1、第七章 状态空间描述法,7.1 线性系统的状态空间描述,7.2 状态方程求解,7.3 可控性与可观测性,7.4 状态反馈与状态观测器,End,控制理论的发展,经典控制论：,现代控制论：,大系统理论、智能控制理论：,时间：本世纪30-50年代对象：线性定常，单输入输出系统方法：传递函数，频域特性,时间：本世纪50-70年代对象：时变、离散、非线性的多输入输出系统方法：时域，线性代数，状态空间,时间：本世纪60年代末-今对象：复杂系统，交叉学科，生医、信号处理、软件算法方法：人工智能，神经网络，模糊集，运筹学,现代控制论的 五个分支：,建模和系统辨识最优滤波理论最优控制自适应控制,线性系统理论,线
2、性系统理论是现代控制论的基础最完善，技术上较为成熟，应用最广泛的部分主要研究线性系统在输入作用下状态运动过程的规律和改变这些规律的可能性与措施建立和揭示系统的结构性质、动态行为和性能之间的关系主要研究内容包括状态空间描述、能空性、能观性和状态反馈、状态观测等,现代控制论 VS 经典控制论,经典控制论,以微分方程或传递函数为描述系统动态特性的数学模型常采用频域分析法分析系统特性表达系统输入与输出之间的关系只描述系统的外部特性，不反应内部各物理量的变化仅仅考虑零初始条件，不足以揭示系统全部特性,现代控制论,采用状态空间表达式作为系统的数学模型用时域分析系统输入、输出与内部状态之间的关系状态空间表达
3、式是一阶矩阵-向量微分方程组揭示系统内部的运动规律，反应系统动态特性的全部信息,7.1. 状态和状态空间基本概念,(5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：,(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：,(7) 状态空间表达式： (5)+(6).,(4) 状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,7.1. 状态和状态空间,1. 先看一个例子： 例7.1 试建立图示电路的数学模型。,思考和第二章建模的区别,“经典”是高阶微分，一个方程，无中间变量“现代”是一阶微分，一个方程组，有中间变量,经典控制论中：n阶系统 n阶微分方程 只是输入与输出
4、的关系，无中间变量现代控制论中：n阶系统 n个一阶微分方程 体现输入，输出与各个中间变量的线性关系,在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记,转换成矩阵方程,一阶矩阵微分方程式,7.1. 状态和状态空间基本概念,(1) 状态：,系统过去、现在和将来的状况,(2) 状态变量：,能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：,表示系统在 时刻的状态,若初值 给定， 时的 给定， 则状态变量完全确定系统在 时的行为。,淡化了输出的概念，都归结为状态变量已知输入及所有状态变量，就能刻画整个系统,如上例中, 为系统
5、的状态向量， 为状态变量。,(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即,7.1. 状态和状态空间基本概念,(5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：,(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：,(7) 状态空间表达式： (5) (6).,(4) 状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,求上述RLC电路的状态空间表达式,状态方程,输出方程,状态空间表达式,其中,状态空间表达式就是用状态向量将状态方程和输出表示出来,求上述RLC电路的状态空间表达式,状态空间表达式,状态空间表达式,1)选取 n个状态变量；确定输入、输出
6、变量；,建立状态空间表达式的步骤,状态变量、输入变量、参数,输出变量、状态变量、输入变量、参数,2)根据系统微分方程列出n个一阶微分方程；,3)根据系统微分方程，列出m个代数方程。,结论：(1)状态变量选取具有非唯一性。状态变量个数系统的阶次；,(2)状态变量具有独立性；,(3)不同组状态变量之间可做等价变换线性变换。,三. 状态变量的选取,1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc 、质量m 的速度v 等
7、。,系统的状态变量选取是不唯一的（对应空间的基不唯一）不同组状态变量对系统的表达形式不同变量的个数是唯一的，等于系统的阶数（空间的维度）,例7.3 已知系统微分方程组为,其中，ur 为输入，uc 为输出，R1、C1、 R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。,解：,选,写成向量矩阵形式：,四. 状态空间表达式,1. 单输入单输出线性定常连续系统,SISO系统中，y和u是标量MIMO系统中，y和u是向量,所有状态分量的一阶导是其他状态分量与输入的线性组合,2. 一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）,3. 线性定常系统状态空间表达式,不管X再怎么状态改变，输出只与状态变量有关，与状态
