1、2006 年高考试题辽宁卷理科数学试题 一 . 选择题 (1) 设集合 1,2A ,则满足 1, 2,3AB 的集合 B 的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 (2) 设 ()fx是 R 上的任意函数 ,则下列叙述正确的是 (A) ( ) ( )f x f x 是奇函数 (B) ( ) ( )f x f x 是奇函数 (C) ( ) ( )f x f x是偶函数 (D) ( ) ( )f x f x是偶函数 (3) 给出下列四个命题 : 垂直于同一直线的两条直线互相平行 . 垂直于同一平面的两个平面互相平行 . 若直线 12,ll与同一平面所成的角相等 ,则 12,ll互相平行 .
2、 若直线 12,ll是异面直线 ,则与 12,ll都相交的两条直线是异面直线 . 其中 假 命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4) 双曲线 224xy的两条渐近线与直线 3x 围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是 (A) 0003xyxyx(B) 0003xyxyx(C) 0003xyxyx(D) 0003xyxyx(5) 设 + 是 R 上的一个运算 ,A是 R 的非空子集 ,若对任意 ,ab A 有 a + b A ,则称 A对运算 + 封闭 ,下列数集对加法、减法、乘法和除法 (除数不等于零 )四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集
3、 (D)无理数集 (6) ABC 的三内角 ,ABC 所 对 边 的 长 分 别 为 ,abc 设向量( , )p a cb , ( , )q b a c a ,若 /pq,则角 C 的大小为 (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 23 (7) 与方程 2 2 1( 0 )xxy e e x 的曲线关于直线 yx 对称的曲线的方程为 (A) ln(1 )yx (B) ln(1 )yx (C) ln(1 )yx (D) ln(1 )yx (8) 曲线 22 1( 6 )1 0 6xy mmm 与曲线 22 1 ( 5 9 )59xy mmm 的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦
4、点相同 (D)准线相同 (9) 在等比数列 na 中 , 1 2a ,前 n 项和为 nS ,若数列 1na 也是等比数列 ,则 nS 等于 (A) 122n (B) 3n (C) 2n (D)31n (10) 直线 2yk 与曲线 2 2 2 29 1 8k x y k x ( , )kR且 k0的公共点的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (11)已知函数 11( ) ( s i n c o s ) s i n c o s22f x x x x x ,则 ()fx的值域是 (A) 1,1 (B) 2,12(C) 21,2(D) 21,2(12) 设 (0,0)O , (1,0)
5、A , (0,1)B , 点 P 是线段 AB 上 的 一个 动点 , AP AB , 若OP AB PA PB ,则实数 的取值范围是 (A) 1 12 (B) 2112 (C) 12122 (D) 2211 二 . 填空题 (13) 设 , 0.(), 0.xexgxlnx x 则 1( ( )2gg _ (14) 22224 6 4 6 4 6( ) ( ) . . . ( )5 7 5 7 5 7l im 5 4 5 4 5 4( ) ( ) . . . ( )6 5 6 5 6 5nnnnn _ (15) 5 名乒乓球队员中 ,有 2 名老队员和 3 名新队员 .现从中选出 3 名队
6、员排成 1、 2、 3 号参加团体比赛 ,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员 ,且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种 .(以数作答 ) (16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 cos =_ 三 解答题 (17) (本小题满分 12 分 ) 已知函数 22( ) s i n 2 s i n c o s 3 c o sf x x x x x ， xR .求 : (I) 函数 ()fx的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； (II) 函数 ()fx的单调增区间 . (18) (本小题满分 12 分 ) 已知正方形 ABCD . E 、 F 分别是 AB 、
7、CD 的中点 ,将 ADE 沿 DE 折起 ,如图所示 ,记二面角 A DE C的大小为 (0 ) . (I) 证明 /BF 平面 ADE ; (II)若 ACD 为正三角形 ,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上 ,证明你的结论 , 并求角 的余弦值 .(19) (本小题满分 12 分 ) 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、 1.18 万元、 1.17 万元的概率分别为 16 、 12 、 13 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关 ,在每次调整中价格下降的概率都是 (0 1)pp,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的
