1、 浙江省 2011 年高考名师名校交流卷（九） 数学（理） 试题 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分 , 考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A, B 互斥 , 那么 棱柱的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件 A, B 相互独立 , 那么 其中 S 表示棱柱的底面积 , h 表示棱柱的高 P(A B)=P
2、(A) P(B) 棱锥的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n V=31Sh 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示棱锥的底面积 , h 表示棱锥的高 Pn(k)=Ckn pk (1 p)n-k (k = 0,1,2, , n) 球的表面积公式 棱台的体积公式 S = 4R2 )2211(31 SSSShV 球的体积公式 其中 S1, S2分别表示棱台的上、下底面积 , V=34R3 h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分 (共 50 分 ) 一、选择题 : 本大题共 10 小题 , 每小题 5 分 ,共 50 分。在每小题给出
3、的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 )3(,)10(0 )01(1)()()1( fxxxfxfxf 则且（ ） A -1 B 0 C 1 D 1 或 0 2已知 :px是偶数； :( ,0)qx 是函数 tan2yx 的对称中心，则 p 是 q 的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也 不必要条件 3 正方体上任意选择两条棱， 则 这两棱为异面直线 的 概率为 （ ） A 111 B 112 C 113 D 114 4. 已知 , 是两个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，给出下列命题： 若 ，则mm , ； 若 /,/, 则， n
4、mnm ； 如果 与是异面直线，那么、 nnmnm , 相交； 若 ./,/, nnnnmnm 且，则，且 其中正确的命题是 （ ） A B C D 5 已知 P 是双曲线 22143xy上的动点， 12,FF分别是双曲线的左、右焦点， Q 是 21PFF 的平分线上的一点，且 2 0FQ QP， O 为坐标原点，则 |OQ （ ） A 1 B 3 C 2 D 7 6 函数 lnxy x 的图像大致是 ( ) A B C D 7 程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出结 果是 （ ） A 21 B 34 C 55 D 89 8在 765 )1()1()1( xxx 的展开式中，含 5x 项
5、 的系数是首项为 2 公差为 -3 的等差数列的： （ ） A第 9 项 B第 10 项 C第 11 项 D第 12 项 9. 从 A B A C 能够推出 ( ) A BC B A B A C C UUA C B A C C D UUC A B C A C 10已知函数 2( ) ( 3 ) , 0 , ),f x x x x 存在区 间 , 0, )ab ，使得函数 ()fx在区间 , ab上的值域为 , kakb ，则最小的 k 值为 ( ) A 1 B 4 C 9 D 14 非选择题部分 (共 100 分 ) 二、 填空题 : 本大题共 7 小题 , 每小题 4 分 , 共 28 分。
6、 11 已知 i 为虚数单位，复数 201132 iiiiz ，则复数 z 的模为 。 12 过点 1( ,1)2P 的直线 l 与圆 22: ( 1) 4C x y交于 ,AB两点，当 ACB 最小时，直线 l 的方程为 。 13. 如 右 图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形 ,其俯视图轮廓为正方形， 则其 表面积 是 。 14 若平面向量 a ， b 满足 0)()( baba ba 平行于 x 轴， )2,1(a ，则 b = 。 15已知 ( ) ta n c o s ( )f x x x m 为奇函数，且 满足不等式 2 3 10 0mm ，则
7、m 的值为_ 。 16 若随机变量 的分布列如下表，且 a,b,c,d 组成以 a 为首项， 21 为公比的等比数列 ,则 E 的值为 。 1 2 3 4 P a b c d 17 对于已知的 ,xy，记 1( , ) m in 27 , 27 , 27x x y yf x y ，当 (0,1), (0,1)xy时， ( , )f xy 的最大值 为 _ 。 三、解答题 : 本大题共 5 小题 , 共 72 分。解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分 ) 俯视图主视图 左视图在 ABC 中 ,角 CBA , 所对的边分别为 cba, 且满足 101032co
8、s B , ABC 的面积 23SABC(1)求 BCAB 的值， (2)若 7ca 求 b 的值。 19 (本题满分 14 分 ) 已知数列 na 的首项 ta1 0 ，1 321nn naa a ， 12n， ， （ 1）若53t，求 na 的通项公式； （ 2）若 nn aa 1 对一切 *Nn 都成立，求 t 的取值范围。 20 (本题满分 14 分 ) 如图 ： 直角梯形 ABCD 中， / / , 9 0AD BC ABC， ,EF分别为边 AD 和 BC 上的点，且 /EF AB ，2 2 4 4A D A E A B F C 将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的位置