8、变量的改变无关,五. 线性定常系统状态空间表达式的建立,1. 方法:机理分析法、实验法 2. 线性定常单变量系统(单输入单输出系统) (1) 由微分方程建立, 在输入量中不含有导数项时：,微分方程有几阶，就有几个状态变量,写成向量-矩阵形式,例7.4 已知系统微分方程为,列写系统的状态空间表达式。,解：选,反过来，已知状态空间表达式，求传递函数, 输入量中含有导数项时：转为传递函数法,设控制系统由下列 n 阶微分方程来描述,这时，不能简单地把 选作状态变量，即不能采用上述的方法。因为采用上述方法化成一阶微分方程组,这样，最后一个方程中包含了输入信号 的各阶导数，系统将得不到唯一解。, 输入量中
9、含有导数项时：转为传递函数法,手段：引入变量，改变方程组形式目标：生成的状态方程组右边不能有u的导数方法：, 可控规范型实现, 能观测规范型实现, 对角线规范实现, 约当规范型实现,不同的状态变量选取方法获得的对系统不同的表示方式, 可控规范型实现,分子阶数小于分母阶数,传递函数多项式表达形式,反拉普拉斯,和前面一致,令状态变量,B）bn0,分子分母同阶,与上面做法相同,例7.5 已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现,解: 由bn=b3=0,对照标准型,可得实现为,例7.6 已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现,解: 由bn=b30, 对照标准型,总结：能控标准型实现,写成状态方程
10、和输出方程,正常情况下，nm。,分母首位系数为1,例 已知系统的传递函数为,试求出其对应的能控标准型。,解:,首先把G(s)分母中s最高次项系数变成1,用2除G(s)的分母与分子,得,直接写出系统的能控标准型:,与能控规范型关系： A*=AT，B*=CT，C*=BT, 能观测规范型实现,能控标准型和能观测标准型：其系数矩阵互为转置关系,而前者的b为后者的CT,前者的CT为后者的b。具有这种结构关系的称为互有对偶关系。,例7.7 已知系统的传递函数为,试求其能观测规范型实现。,反过来，已知状态空间表达式，求传递函数, 对角线规范实现,重点在于 ， 与传递函数系数之间的关系,结构图,信号流图,解：
11、,则对角线规范型实现为,的对角线规范型实现，并画出系统状态图 。,例7.8 求, 当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点, 约当规范型实现-特征方程有重根时,对角块,约当块, 约当规范型实现-特征方程有重根时,例7.9,由状态空间表达式求传递函数,已知,其取拉式变换：,例如：某系统的状态方程为：,求其传递函数,7.2 状态方程求解,线性定常连续系统,1. 齐次状态方程的解,（1） 幂级数法设解为：, 拉氏变换法,由 两边取拉氏变换， 得 SX(s)-X(0)=AX(s) (SIA)X(s)=X(0) X(s)=(SIA)-1.X(0)两边取拉氏反变换 x(t)= L-1X(s)= L-1(
12、SI-A)-1 X(0) = L-1 (SI-A)-1 X(0)比较前式，有eAt= L-1 (SI-A)-1, 状态转移矩阵的运算性质,(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+ (0)=I初始状态,(2), (t1t2)=(t1)(t2) =(t2)(t1) - 线性关系 -1(t)=(-t)， -1(-t)=(t) - 可逆性 x(t)=(t-t0)x(t0) x(t0)=(t0)x(0),则 x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0) =(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0) = e (
13、t2-t1)Ae(t1-t0)A 可分阶段转移, (t)k =(kt) e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA) e(A+B)teAt.eBteBt.eAt (ABBA) 引入非奇异变换 后， 两种常见的状态转移矩阵,例7.13 设有一控制系统，其状态方程为,在t0=0时，状态变量的初值为x1(0) x2(0) x3(0), 试求该方程的解。,试求A及(t) 。,例7.14 设系统状态方程为,解方程组得， 11(t)=2e-t e-2t, 12(t)= 2e-t2e-2t 21(t)=-e-t +e-2t, 22(t)=-e-t+2e-2t,例7.15 设系统运动方程为,
14、式中a、b、c均为实数，试求： 求系统状态空间表达式。 求系统状态转移矩阵。,2. 非齐次状态方程 的解, 直接法（积分法）,(2) 拉氏变换法,sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s) (sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s) x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则 x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s) (由eAt=-1(sI-A)-1可得),例7.16 在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。,例7.17 设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下,所示。试用状态空间法对系统进行分析 。,解：由图,7.
