1、1毕业论文开题报告数学与应用数学应用矩阵的性质求解行列式一、选题的意义高等代数是数学学科中的一门重要的基础课，它在线性规划、离散数学、管理科学、计算机以及物理、化学等学科中也有极为广泛的应用；同时它也是学习相关专业课程的重要语言和工具。矩阵理论是高等代数中的重要内容之一，而在矩阵理论中，方阵是最为重要的研究对象之一，方阵的可逆性在高等代数的许多领域有着举足轻重的作用。在线性方程组的求解，线性空间结构问题，二次型的研究以及欧氏空间等等方面都可见其身影。矩阵的可逆性研究离不开行列式的计算。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是
2、“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵是由一些数组成的有顺序的数表。他们形式上相似，又有密切的联系。利用行列式可以研究矩阵的可逆性，矩阵的秩等问题。矩阵的特征值计算问题也是以行列式为基础。反之，利用矩阵的性质，可以来计算行列式。从而将这两个不同的概念联系在一起，这样就可以解决一些实际问题。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）研究主要内容运用矩阵的性质计算行列式。拟解决的主要内容
3、（一）给出矩阵的相关性质（二）运用矩阵的性质计算行列式。（三）通过对矩阵和行列式的研究来解决生活中的实际问题三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤22835广泛查阅资料，明确选题，明确任务要求。36316撰写开题报告，文献综述。317419撰写论文初稿，翻译两篇外文资料。2420430修改论文，译文，定稿，上交所有相关资料。方法1文献资料法利用网络，书籍，杂志等渠道收集行列式和矩阵的一些性质相关的信息资料，然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。2举例说明法运用矩阵的性质来求解特殊的行列式将问题具体
4、化，易于理解。措施查阅与论题有关的书籍；再则查找相关网页，积累资料。从中心论点出发决定材料的取舍。了解关键论点思想和国内外对有关该课题学术研究的最新动态以及研究中存在的还有待于研究的其他问题。最后综合运用各方面资料完成本论文。四、毕业论文（设计）提纲1矩阵和行列式的相关定义。2矩阵和行列式的相关性质。3将矩阵的性质运用到行列式计算中。五、主要参考文献【1】北京大学数学系几何与代数小组教研室前代数小组高等代数（第三版）M高等教育出版社，2003。【2】王品超，高等代数新方法。山东教育出版社。【3】陈黎钦，关于求解行列式的几种特殊的方法。2007第1期，P9598【4】刘和义,玉强矩阵特征值的一种
5、新型求法J衡水学院学报,201001009，P5358（01）【5】冯俊艳，马丽。讨论矩阵的特征值与行列式的关系J价值工程，2010第11期。（11）【6】石华，矩阵在高等代数中的应用J黑龙江科技信息，2010年31期，P8596（05）【7】韩宝燕，行列式的计算方法与应用J科技信息，2010年第三期，P5661（03）【8】薛利敏,舒尚奇利用行列式性质求矩阵的特征值J，渭南师范学院报，2010年Z5期P5660（02）【9】王作中，行列式的计算方法与技巧J，民营科技，2010年第8期，P3439，（08），【10】林谨瑜，分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用。第15卷，总第58期，P1
6、091123毕业论文文献综述数学与应用数学应用矩阵的性质求解行列式1本课题的研究意义高等代数历来作为数学系各个专业的重要基础课，它在线性规划、离散数学、管理科学、计算机以及物理、化学等学科中也有极为广泛的应用；同时它也是学习相关专业课程的重要语言和工具。矩阵理论是高等代数中的重要内容之一，而在矩阵理论中，方阵是最为重要的研究对象之一，方阵的可逆性在高等代数的许多领域有着举足轻重的作用。在线性方程组的求解，线性空间结构问题，二次型的研究以及欧氏空间等等方面都可见其身影。矩阵的可逆性研究离不开行列式的计算。在行列式的计算中，当行列式转换成上三角行列式或者是下三角行列式，对角行列式和特殊行列式时计算
