功率的结果如下所示。,计算结果表明，断开负载后的含源单口网络相量模型的开路电压为 ，输出阻抗为 ，当负载阻抗为 时，获得最大平均功率为2.5W。,用计算机程序分析电路时，不需要对电路进行化简，只需将电路连接关系和元件类型和参数告诉计算机，马上就可以得到各种计算结果，与例137和138笔算结果相同。,解: 运行正弦稳态分析程序AC2，输入图1324(b)所示电路数据，可以得到幅频特性和相频特性曲线如下所示。,例1310电路如图1324(a)所示。试画出输出电压uo的频率特性曲线。,图1324,计算表明该电路具有带通滤波特性。,- 求网络的频率特性并画曲线 - - H(jw) = v4 /V1
26、- W(rad/s) | v4 /V1 | (db) Min= -60.90 db Max= -13.62 db 1.000E+01 -4.685E+01 | * 1.778E+01 -4.185E+01 | * 3.162E+01 -3.687E+01 | * 5.623E+01 -3.190E+01 | * 1.000E+02 -2.702E+01 | * 1.778E+02 -2.238E+01 | * 3.162E+02 -1.835E+01 | * 5.623E+02 -1.549E+01 | * 1.000E+03 -1.403E+01 | * 1.778E+03 -1.362E+
27、01 | * 3.162E+03 -1.404E+01 | * 5.623E+03 -1.552E+01 | * 1.000E+04 -1.839E+01 | * 1.778E+04 -2.243E+01 | * 3.162E+04 -2.708E+01 | * 5.623E+04 -3.196E+01 | * 1.000E+05 -3.692E+01 | * 1.778E+05 -4.191E+01 | * 3.162E+05 -4.690E+01 | * 5.623E+05 -5.190E+01 | * 1.000E+06 -5.690E+01 | * * 正 弦 稳 态 分 析 程 序
28、(ACAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,二、用实验方法判断耦合线圈的同名端,前面已经介绍用干电池和电压表确定磁耦合线圈同名端的一种实验方法，其原理是利用互感电压值可能为正和也可能为负的特性，这种方法的缺点是线圈的电感很小时效果不好。我们还可以用以下实验方法来判断磁耦合线圈同名端。(1) 利用耦合线圈互感电压的正负来判断同名端。一般来说，耦合线圈的电压为自感电压和互感电压两项组成，在次级开路的情况下，次级电流恒等于零，此时初级电压只剩下自感电压，次级电压只剩下互感电压，即,互感电压的正号或负号与耦合线圈同名端位置有关。反过来，可以用测量互感电压的正负来判断同名端。例如在图134实验电路
29、中，将干电池接在耦合线圈初级使次级感应一个瞬时的正电压或负电压，用高内阻电压表测量电压的正负，就可以判断出同名端。为了能够观测出瞬时电压的正负，要求耦合线圈的电感量足够大。,将正弦信号发生器的输出电压信号加在耦合线圈的初级，在次级会感应出一个正弦电压信号，由于同名端位置的不同，次级电压相位可能与初级电压的相位相同，也可能相反。反过来，我们用双踪示波器同时观测耦合线圈初级电压和次级电压的相位关系，就可以判断出耦合线圈的同名端。实验电路如图1325所示。,图1325,信号发生器输出一个正弦电压信号，示波器同时观测初级和次级正弦电压波形。显然，当示波器观测到两个正弦波形相位相同时，a点和c点是同名端
30、；当两个正弦波形相位相反时，a点和d点是同名端.,(2) 利用耦合线圈串联电感的大小来判断的同名端。 耦合线圈顺接串联和反接串联的等效电感公式为利用顺接串联比反接串联的等效电感大4M的性质可以判断其同名端。,(2) 利用耦合线圈串联电感的大小来判断的同名端。耦合线圈顺接串联和反接串联的等效电感公式为，利用顺接串联比反接串联的等效电感大4M的性质可以判断其同名端。,图1326,实验电路如图1326所示，我们将信号发生器输出的正弦电压信号加到耦合线圈串联单口网络上，用示波器可以观测到端口的正弦电压，记下电压波形的幅度。,改变耦合线圈串联的连接方式，由于输出电阻Ro的存在和等效电感值的变化，可以观测
31、到电压波形幅度的变化。在耦合线圈顺接串联时，等效电感比较大，电压波形的幅度就比较大；在耦合线圈反接串联时，等效电感比较小，电压波形的幅度就比较小。反过来，可以根据电压波形幅度的大小来判断同名端。例如图1325电路中示波器观测电压幅度比较大时，说明a点和d点是同名端，观测电压幅度比较小时，说明a点和c点是同名端。,还可以利用测量线圈电感的仪器来判断耦合线圈的同名端。例如利用谐振电路特性制成的高频Q表就可以测量线圈的电感和品质因数。根据Q表测量耦合线圈顺接串联和反接串联电感值的大小，就可以判断出同名端。例如等效电感值大时是顺接串联，此时两个线圈的异名端连接在一起；等效电感值小是反接串联，此时两个线
32、圈的同名端连接在一起。实验的具体过程可以参考教材所附光盘中的“耦合线圈的同名端”和“耦合线圈参数测量”实验录像。,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,摘 要 1线性耦合电感磁链与电流的关系可表示为：,在端口电压电流采用关联参考方向时的VCR方程为：,其相量形式的VCR方程为：,耦合电感是一种动态双口元件，由 L1，L2，M三个参数描述。,2耦合电感的电压u1或u2均由自感电压和互感电压两部分组成。其互感电压正比于产生互感电压的电流对时间的变化率，即,相量关系为,当互感电压u2M与电流i1的参考方向，相对同名端是关联方向时取正号，反之则取负号。3耦合电感的串联或并联均等效为一个电感，其电感值分别为：,4耦合电感就其端口特性而言，可用三个电感构成的星形电路等效，也可用二个电感和一个理想变压器组成的电路等效。用等效电路代替耦合电感常可简化电路分析。 5在正弦稳态情况下，端接负载的空心变压器的输入阻抗为：,输入端接电压源时，其输出阻抗和开路电压分别为：,郁金香,