8、调整 ,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元 , 取 0、 1、 2 时 , 一年后相应利润是1.3 万元、 1.25 万元、 0.2 万元 .随机变量 1 、 2 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润 . (I) 求 1 、 2 的概率分布和数学期望 1E 、 2E ; (II) 当 12EE 时 ,求 p 的取值范围 . A A C B D E F B C D E F (20) (本小题满分 14 分 ) 已知点 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx 是抛物线 2 2 ( 0)y px p上的两个动点 ,O 是坐标原点 ,
9、向量 OA , OB 满足 O A O B O A O B . 设圆 C 的方程为22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径 ; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求 P 的值。 21（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= dcxbxax 2331 ,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差数列，且a 0,d 0.设 的极小值点，在为 )(0 xfx 1- 0,2ab上， 处取得最大植在 1 )( xxf ，在处取得最小值2x ，将点 依次记为（ )(,(,(),(,(),(,
10、2221100 xfxfxxfxxfx A， B， C (I)求 的值ox (II)若 ABC 有一边平行于 x 轴，且面积为 32 ，求 a ,d 的值 22 （本小题满分 12 分） 已知 0() ,nf x x 11()() (1)kkkfxfx f , 其中 ( , )k n n k N, 设0 2 1 2 2 201( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . . ( )knn n n k n nF x C f x C f x C f x C f x , 1,1x . (I) 写出 (1)kf ; (II) 证明 :对任意的 12, 1,1xx ,恒有 112( ) ( ) 2
11、 ( 2 ) 1nF x F x n n . 2006 年高考试题辽宁卷理科数学试题 一 . 选择题 (2) 设集合 1,2A ,则满足 1, 2,3AB 的集 合 B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 【解析】 1,2A ， 1, 2,3AB ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合1,2A 的子集个数问题，所以满足题目条件的集合 B 共有 224 个。故选择答案 C。 【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。 (2) 设 ()fx是 R 上的任意函数 ,则下列叙述正确的是 (A) ( ) ( )f x f x 是奇函数 (
12、B) ( ) ( )f x f x 是奇函数 (C) ( ) ( )f x f x是偶函数 (D) ( ) ( )f x f x是偶函数 【解析】 A 中 ( ) ( ) ( )F x f x f x则 ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x ， 即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x为偶函数， B 中 ( ) ( ) ( )F x f x f x， ( ) ( ) ( )F x f x f x 此时 ()Fx与 ()Fx 的关系不能确定，即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x的奇偶性不确定， C 中 ( ) ( ) ( )F x f x f
13、x ， ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x ，即函数( ) ( ) ( )F x f x f x 为奇函数， D 中 ( ) ( ) ( )F x f x f x ， ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x ，即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 为偶函数，故选择答案 D。 【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。 (3) 给出下列四个命题 : 垂直于同一直线的两条直线互相平行 . 垂直于同一平面的两个平面互相平行 . 若直线 12,ll与同一平面所成的角相等 ,则 12,ll互相平行 . 若直线
14、12,ll是异面直线 ,则与 12,ll都相交的两条直线是异面直线 . 其中 假 命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现 、 、 、 均不正确，故选择答案 D。 【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。 (4) 双曲线 224xy的两条渐近线与直线 3x 围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是 (A) 0003xyxyx(B) 0003xyxyx(C) 0003xyxyx(D) 0003xyxyx【解析】双曲线 224xy的两条渐近线方程为 yx ，与直线 3x 围