7、就会会相对来说简单，于是在计算行列式时就尽量将其转化成三角型行列式，行列式的计算还有其他很多算法降阶法，加边法，数学归纳法，按一行或一列展开法还有些特殊的行列式还可以通过范德蒙公式来计算。在行列式的计算中，运用了大量的矩阵的性质（矩阵的加法，减法，乘法，数乘，还用到了矩阵的分块，矩阵的秩）将行列式转换成三角型行列式。所以本文从行列式和矩阵的相关性来阐述，运用矩阵的相关性质来求解行列式，以达到简化行列式，是复杂问题简单化，从而解出行列式。2目前国内、外的研究现状行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书
8、里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。早在17世纪和18世纪初行列式就在解线性方程组中出现，1772年法国数学家范德蒙首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外进行研究，到了19世纪，是行列式理论形成和发展的重要时期，19世纪中叶出现了行列式的大量定理。矩阵最早来于方程组的系数及常数所构成的方阵，这一概念由19世纪英国数学家凯利4首先提出，林谨瑜运用分块矩阵的若干性质来解决行列式的计算。当然一切数学理论都要运用到实际，行列式解法在实际应用中也起着一定的作用,在图书流通管理中可应用
9、广义范德蒙行列式的纵向思维过程关于WJAVE5数学特技机载电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙行列式的统计运算功能目前许多行业,如饲料工业的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探究、计算机辅助教学课件的应用分析等等,都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙行列式在内的一系列新的基础数学理论,以精确可靠的理论数据进行可维护性的实践操作但是我们对这方面的研究还是很不足的,深入研究广义范德蒙行列式的计算方法仍是今后我们要探究的问题法国数学家笛卡儿有一个期望，他希望“一切问题都可以归为数学问题”，有很多问题都可以归为行列式解法问题，最后把问题简便、明确的解决掉3本课题研究方
10、向和重点本文主要从研究行列式和矩阵悠久的历史，通过矩阵的基本运算，矩阵乘积的行列式与秩和矩阵的分块等研究来计算行列式。主要介绍的证明思路和方法介绍矩阵和行列式的相关定义，研究矩阵的各种性质和了解行列式的性质和计算，然后再通过的矩阵的性质来求解行列式。解决的主要问题（一）对行列式和矩阵作一个简单介绍，给出矩阵的相关性质（二）对行列式的计算和矩阵的性质做较系统的研究，通过矩阵的相关性质来求解行列式。（三）通过对矩阵和行列式的研究来解决生活中的实际问题，给我们生活带来方便。4本课题研究所存在的问题在本文中会很少阐述拉普拉斯定理，行列式的乘法规则，矩阵的不变因子，矩阵的相似的条件，若而当标准形等，虽然
11、在行列式的计算时，我们可以将行列式转换成三角型行列式，但是在行列式中还有一大部分不能转换成三角型行列式，在计算的过程中计算量非常大，对一些高阶的行列式的计算仍然还有很多问题没解决，所以我们只能解决一小部分的行列式。5参考文献1北京大学数学系几何与代数小组教研室前代数小组高等代数（第三版）M高等教育出版社，2003。2王品超，高等代数新方法。山东教育出版社。53陈黎钦，关于求解行列式的几种特殊的方法。2007第1期，P95984刘和义,玉强矩阵特征值的一种新型求法J衡水学院学报,201001009，P5358（01）5冯俊艳，马丽。讨论矩阵的特征值与行列式的关系J价值工程，2010第11期，（1
12、1）6石华，矩阵在高等代数中的应用J黑龙江科技信息，2010年31期，P8596，（05）7韩宝燕，行列式的计算方法与应用J科技信息，2010年第三期，P5661，（03）8薛利敏,舒尚奇利用行列式性质求矩阵的特征值J，渭南师范学院报，2010年Z5期P5660（02）9王作中，行列式的计算方法与技巧J，民营科技，2010年第8期，P3439，（08）10林谨瑜，分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用。第15卷，总第58期，P1091126（20_届）本科毕业设计数学与应用数学应用矩阵的性质求解行列式78目录1运用与可逆矩阵有关的特殊加法计算式211利用11AAA计算行列式212利用112
