1、 - 1 - 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3至 10 页，共 150 分，考试时间 120 分钟 第 卷 （选择题 共 50 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式： 三角函数的和差化 积公式 )s in () s in (21c o ss in )s in
2、() s in (21s inc o s )c o s () c o s (21c o sc o s )c o s () c o s (21s ins in 正棱台、圆台的侧面积公式 lccS )(21 台侧 其中 c、 c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 球体的体积公式 334 RV 球 其中 R 表示球的半径 - 2 - 一、选择题：本大题共 10 小题，第小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 （ 1）设集合 0lo g,01 22 xxBxxA ，则 A B 等于 （ A） 1 xx （ B） 0 xx （ C） 1 xx （
3、D） 11 xxx 或 （ 2）设 ,)21(8,4 5.1341.029.01 yyy ，则 （ A） 213 yyy （ B） 312 yyy （ C） 321 yyy （ D） 231 yyy （ 3）“ 2 3cos ”是“ Zkk ,652 ”的 （ A） 必要非充分条件 （ B）充分非必要条件 （ C）充分必要条件 （ D）既非充分又非必要条件 （ 4）已知 、 是平面， m、 n 是直线下列命题中不正确的是 （ A） 若 m ， =n，则 m n （ B）若 m n， m ，则 n （ C）若 m ， m ，则 （ D）若 m ， m，则 （ 5）如图，直线 l： 022 yx
4、过椭圆的左焦点 F1和一个顶点 B 该椭圆的离心率为 （ A） 51 （ B） 52 （ C） 55 （ D） 552 （ 6）若 z C 且 |z 2 2i| 1，则 |z 2 2i|的最小值是 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 7）如果圆台的母线与底面成 60角， 那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 - 3 - （ A） 2 （ B） 23（ C） 332（ D） 21（ 8）若数列 na 的通项公式是 ,2,1,2 3)1(3 na nnnn ，则 ).(lim21 nn aaa 等于 （ A） 241 （ B） 81 （ C） 61 （ D） 21 （ 9
5、）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ A） 24 种 （ B） 18 种 （ C） 12 种 （ D） 6 种 （ 10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 1， 2， k规定：同意按“ 1”，不同意（含弃权）按 “ 0”令 号同学当选，号同学不同意第第 号同学当选，号同学同意第第 ji jia ij ,0 ,1 其中 i 1， 2， k且 j 1， 2， k则同时同意第 1， 2 号同学当选的人数为 （ A） kk aaaaaa 2222111
6、211 . . . . . （ B） 2221212111 . . . . . kk aaaaaa （ C） 2222211211 . kk aaaaaa （ D） kk aaaaaa 2122122111 . 第 卷 （非选择题 共 100 分） 注意事项： 1第卷共 9 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 - 4 - 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 （ 11）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 _ （ 12）函数 )1lg()( 2xxf ， |2)( xxg ， xxh 2tan)
7、( 中， _是偶函数 （ 13）以双曲线 1916 22 yx 的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是_ （ 14）将长度为 1 的铁 丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 15）（本小题满分 13 分） 已知函数 xxxxxf 22 s inc o ss in2c o s)( （）求 )(xf 的最小正周期； （）求 )(xf 的最大值、最小值 （ 16）（本小题满分 13 分） 已知数列 na 是等差数列，且 .12,2 3211 aaaa
8、 （）求数列 na 的通项公式； （）令 nnn ab 3 ，求数列 nb 前 n 项和的公式 - 5 - （ 17）（本小题满分 15 分） 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 BC 的中点， AB （ A） （）求证： A1D B1C1； （）求点 D 到平面 ACC1的距离； （）判断 A1B 与平面 ADC1的位置关系，并证明你的 结论 （ 18）（本小题满分 15 分） 如图， A1、 A 为椭圆的两个顶点， F1、 F2 为椭圆的两个焦点 （）写出椭圆的方程及其准线方程； （）过线段 OA 上异于 O， A 的任一点 K 作 OA的垂线，交椭圆于 P， P1两点点，直