15、成一个三角形区域时有 0003xyxyx。 【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问 题。 (5) 设 + 是 R 上的一个运算 ,A是 R 的非空子集 ,若对任意 ,ab A 有 a + b A ,则称 A对运算 + 封闭 ,下列数集对加法、减法、乘法和除法 (除数不等于零 )四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理 数集 (D)无理数集 【解析】 A 中 1 2 1 不是自然数，即自然数集不满足条件； B 中 1 2 0.5 不是整数，即整数集不满足条件； C 中有理数集满足条件； D 中 2 2 2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案 C。 【点评】
16、本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。 (6) ABC 的三内角 ,ABC 所对 边 的 长 分 别 为 ,abc 设向量( , )p a cb , ( , )q b a c a ,若 /pq,则角 C 的大小为 (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 23 【解析】 2 2 2/ / ( ) ( ) ( )p q a c c a b b a b a c a b ，利用余弦定理可得2cos 1C ，即 1cos 23CC ，故选择答案 B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 (7) 与方程 2 2
17、 1( 0 )xxy e e x 的曲线关于直线 yx 对称的曲线的方程为 (A) ln(1 )yx (B) ln(1 )yx (C) ln(1 )yx (D) ln(1 )yx 【解析】 222 1 ( 0 ) ( 1 )x x xy e e x e y ， 0, 1xxe ，即：1 l n ( 1 )xe y x y ，所以 1 ( ) ln(1 )f x x ，故选择答案 A。 【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。 (8) 曲线 22 1( 6 )1 0 6xy mmm 与曲线 22 1 ( 5 9 )59xy mmm 的 (A)焦距相等 (B) 离
18、心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 【解析 】由 22 1( 6 )1 0 6xy mmm 知该方程 表示 焦点在 x 轴 上的椭 圆，由22 1 ( 5 9 )59xy mmm 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故 只能选择答案 A。 【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。 (9) 在等比数列 na 中 , 1 2a ,前 n 项和为 nS ,若数列 1na 也是等比数列 ,则 nS 等于 (A) 122n (B) 3n (C) 2n (D)31n 【解析】因数列 na 为等比，则 12 nnaq ，因数列 1na 也是
19、等比数列， 则 221 2 1 1 2 2 2 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2( 1 2 ) 0 1n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a aa q q q 即 2na ，所以 2nSn ，故选择答案 C。 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 (10) 直线 2yk 与曲线 2 2 2 29 1 8k x y k x ( , )kR且 k0的公共点的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】将 2yk 代入 2 2 2 29 1 8k x y k x 得： 2 2 2 29 4 1
20、8k x k k x 29 | | 18 4 0xx ，显然该关于 |x 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，故选择答案 D。 【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。 (11)已知函数 11( ) ( s i n c o s ) s i n c o s22f x x x x x ,则 ()fx的值域是 (A) 1,1 (B) 2,12(C) 21,2(D) 21,2【解析】 c o s ( sin c o s )11( ) ( sin c o s ) sin c o ssin ( sin c o s )22 x x
21、xf x x x x x x x x 即等价于 minsin ,cos xx，故选择答案 C。 【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数 等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。 (12) 设 (0,0)O , (1,0)A , (0,1)B , 点 P 是线段 AB 上 的 一个 动点 , AP AB , 若OP AB PA PB ,则实数 的取值范围是 (A) 1 12 (B) 2112 (C) 12122 (D) 2211 【解析】 ( 1 ) ( 1 , ) ,( 1 ) ( 1 , 1 ) , ( , )A P A B O P O A O BP B A B A P A B A
22、 P A B 2( 1 , ) ( 1 , 1 ) ( , ) ( 1 , 1 ) 2 4 1 0O P A B P A P B 解得 : 2211 ,因 点 P 是线段 AB 上的一个动点 ,所以 01,即满足条件的实数 的取值范围是 2112 ,故选择答案 B. 【点评】本题考查向量的表示方法 ,向量的基本运算 ,定比分点中定比的范围等等 . 二 . 填空题 (13) 设 , 0.(), 0.xexgxlnx x 则 1( ( )2gg _ 【解析】 1ln 21 1 1( ( ) ) ( ln )2 2 2g g g e . 【点评】本题考察了分段函数的表达式 、指对数的运算 . (14