9、，使 AD AE （ ）求证： BC / 平面 DAE ； （ ）求 三棱锥 C ADE 的体积； （ ） 求面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值 . 21 (本题满分 15 分 ) 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的一个焦点是 (1,0) ， 两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 (4,0)P 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 ,AB两点，设点 A 关于 x 轴的对称点为 1A （ i）求证：直线 1AB过 x 轴上一定点，并求出此定点坐标； （ ii）求 1OAB 面积的取值范围 。 22 (本题满分
10、15 分 ) 已知函数2( ) ( 0 )1xef x ax ax， （ 1） 试讨论函数 ()fx的单调区间； （ 2） 若不等式 ()f x x 对于 任意的 0, 1xa恒成立，求 a 的取值范围。 数学（理科）测试卷（九）参考答案 说明 : 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力 , 并给出了一种或几种解法供参考 , 如果考生的解法与本解答不同 , 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计算题 , 当考生的解答在某一步出现错误时 , 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 , 可视影响的程度决定后续部分的给分 , 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
11、如果后续部分的解答有较严重的错误 , 就不再给分。 三、只给整数分数。选择题和填空题不 给中间分。 四、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题 : 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分 , 满分 50 分。 (1) B (2) B (3)D (4) D (5) C (6)A (7)C (8) C (9) D(10) 二、填空题 : 本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分 , 满分 28 分。 (11) 1 (12) 0342 yx (13) 12 (14) 2,1,2,1 (15) 3,2 2 2 (16) 1526 (17) 31三、解答题 : 本大题共
12、5 小题 , 满分 72 分。 18、 解 : (1) 541)10 103(212c o s2c o s 22 BB 53sin B 又 5|,23s i n|21 BCABBBCABS A B C4545c o s| BBCABBCAB 3131)541(527)c o s1(2)(c o s2:2 22222bBaccaBaccab 19、 解 : (1) 由题意知 ,0na nnn aaa 3 121132311 nn aa 113111 1 nn aa nnna 323113511 1 233 nnna （ 2）由（ 1）知 1131111 nn aa1311111 nn ta当 1
13、t 时， na 是常数列，不满足 nn aa 1 ； 当 1t 时， 131111 nn ta，因为 0na 对 Nn 都成立， 且在 N 上是单调递增的，所以01na 对 Nn 都成立， 且在 N 上是单调递减的，所以 011 t 注意到 0t 所以 10 t 因此 t 的取值范围是 1,0 20、 （ 1） 证明： / / , / / , ,C F D E F B A E B F C F F A E D E E 面 /CBF 面 DAE ， 又 BC 面 CBF ，所以 BC / 平面 DAE （ ） 解： 因为 BC / 平面 DAE 所以 C ADE 的体积 =B ADE 的体积 =D
14、 ABE 的体积 取 AE 的中点 H ，连接 DH ， ,E F E D E F E A E F 平面 DAE 又 DH 平面 DAE EF DH ， 2 , 3A E E D D A D H A E D H DH面 AEFB ，所以三棱锥 C ADE 的体积 233V （ ） 解： 方法 1 以 AE 中点为原点， AE 为 x 轴建立空间直角坐标系， 则 ( 1,0,0)A 、 (0,0, 3)D 、 ( 1, 2,0)B 、 (1,0,0)E ,所以 DE 的中点坐标为 13( ,0, )22,因为 12CF DE ， 所以 13( , 2, )22C ，易知 BA 是 平面 ADE
15、的一个法向量 ，1 (0,2,0)BA n 设平面 BCD 的一个法向量为 2 ( , , )n x y z 由 223 3 3 3( , , ) ( , 0 , ) 02 2 2 2( , , ) (1 , 2 , 3 ) 2 3 0n B C x y z x zn B D x y z x y z 令 2,x 则 2y ， 23z ， 2 (2, 2, 2 3)n 1212122 0 2 2 2 3 0 5c o s , 52 2 5nnnnnn 所以面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值为 55 。 方法 2 延长 EA 到 AM AE ,连接 ,DMBM , CFB DEM,所以