9、线 A1P 与 AP1交于点 M - 6 - 求证：点 M 在双曲线 1925 22 yx 上 （ 19）（本小题满分 14 分） 有三个新兴城镇，分别位于 A， B， C 三点处，且 AB AC 13km， BC 10km今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建 在 BC 的垂直平分线上的 P 点处（建立坐标系如图） （）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小，点 P 应位于何处？ （）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小，点 P 应位于何处？ （ 20）（本小题满分 14 分） 设 )(xfy 是定义在区间 1， 1上的函数，且满足条件： - 7 - （） 0)1()1( ff ；
10、（）对任意的 u， v 1， 1，都有 |)()(| vfuf | vu （ ）证明：对任意的 x 1， 1，都有 1x )(xf x1 ； （）判断函数 1,0,1 ,)0,1,1)( xx xxxg是否满足题设条件； （）在区间 1， 1上是否存在满足题设条件的函数 )(xfy ，且使得对任意的 u，v 1， 1，都有 |)()(| vfuf | vu 若存在，请 举一例；若不存在，请说明理由 - 8 - 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学参考答案（文史类） 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 （ 1） （ 2） D （ 3） A （
11、 4） A （ 5） D （ 6） B （ 7） C （ 8） B （ 9） B （ 10） C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 （ 11） （ 12） )(,)( xgxf （ 13） )4(362 xy （ 14） 44 三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 15）本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识；考查运算能力满分 13 分 （）解：因为 xxxxxf 22 s inc o ss in2c o s)( .)42c o s(22sin2c o sxxx 所以 )(xf
12、 的最小正周期 22T （）解：因为 ,)42c o s (2)( xxf 所以 )(xf 的最大值为 2 ， 最小值为 2 （ 16）本小题主要考查等差、等比数列等基本知识；考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力满分 13 分 （）解：设数列 na 的公差为 d， 则 1233 1321 daaaa ， 又 .2,21 da 得 所以 .2nan - 9 - （）解：由 nnnn nab 323 ，得 nnn nnS 323)22(. .3432 12 ， 122 323)22(. . .34323 nnn nnS 将式减去式，得 11232)13(3 32)333(22 nnnnnn n
13、S所以 132 )31(3 nnn nS （ 17）本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力满分 15 分 （）证法一：点 D 是正 ABC 中 BC 边的中点， AD B（ C） 又 A1A底面 ABC， A1D B（ C） BC B1C1， A1D B1C1 证法二：连结 A1C，则 A1C A1 点 D 是等腰 A1C B 的底边 BC 的中点， A1D BC BC B1C1， A1D B1C1 （）解法一：作 DE AC 于 E， 平面 ACC1平面 AB（ C） DE平面 ACC1于 E， 即 DE 的长为点 D 到平面 ACC1的距
14、离 在 Rt ADC 中， ,23,2 aADaCDAC 所求距离 .43 aAC ADCDDE 解法二：设点 D 到平面 ACC1的距离为 x 体积11 ACCDACDC VV ， - 10 - xCCaCCa 112 21318331， ax 43 ，即点 D 到平面 ACC1的距离为 a43 （ ）答：直线 A1B平面 ADC1证明如下： 证法一：如图 1，连结 A1C 交 AC1于 F，则 F 为 A1C 的中点 D 是 BC 的中点， DF A1（ B） 又 DF平面 ADC1， A1B平面 ADC1， A1B平面 ADC1 证法二：如图 2，取 C1B1的中点 D1，则 AD A1D1， C1D D1 B， AD平面 A1D1B，且 C1D平面 A1D1B， 平面 ADC1平面 A1D1（ B） A1B平面 A1D1B， A1B平面 ADC1 图 1 图 2 （ 18）本小题主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识；考查分析问题和解决问题的能力满分 15 分 （）解：由图可知： 4,5 ca ，所以 322 cab 该椭圆的方程为 1925 22 yx ，准线方程为 425x