13、221ABBAEBAB求解行列式42运用矩阵的乘积行列式性质的计算行列式53分块矩阵的若干性质在行列式计算中的应用64矩阵的特征值在行列式计算中的应用109应用矩阵的性质求解行列式摘要矩阵的性质和行列式的计算是高等代数中最重要的两个组成部分,是解决其他高等代数问题的基础,具有较为广泛的应用本文探讨运用矩阵的性质进行行列式的计算,并初步探讨运用矩阵乘法,矩阵的分块和矩阵的特征值等性质计算行列式关键词矩阵行列式分块矩阵特征值在高等代数的学习中,行列式是其一个重要的工具计算行列式的方法很多,但具体到一个行列式,要针对其特征,选取适当的方法,才能提高解题的效率行列式与矩阵是不同的两个概念,但他们又是密
14、切相关的本文就运用矩阵的性质,探究行列式的一些计算方法1运用与可逆矩阵有关的特殊加法计算行列式对于一些可以表示成可逆矩阵与特殊矩阵的和的方阵的行列式,如可逆矩阵与秩1矩阵的和,或可逆矩阵与22NN矩阵的和等形式矩阵的行列式,可以运用一些特殊的公式来计算11利用11AAA计算行列式；定理1设A是N阶可逆矩阵,和是两个N维列向量,则有11AAA证明由11111AOAAAOEN,得到1101AAA11AA10由111OAOEAN得到01AA结论得证例1计算行列式0231031201230NNDN解112011201DNN令1200AN,11,12N得1111NAAANN例2计算N阶行列式NAABAB
15、ABABAABABDABABAABABABABA解220200NBBBABABABBBABABABDBABABAB22021100BBBABBBABBAB,1）B0时,0,1,1,NNDAN112）设0B,令220200BBBBBAB,12112122121201000NNBBBBABBBB,ABABAB,111得1,NNNABNDBN为奇数时，为偶数时例3计算D2212211212121111NNNNNAAAAAAAAAAAAAAA解D121231000010000000001NAAAAAA1211NNAAAAA211NIIA类似的题目还有NNNNAXXXXAXXXXAX21221211,2
16、22212222122221NNNAXAAAAXAAAAX等均可以用该方法计算12利用112221ABBAEBAB求解行列式定理2设A为N阶可逆矩阵,1B为2N矩阵,2B为N2矩阵,则有12112221ABBAEBAB证明方法与定理1类似,故此省略例4设10NIIA,计算行列式12121212000NNNNAAAAAAAADAAAA解11112122122212222NNNNNNNAAAAAAAAAAAAAADAAAAAAA112212212111121NNNAAAAAAAAA令12222NAAAA,121111NAABA,212111NBAAA,记2E是二阶单位阵,112221ABBAEBA
17、B22,1122NNNIIIJIJAANA例5计算行列式2212211212121111111NNNNNAAAAAAAAAAAAAAAD解1111111112121NNAAAAAAD,令111,11121NAAABA,13则有111|121212NIINIINAANNBABEABBAD例6计算121212111111NNNNAAAADAA解112212100110101111100111NNNNAAAAADA1）110NIIIA，令1122100010001NNAAAA,111111B,12111NAAAC,故12DAECAB1111NIIIAA21211NIIIIAA11211NNIIIIA
18、A11NIIIA121IIA,而111NIIIIIJDAA，这时（1）同样适合，因而（1）为计算公式2运用矩阵的乘积行列式性质的计算行列式定理3A,B是两个N级方阵,则有ABAB14例7计算行列式ABCDBADCDCDABDCBA解取行列式1111111111111111H,显然0H,由矩阵乘法的行列式性质有1111111111111111ABCDBADCDHCDABDCBAABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDHDCBADCBADCBADCBA等式两边消去H,得DCBADCBADCBADCBAD例8计算
19、4阶行列式4ABCDBADCDCDABDCBA解因为2444ABCDABCDBADCBADCDDDCDABCDABDCBADCBA000000000000FFFF,其中422222222FABCDABCD,所以22224DABCD，但行列式4D中4A的系数为1,故222224DABCD例9计算行列式15DNNNNNNNNNNNNNNNBABABABABABABABABA101110101000解在行列式中,每一个元素都可以利用二项式定理展开,变成乘积的和据行列式的乘法规则,D21DD其中NNNNNNNNNNNNNNNACACCACACCACACCD1011110010101,111111101
