1、 数学试题 第 页（共 6 页） 1 东北三校 2008 年 部分毕业班第三次摸底考试 数 学 第 I 卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题： 本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1已知集合 NMxxxNxxM 则,013|,1| （ ） A 31| xx B 11| xx C 3| xx D 1| xx 2函数 )1(21 xy x 的反函数是 （ ） A )1)(1(lo g21 xxyB )1(1lo g21 xxyC )10)(1(lo g21 xxyD )10(1lo g21 xxy3由数字 0， 1， 2，
2、 3， 5 组成的没有重复数字的三位奇数的个数为 （ ） A 60 B 48 C 36 D 27 4某商店两个进价不同的商品都卖了 80 元，其中一个盈利 60%，另一个亏本 20%，问在这次买卖中，这家商店 （ ） A不赚不赔 B赚了 10 元 C赔了 10 元 D赚了 50 元 5过点 A（ 2， 1），圆心在直线 xy 2 上，且与直线 1yx 相切的圆的方程为（ ） A 2)56()53( 22 yx B 2)56()53( 22 yx C 2)2()1( 22 yx D 2)2()1( 22 yx 6在半径为 35 的球面上有 A、 B、 C 三点， AB=6， BC=8， CA=1
3、0，则球心到平面 ABC 的距离为 （ ） A 5 B 24 C 25 D 10 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 分数 数学试题 第 页（共 6 页） 2 7函数 )1(2lo g 2 ax xy a在其定义域内 （ ） A有最大值，无最小值 B有最小值，无最大值 C有最大值，也有最小值 D既无最大值，也无最小值 8对于 直线 l、 m 和平面、，的一个充分条件是 （ ） A mlml ,/, B mlml , C lmml ,/ D mlml ,/ 9已知函数 ),(,)1(4)1( )1(12)(2 在xaxa xaxaxxf内是减函数，则实数 a 的取值范围是
4、 （ ） A )1,( B )0,( C ),1( D（ 0， 1） 10 将 周 期 为 的函数 )0(c o sc o ss i n2s i n 22 xxxxy 的图象按)1,8( a 平移后，所得函数图象的解析式为 （ ） A 12sin2 xy B 1)44s in (2 xy C 1)82s in (2 xy D xy 2cos21 11设 x、 y 满足条件41,033042022xyuyxyxyx则的取值范围是 （ ） A ,31)1,( B 31,41 C 31,1 D 43,51 12如右图，已知在梯形 ABCD 中， |AB|=2|CD|，点 E 分有向线 段 AC 所成
5、的比为 52 ，双曲线过 C、 D、 E 三点，且以 AB 为 焦点，则此双曲线的离心率为 （ ） A 2 B 3 C 2 D 3 数学试题 第 页（共 6 页） 3 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 第卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题： 本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分 . 13 10)2 12( xxx 的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 14已知 |32|,3,1|,2| bababa 则的夹角为与 . 15已知数列 nnnn aNnnaaaa 则且满足 ),(12,1 11 . 16在 ABC 中，内角 A、
6、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，给出下列结论： 若 A B C，则 CBA s ins ins in ； 若 CBAcba c osc osc os, 则 ； 必存在 A、 B、 C，使 CBACBA t a nt a nt a nt a nt a nt a n 成立； 若 25,20,40 Bba ，则 ABC 必有两解 . 其中，真 命题的编号为 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题： 本大题共 6 个小题，共 74 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 12 分） 已知 )s i n (,44,434,1411)43s i n (,71)4c
7、 o s ( 求的值 . 数学试题 第 页（共 6 页） 4 18（本小题满分 12 分） 甲、乙两位同学站在罚球线进行投篮，已知每次投篮，甲投中的概率为 21 ，乙投中的概率为 32 ，若甲、乙两位同学各投篮 4 次，求： （ 1）甲恰好投中 3 次的概率； （ 2）乙至少投中 1 次的概率； （ 3）乙恰好比甲多投中 2 次的概率 . 19（本小题满分 12 分） 已知在等比数列 na 中， nS 是其前 n 项的和，若 12 , mmm SSS 成等差数列，则 ma ， 12, mm aa 成等差数列 . （ 1）写出这个命题的逆命题： （ 2）判 断逆命题是否为真，并给出证明 . 数学
8、试题 第 页（共 6 页） 5 20（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱住 ABC A1 B1C1 中， AC=AB=4， 241 BB ， 2BM ， 90BAC ， 点 N 在 CA1 上，且131NACN. （ 1）求证： MN/平面 A1B1C1； （ 2）求点 A1 到平面 AMC 的距离； （ 3）求二面角 C A1M B 的大小 . 21（本小题满分 12 分） 已知定义在 R 上的函数 )(xf 满足： )()()( yfxfyxf ，当 .0)(,0 xfx 时 （ 1）求证： )(xf 是奇函数； （ 2）解关于 x 的不等式： mmmfxmfxfmxf 且,0) .