16、 /CB DM 在梯形 CBDM 中，有 5 , 3 , 2 3 , 2 2C D C B D M B M ,取 DM 中点 N 可得 BN DM ,由 DAE 是等边三角形可得 DE DM , 因为 /DE AN ,所 以 AN DM , BEA 为所求角 . 5 , 1, 2B N N A A B , 5cos5NA(21) 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 21、解 ： 解：（ 1） 易得 2 , 1a c c，则 3b 所以椭圆的标准方程为 22143xy （ 2 ）（ I ） 不妨 设 直 线 方
17、程 为 :4l x my， 与 22143xy联 立 并 消 去 x 得：22(3 4 ) 2 4 3 6 0m y m y ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则有 12 22434myy m ， 12 23634yy m ， 由A 关于 x 轴的对称点为 1A ，得 1 1 1( , )A x y ，根据题设条件设定点为 (,0)Qt ，得 1QB QAkk ，即 21yyx t t x，整理得 1 2 2 112x y x yt yy ， 1 2 2 1 1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2( 4 ) ( 4 ) 24x y x y m y y m
18、 y y m y yt y y y y y y ，代入得 1t 则定点为 (1,0)Q （ II）由（ I）中判别式 0 ，解得 22mm 或 ，而 直线 1AB 过定点 (1,0)Q 所以11 12 21 2 | | 4| | | | |4343|O A B A BmS O Q y y y ymm m 11=22记 |tm ， 4()43ftt t，易得 ()ft 在 (2, ) 上 位单调递减函数，得 13(0, )2OABS 22、 本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识 , 同时考查抽象概括能力和运算求解能力。满分 15 分。 解 : （ 1）： 22/2 2
19、2 2 2 2( 1 2 ) ( ( 2 ) 1 ) ( 1 ) ( ( 1 ) )() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x xe x a x x a e x a x a e x x afxx a x x a x x a x 当 0a 时，函数定义域为 R ， 2/22( 1)( ) 0 , ( )( 1)xexf x f xx 在 R 上单调递增 当 (0,2)a 时， 224 0 , 1 0a x a x 恒成立，函数定义域为 R ，又 1 1, ( )a f x 在( ,1) 单调递增， (1,1 )a 单调递减， (1 , )a 单调递增 当 2a 时，函数定义域为 ( ,1)
20、(1, ) ， / ( 3)( ) , ( )( 1)xexf x f xx 在 ( ,1) 单调递增， (1,3) 单调递减， (3, ) 单调递增 当 (2, )a 时， 2 4 0,a 设 2 10x ax 的两个根为 12,xx 且 12xx ，由韦达定理易知两根均为正根，且 1201xx ，所以函数的定义域为 12( , ) ( , )xx ，又对称轴 12axa ，且2 2( 1 ) ( 1 ) 1 2 0 1a a a a x a ， ()fx 在 11( , ),( ,1)xx 单调递增， 22(1, ),( , 1)x x a 单调递减， (1 , )a 单调递增 （ 2）：
21、由（ 1）可知当 2a 时， 12 , 0, 1x x x a 时，有 ( ) 0fx 即 ()f x x 不成立， 当 0a 时， (0 ) 1, (1) 1, ( )2ef f f x 单调递增，所以 ()f x x 在 0, 1xa上成立 当 (0,2)a 时， 1(0 ) 1 , (1 ) 1 , (1 )22 aeef f f aaa ， 下面证明： 1(1 ) 12aef a aa 即证 ( 1 ) 0 ( 1 (1 , 3 ) )xe x x x a 令 / / /( ) ( 1 ) , ( ) 2 1 , ( ) 2x x xg x e x x g x e x g x e /
22、/ /(1, 3 ) , ( ) 0 , ( )x g x g x 单调递增， / 0(1) 0 , (3 ) 0 ,g g x 使得 0/ 00( ) 2 1 0xg x e x ()gx 在 0(1, )x 上单调递减，在 0( ,3)x 上单调递减， 此时 0 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) 2 1 1xg x g x e x x x x x x x 1 5 1 5/ 22001 5 1 5 1 5( ) 2 ( ) 1 ( 2 5 ) 0 , ( ) 02 2 2g e e x g x 所以不等式 ( 1 ) 0 ( 1 (1 , 3 ) )xe x x x a 所以 1(1 ) 12aef a aa 由（ 1）知 ()fx在 (0,1) 单调递增， (1,1 )a 单调递减，所以不等式 ()f x x 对于任意的 0, 1xa恒成立当 2a 时，由函数定义域可知 1 0,3 ，显然不符合题意 综上所述，当 0,2)a 时，不等式 ()f x x 对于任意的 0, 1xa恒成立