20、02NNNNNNNNBBBBBBD对2D进行的行的交换,就是得到范德蒙行列式,于是NNNNNNNNNNNNNNNNBBBBBBAAAAAACCCDDD1010211100212111111111021021NIJIINNNIJIINNNNBBAACCC3分块矩阵的若干性质在行列式计算中的应用性质1设矩阵A是由如下分块矩阵组成123123123AAAABBBCCC其中123123123,AAABBBCCC都是SS矩阵,又M是任一S阶方阵对于矩阵123112233123AAADBMCBMCBMCCCC则AD证明由00000SSSEEME123123123AAABBBCCC123112233123A
21、AABMCBMCBMCCCC16其中SE是S阶单位矩阵,对上式两边同时取行列式得AD性质2设方阵A是由如下分块组成123123123AAAABBBCCC其中123123123,AAABBBCCC都是矩SS阵,又M是任一S阶方阵对于矩阵则BMA证明设SE为S阶单位矩阵,则123123123000000SSEAAABMBBBECCC000000SSEMAE于是123123123AAABBBBACCCSSEMEAMA本性质可以通过性质1的例子同样也以得到性质3设方阵A和B写成如下形式123123123AAAABBBCCC123123123BBBBAAACCC其中123123123,AAABBBCCC
22、都是S级矩阵。则,ASBA当为偶数时，当S为奇数时证明A可由B中的123,BBB，和123,AA，A相应的两行对换而得到,而对换行列式的两行,行列式反号,故当S为偶数时,BA,当S为奇数时,BA可以证明,对于一般的分块矩阵也具有相同的性质这些性质同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用推论1设,AB都是N阶方阵,则有123123123AAABMBMBMBCCC17ABAB证明作N2阶行列式,0ABACE由拉普拉斯展开定理得CABEAB又由性质1并应用于列的情况,有00100NABAABABAAAEEBEBEEB11NNABAB因此有|BAAB推论
23、2设,AB都是N阶方阵,则有|ABABABBA证明根据性质1并应用于列的情况,有ABBAABBBAA0ABBABABAB例10计算行列式0000XYZXZYDYZXZYX解这个行列式看似简单,但如果方法选择不当,做起来并不轻松设00XAX,YZBZY由推论2知ABDBAABABYXZXZYYXZXZY2222YXZYXZZXYZXYZXYZXY例11计算2N阶行列式18000000000000000000000000ABABABDBABABA解令A0000000000000AAAAB0000000000000BBB则ABDBAABAB00000000ABABBA00000000ABABBABA
24、NNABAB22NAB推论3设A,B,C,D都是N阶方阵,其中0A,并且ACCA,则有ABCDADCB证明根据性质1,因为1A存在,并注意到ACCA,用1CA乘矩阵ABCD的第一行后加到第二行中去得110ACABDCAB从而ABCD110ACABDCAB1ADCAB11ADACABADCAABADCB例12计算行列式193112243410230114P解设ABPCD,其中,A3124,B1234,C1001,D2314由计算知A100且ACCA所以PADCB3123101224140134611518534矩阵的特征值在行列式计算中的应用定义设A是N阶方阵,若存在N维非零向量X使AXX，则称
25、为A的特征值,并称此非零向量X为A的属于的特征向量如果N阶方阵A的N个特征值为12,N,则12NA一般地，如果N阶方阵A的N个特征值为12,N,设EAAAAAAAAFMMMM1110，则AF的特征值为,21NFFF，因此|21NFFFAF例12设TA，其中为三维列向量，且2T，计算|NAE解由2TTA可知，A的一个特征值为2，为相应的特征向量取与正交的两个线性无关的向量21,，则有01TTA，类似有02A，因此21,为A得对应于特征值0的两个线性无关特征向量，0为A得二重特征值A的特征值为2,0,0，于是NAE的特征值为1,1,21N因此NNAE21|例13矩阵的特征值与特征向量计算三线形行列