15、3 可控性与可观测性,本章主要内容：线性定常系统的可控性的定义及判别线性定常系统的可观测性的定义及判别可控性与可观测性的对偶原理可控标准型和可观测标准型,可控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）,可观性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）,7.3 可控性与可观测性,能控性和能观性是现代控制论中的两个重要的基本概念,现代控制论建立在状态空间描述的基础上,状态方程：输入u(t)引起的状态x(t)的变化过程,输出方程：状态变化对输出的影响,能控性：分析u(t)对状态x(t)的控制能力能观性：分析y(t)对状态x(t)的反应能力,-（控制
16、问题）,-（估计问题）,例2-1：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。,可以控制,无法反映,系统完全可控！,系统不完全可观！, 设线性定常连续系统的状态空间表达式为：,如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔to,tf内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf) ，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。,二、定义,1. 可控性定义,三、可控性与可观测性判据,系统在稳定输入u(t)作用下，对任意初始时刻to ，若能在有限时间间隔to,tf之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值和输入u(t)，唯一地确定
17、系统在to时刻的状态x(to) ，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。,2. 可观测性定义,可控规范型：,1. 可控性判据,线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵： 必须满秩。即 （n为系统维数）,判据一：,试判别其状态的可控性。,解：,例7.18 设系统状态方程为：,系统可控！,设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：,中， 阵不包含元素全为零的行。,判据二:,例7.19 已知三阶二输入系统状态方程, 试判别其状态的可控性。,解：,不可控！,例7.20 试确
18、定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。,例7.21 试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。,中，与每个约当小块 的最后一行相对应 的 阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,约当规范型,判据三：,判据一: 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵:,2. 可观测性判据,必须满秩，即 rankQo=n（n为系统维数）,可观测规范型：,例7.22 已知系统的A, C阵如下，试判断其可观性。,例9.23 试判别如下系统的可观测性。,解：,解：,的矩阵 中不包含元素全为零的列。,设线性定常连续系统具有不相等的特征值
19、, 则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型:,例7.24 试判别以下系统的状态可观测性.,判据二:,中,与每个约当块 首行相对应的矩阵 中的那些列,其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立)。,约当规范型,判据三:,例7.25 试判别下列系统的状态可观测性。,1）可控可观测的充要条件： 由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。 2）可控的充要条件： (SI-A)-1b不存在零极点对消。 3）可观测的充要条件： c(SI-A)-1不存在零极点对消。,四、 能控能观性与传递函数的关系,例7.26 判断以下系统的状态可控性与可观测性。,1
20、. 单输入单输出系统,例7.27 系统传递函数如下，判断其可控性与可观测性。,2. 多输入多输出系统,1）可控的充要条件： (SI-A)-1B 的n行线性无关。2）可观测的充要条件： C(SI-A)-1 的n列线性无关。,例7.28 用两种方法验证：系统（1）的状态可控性；系统（2）的状态可观测性。,例7.29,五、对偶原理,设系统 S1(A1,B1,C1) 与系统 S2(A2,B2,C2) 互为对偶系统，则:,若系统S1(A1,B1,C1)可控，则系统S2(A2,B2,C2)可观测；若系统S1(A1,B1,C1)可观测，则系统S2(A2,B2,C2)可控；证明：,六、线性系统的规范分解*,例
21、7.30 判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。,线性系统可分解为四种系统：,能控 能观测1 2. 3. 4. ,1. 能控性规范分解,定理 n 阶系统(A,B,C)，rankQc=kn，则通过非奇异变换,可导出原系统按能控性规范分解的新系统 (Ac , Bc , Cc)，有,为能控子系统。,5-3, Tc的求法：,i) 从QC中任选k (rankQC=k) 个线性无关的列向量，它为Tc的前k列：V1, V2, , Vk ； ii) 在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1, Vn , 需使得：,为非奇异。,设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。,例7.
22、31,解 系统能控性判别阵,rankQc=2n=3 ,所以系统是不完全能控的。,其中Tc3是任意的，只要能保证Tc非奇异即可。变换后的系统的状态空间表达式,即,能控子系统为,为能观测子系统。,可将原系统变换为按能观测规范分解的新系统 (Ao , Bo , Co)，有,5-4,定理 n 阶系统(A, B, C)， rankQo=rn，通过非奇异变换，,xo为r 维能观测状态分量；,是（n-r）维不能观测的状态分量。,2. 能观测性规范分解, To-1的求法:,i) 从Qo中任选r(rankWo=r)个线性无关的行向量，作为To-1的前r 个行向量。 ii) 在Rn中再选（n-r）个行向量，构成T
23、o-1，并使To-1为非奇异。 例7.32 设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全能观测，试将该系统按能观测性进行分解。,解 系统能观测性判别阵,rankQo=2n,所以系统是不完全能观测的。,即,变换后的系统的状态空间表达式,能观测子系统为,3. 线性系统的规范分解,引理 系统(A, B, C)完全能控且完全能观测的充要条件是：,证明 能控的充要条件：rankQc=n 能观的充要条件：rankQo=n 又由Sylvester不等式：,其中，,因此，系统完全能控且完全能观测，则必有,定理 不完全能控、不完全能观测的n阶系统(A, B, C),则可通过非奇异变换 ,将原系统(A, B, C
24、)变换为按能控性和能观测性规范分解的系统（Aco,Bco,Cco）有：,能 控 能观测 ,为能控且能观测子系统。,5-5,按能控性和能观测性进行规范分解的步骤:,是状态不完全能控和不完全能观测的，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解。,可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行结构分解，但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。下面介绍一种逐步分解的方法。 (1) 先将系统按能控性分解； (2) 将不能控的子系统按能观测性分解； (3) 将能控的子系统按能观测性分解； (4) 综合以上三次变换，导出系统同时按能控性和能观测性进行结构分解的表达式。 例7.33 已知系统,解 前例已将该系统按能控性分解,不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。将能控子空间按能观测性进行分解。,即,综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性分解为,本 节 总结,1.系统状态空间表达式2.从系统的传递函数建立状态空间表达式3.从系统的状态空间表达式建立系统传递函数4.从系统的状态空间表达式分析系统的能控性和能观性,
