1、3-3 多变量系统的实现,设多变量系统动态方程为,一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系,(3-36),其中A, B, C 分别是 nn, np, qn 的实常量矩阵，其传递函数矩阵为,(3-37),式中det(sIA) 称为系统的特征式。传递函数矩阵G(s)是一个严格真有理函数阵，即它的每一元素都是s的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。,证完。,显然系统可控且可观。但传递函数阵为,例题3-4：设系统方程为,与单变量系统不同,本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件，而不是必要条件，可用以下例题来说明。,在A的特征式与 之间存在公因式(s1)。故定理中的条件不是必要的。,但
2、如果将(3-33)式：,的分母写成 A 的最小多项式，可以得到(A, B, C) 可控可观的一个必要条件(略）。,(3-37),定义3-1： 一个有理传递矩阵G(s)成为是正则的，若 是一个有限的常量矩阵。 G(s)成为是严格正则的，若 。,与第一章相同，在以下的讨论中，我们假定 G(s) 的每一个元都已经是既约形式，即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。,定义3-2 G(s)的极点多项式中s 的最高次数称为G(s)的麦克米伦(McMillan)阶，用记号G(s)表示。,例3-6： 求下列系统的McMillan阶：,G1(s)的极点多项式为(s+1); G2(s)的极点多项式为
3、(s+1)2，故,例3-7: 考虑,定理3-8 系统(3-32)可控可观测的充分必要条件是 G(s)的极点多项式等于A 的特征多项式，即,证明：略。,例3-8,二、向量传递函数的实现,一个元素为多项式的矩阵，总可以写成矩阵为系数的多项式，例如：,行分母展开时,得可观标准形最小实现,这是一个多入单出系统，其中各元均互质。令,为G(s)各元分母多项式的首一最小公分母(极点多项式），则上式可写成：,但与单变量系统相比，Ni 的顺序是反的！但只要注意到B阵的第一行是N0 就可以了。,于是有实现：,列分母展开时,得可控标准形最小实现,d(s)为G(s)各元分母多项式的首一最小公分母(极点多项式）,注意：
4、因为G(s)的诸元素已是既约形式，故行分母（列分母）的次数就是McMillan阶，所构造的实现一定是最小实现。这点和标量传函一样。,这是一个单入多出系统，可实现为第二可控标准形：,传递矩阵为列和行向量时的最小实现小结在各元素即约的条件下，它们的首一最小公分母就是G(s)特征多项式；G(s)为列向量(输入为标量）则可实现为可控标准型(Ac,bc,C);G(s)为行向量（输出为标量）则可实现为可控标准型(Ao,co,B);上述实现均是最小实现。,三、传递函数矩阵G(s)的实现按列展开： 可以将矩阵G(s)分成列(行)，按列(行) 展开。以2列为例说明列展开时的做法。设第i列展开所得的可控形实现为A
5、 i ,b i ,C i ，可按以下方式形成A, B, C:,这一实现是可控的（PBH检验），并可计算出上述实现的传函阵为,传递矩阵按列展开的步骤：,1）将传递矩阵写成：,构造系统的(A, B, C)（由PBH检验可知系统可控制）:,2. 按行展开 同理，可以将G(s)分成行，每行按行分母展开。以2行为例说明行展开时的做法,设第i行展开所得的可观形实现为A i ,B i ,ci ，可按以下方式形成A, B, C,这一实现是可观的（由PBH检验可知），并可计算出上述实现的传函阵为G(s),传递矩阵按行展开的步骤：,1）将传递矩阵写成：,3）构造系统的(A, B, C):,例题 : 给定有理函数阵
6、为,解 采用行展开方法，将G(s)写成,试用行展开和列展开构造G(s)实现。,第一个子系统,第二个子系统,按(3-38)式,可得可观性实现如下,容易验证这一实现是可观的但不是可控的。直接计算可知G(s)=3，而A阵的维数是4，由定理3-13可知，该实现一定不可控。要得到可控可观的实现，可以用定理2-17对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现。 但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将G(s)写成,由(3-42)式可构成如下的实现,这是可控性实现，它也是可观的，因而是G(s)的最小阶实现。显然，在本例中一开始就应选择列展开方法。这是因为各列分母次数之和为3，小于各行
7、分母次数之和4。 如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，可以利用可控性分解或可观性分解进一步降低系统的阶次。,例题 : 给定有理函数矩阵如下,求出G(s)的最小阶动态方程实现。,解: 各一阶子式的公分母显然是s3，而其一个二阶子式的分母为s4，因而其极点多项式为s4.,(1) 计算 G(s) = 4,(2) 行展开,构成可观性实现：(一定不可控),(3) 进行可控分解,可控性阵秩为4，可取前四列, 且作列变换，这样将使计算简便 4列乘1、 2加到1、2列；2列乘1加到3列), 3列加到1列, 3列乘1,再补充一列(后一列是补充的)，使下列矩阵为非奇异阵，记为,(4) 可得最小实现为,(5) 验算, 可验证可控，可观且传递函数矩阵为,利用PBH检验，其最小实现的结论为显然。,证完。,例题,G(s) 的一个最小实现为,四、组合系统的状态空间实现,1. 串联方式：,2. 并联方式：,3. 反馈结构：,下面计算反馈结构的传递函数矩阵：,另一做法：(a)代入(b)、(c) 后有,需要指出，即使以上每个子系统都是最小实现，相应的组合系统也未必是最小实现。,