26、式设00000000000000NABCABCADABCA20解按第一行展开得12NNNDADCBD，为求ND的通项变成21NNNDADCBD现在利用矩阵的工具来求ND的通项,根据,2,11112NDDCBDADDNNNNN（2）令211NNNDBD,1NNNDBD,10ACBA那么（2）可以写成1NNBAB（3）由（3）式递推可得11NNBAB（N2,3,N）4其中21ACBBA这样求ND的问题就转化求NB的问题,因而转化为求1NA的问题,如果A可对角化,即存在可逆矩阵P使得,1PAPD（对角形）,就可以算出111NNAPDP由于1ACBEA20ACB得A的特征值2142AACB,2242A
27、ACB（1）若24ACBI240ACB,则A有两个不相同的复特征根1,2在复数域上相应于1与2的特征向量分别为12,XX取12,PXX且P可逆于是就有11112200NNNAPP所以111NNNNDAAAD就可以求出ND,如果A限制在实数域上,A有复特征根,这里A不能对角化21II当240ACB,则A有两个不相等的特征值,则A可对角化,按I）在复域上的情况可以得出ND（2）若240ACB,这时A有重根,如果A两个线性无关的特征向量,则A可对角化,若只有一个特征向量,这时可利用相似变换,把A化若当标准形1110,可以算出1NA,即可以求出ND例14计算N阶行列式95000495000490000
28、09500049ND解例13中0180814,5,4,92BCACBA，因此92010A，1619B2920920541EA所以A的特征值为15，24对应于特征值15，代入齐次线性方程组0EAX即1212420050XXXX的基础解系为51，对应于特征值24，代入齐次线性方程组0EAX，即1212520040XXXX的基础解系为41，以51及41为列作一个矩阵5411P，则P的可逆且为11415P于是11N111200NNNAP11541450111504NN22111544554544554NNNNNNNN1NNDD111544554544554NNNNNNNN619121154NN所以11
29、54NNND，N1,2，例15计算2100012100012000002100012ND解例13中04,1,22BCACBA，2110A,132B矩阵A特征值1（二重），并且属于特征值1的只有一个线性无关的特征向量，A不能对角化，但可以相似变换方法求ND的通项令2111X，且X可逆1XAX121112110211111122110211110111且110101111NN由（1）式得12121102110111111于是得到1112121102110111111NN211011111112N112NN1NNDD11NAB112NN3221NN所以NDN1,N1,2,都成立23参考文献1北京大学
30、数学系几何与代数小组教研室前代数小组高等代数（第三版）M高等教育出版社,20032王品超,高等代数新方法。山东教育出版社。3陈黎钦,关于求解行列式的几种特殊的方法福建商业高等专科学校学报20071（01）,P95984刘和义,玉强矩阵特征值的一种新型求法J衡水学院学报,201001009（01）,P53585冯俊艳,马丽。讨论矩阵的特征值与行列式的关系J价值工程,201011（11）,P60646石华,矩阵在高等代数中的应用J黑龙江科技信息,201031（05）,P85967韩宝燕,行列式的计算方法与应用J科技信息,20103（03）,P56618薛利敏,舒尚奇利用行列式性质求矩阵的特征值J,
31、渭南师范学院报,2010Z5（02）P56609王作中,行列式的计算方法与技巧J,民营科技,20108（08）,P343910林谨瑜,分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用,2010915,P109112CALCULATEDETERMINANTBYPROPERTIESOFMATRIXABSTRACTTHEPROPERTIESOFMATRIXANDTHECALCULATIONOFDETERMINANTAREVERYIMPORTANTPARTINHIGHERALGEBRA,THEYBECOMETHEBASISINRESOLVINGOTHERPROBLEMINADVANCEDALGEBRAINTHISPAPER,WEEXPLORETHECALCULATIONOFDETERMINANTBYUSINGTHEPROPERTIESOFMATRIX,THESEPROPERTIESINCLUDINGTHEMULTIPLICATIONOFMATRIX,PARTITIONINGOFMATRIXANDEIGENVALUESOFMATRIXKEYWORDSMATRIX,DETERMINANTBLOCKMATRIXEIGENVALUE