23、) 22224 6 4 6 4 6( ) ( ) . . . ( )5 7 5 7 5 7l im 5 4 5 4 5 4( ) ( ) . . . ( )6 5 6 5 6 5nnnnn _ 【解析】 2 2 2 22 2 2 24 6 4 6 4 6 4 4 4 6 6 6( ) ( ) . . . ( ) ( . . . ) ( . . . )5 7 5 7 5 7 5 5 5 7 7 7l im 5 4 5 4 5 4 5 5 5 4 4 4( ) ( ) . . . ( ) ( . . . ) ( . . . )6 5 6 5 6 5 6 6 6 5 5 5n n n nnn n n
24、 n 4 1 6 1 1 ( ) 1 ( ) 5 5 7 71 1 1 1 51 1 ( ) ( ) 1 ( )5 7 5 7 7l im l im l im 15 1 4 1 1 1 5 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 16 6 5 5 6 5 6111165nnn n nn n nn n n n n 【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型 . (15) 5 名乒乓球队员中 ,有 2 名老队员和 3 名新队员 .现从中选出 3 名队员排成 1、 2、 3 号 参加团体比赛 ,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员 ,且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的
25、排法有_种 .(以数作答 ) 【解析】两老一新时 , 有 1 1 23 2 2C 12CA种排法 ; 两新一老时 , 有 1 2 32 3 3C C 36A种排法 ,即共有 48 种排法 . 【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想 . (16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 cos =_ 【解析】不妨认为 一个正四棱柱为正方体 ,与正方体的所有面成角相等时 ,为与相交于同一顶点 的 三个 相互 垂直 的平 面所 成角 相 等 , 即 为体 对角 线与 该正 方体 所成 角 . 故26cos 33 . 【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的
26、概念 ,充分考查了转化思想的应用 . 三 解答题 (17) (本小题满分 12 分 ) 已知函数 22( ) s i n 2 s i n c o s 3 c o sf x x x x x ， xR .求 : (I) 函数 ()fx的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； (II) 函数 ()fx的单调增区间 . 【解析】 (I) 解法一 : 1 c o s 2 3 ( 1 c o s 2 )( ) s i n 2 1 s i n 2 c o s 2 2 2 s i n ( 2 )2 2 4xxf x x x x x 当 2242xk ,即 ()8x k k Z 时 , ()fx取得最大值 2
27、2 . 函数 ()fx的取得最大值的自变量 x 的集合为 / , ( ) 8x x R x k k Z . 解法二 : 2 2 2 2( ) ( s i n c o s ) 2 s i n c o s 2 c o s 2 s i n c o s 1 2 c o s s i n 2 c o s 22f x x x x x x x x x x x 2 2 sin (2 )4x 当 2242xk ,即 ()8x k k Z 时 , ()fx取得最大值 22 . 函数 ()fx的取得最大值的自变量 x 的集合为 / , ( ) 8x x R x k k Z . (II)解 : ( ) 2 2 s in
28、 ( 2 )4f x x 由题意得 : 2 2 2 ( )2 4 2k x k k Z 即 : 3 ()88k x k k Z 因此 函数 ()fx的单调增区间为 3 , ( )88k k k Z . 【点评】本小题考查三角公式 ,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识 ,考查综合运用三角有关知识的能力 . (18) (本小题满分 12 分 ) 已知正方形 ABCD . E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点 ,将 ADE 沿 DE 折起 ,如图所示 ,记二面角 A DE C的大小为 (0 ) . (I) 证明 /BF 平面 ADE ; (II)若 ACD 为正三角形 ,试判断点 A
29、 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上 ,证明你的结论 ,并求角 的余弦值 . 【解析】 (I)证明 :EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、 CD 的中点 , EB/FD,且 EB=FD, 四边形 EBFD 为平行四边形 . BF/ED ,E F A E D B F A E D平 面 而 平 面 /BF 平面 ADE . (II)解法 1: 如右图 ,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 , 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD. ACD 为正三角形 , AC=AD CG=GD A A C B D E F B C D E F