9、(2)()(2)( 22 为常数） . 数学试题 第 页（共 6 页） 6 22（本小题满分 14 分） 已知椭圆的中心在原点 O，短轴长为 22 ，其焦点 F（ c， 0）（ c 0）对应的准线 l与 x 轴交于 A 点， |OF|=2|FA|，过 A 的直线与椭圆交于 P、 Q 两点 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 0OQOP ，求直线 PQ 的方程； （ 3）设 )1( AQAP ，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M. 求证 F、 M、 Q 三点共线 . 数学试题 第 页（共 6 页） 7 数学（理）参考答案 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分 . 1
10、 12ADDBD CBCDA CB 二、填空题：每小题 4 分，共 16 分 . 13 840 14 13 15 n2 16 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17解： 042434 1 分 又7 34)71(1)4(c o s1)4s i n (71)4c o s ( 22 4分 43244 又14 35)1411(1)43(s i n1)43c o s (,1411)43s i n ( 22 7分 )4c o s ()43c o s ()4()43c o s ()(2c o s 23)4s in ()43s in ( 11 分 2
11、3)(2c o s )s in ( 12 分 18解：（ 1）甲恰好投中 3 次的概率为 4121)21( 334 C； 3 分 （ 2）乙投篮 4 次都未投中的概率为 181)31( 4 ， 乙至少投中 1 次的概率为 8180)31(1 4 ； 6 分 （ 3）设乙恰好比甲多投中 2 次为事件 A，乙恰好投中 2 次而甲恰好投中 0 次为事件B1， 乙恰好投中 3 次而甲恰好投中 1 次为事件 B2，乙恰好投中 4 次而甲恰好投中 2 次为 事件 B3，则 A=B1+B2+B3 . 8 分 乙恰好比甲多投中 2 次的概率 P（ A） =P（ B1） +P（ B2） +P（ B3） 9分 数
12、学试题 第 页（共 6 页） 8 2244443143344042224 )21()32()21(2131)32()21()31()32( CCCCCC .16231)21( 2 12 分 19解：（ 1）逆命题：在 等比数列 na 中， nS 是其前 n 项的和，若 12, mmm aaa 成等差数列，则 12 , mmm SSS 成等差数列 . 2 分 （ 2）当 q=1 时，逆命题为假；当 q 1 时，逆命题为真 . 证明：设 na 的公比为 q，若 12, mmm aaa 成等差数列，则有 122 mmm aaa 3分 012,0,0,2 2111111 qqqaqaqaqa mmm
13、解得， 211 qq 或 5分 当 q=1 时， 11111 )1(,)2(, amSamSmaS mmm 1212 ,2 mmmmmm SSSSSS 不成等差数列 . 7 分 当 )21(134211)21(122,21 21212 mmm aaSq 时 8 分 211)21()2(1)21(41211)21(1211)21(1 2211111 mmmmmmaaaSS )21(134211)21(222121 mmaa 1212 ,2 mmmmmm SSSSSS 成等差数列 . 11 分 综上得，当 q=1 时，逆命题为假；当 q 1 时，逆命题为真 . 12 分 20法一：（ 1）证明：在
14、 C1A1 上取点 D，使111 41 ACDC ，连结 ND、 B1D， 11111 /,4131 BBACNDCANACN 1 分 数学试题 第 页（共 6 页） 9 又 MBBBCCND111 234343 ，四边形 B1MND 为平行四边形， MN/B1D 2 分 又 MN 平面 A1B1C1， B1D 平面 A1B1C1 MN/平面 A1B1C1 4 分 （ 2）三棱柱 ABC A1B1C1 为直三棱柱 ACAA 1 又 90BAC ， AC 平面 A1ABB1 在平面 A1 ABB1 中过 A1 作 A1 H AM，又 AC A1 H， A1 H 为点 A1 到平面 AMC 的距离
15、 6 分 在 23,24,4, 22111 MBABAMBBAAABMAA 中 ， 316,282121 1111 HAABAAAMHAS MAA ， 即 A1 到平面 AMC 的距离为316| 1 m mAA 8 分 （ 3）在平面 A1 ABB1 中过 A 作 AE A1M，交 A1 M 于点 E，连结 CE，则 AE 为 CE在平面 A1ABB1 内的射影， A C EMACE ,1 为二面角 C A1M B 的平面角 10 分 在 MAA1 中， 28,341212111 MAASMBBAMA2161 AEMA 417t a n,17 1716 AEACA E CAE 11 分 ,41
16、7a rc ta n A E C 即二面角 C A1M B 的大小为 417arctan 12 分 法二：（ 1）三棱柱 ABC A1 B1 C1 为直三棱柱 ,A1 A AC， A1 A AB，又 BAC=90 可以点 A 为坐标原点，以 AC、 AB、 AA1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系，由已知得 A（ 0， 0， 0）、 B1（ 0， 4， 24 ）、 C1（ 4， 0， 24 ）、 C（ 4， 0， 0）、 A1（ 0， 0， 24 ）、 M（ 0， 4， 2 ）、 N（ 3， 0， 2 ），在 C1A1 上取点 D，使 )24,0,3(,41111
17、 DACDC 则DBMNDBMN 11 )0,4,3(),0,4,3( 2 分 数学试题 第 页（共 6 页） 10 MNDBMN 又1/ 平面 A1 B1C1， B1D 平面 A1 B1C1 MN/平面 A1B1C1 4分 （ 2） )2,4,0(AM 、 )2,4,4(CM ，设平面 AMC 的法向量为 )1,( bam ， 则 00 CMmAMm 024424bab ，解得 42,0 ba 6分 )24,0,0(),1,42,0( 1 AAm 又 A1 到平面 AMC 的距离为 316 8 分 （ 3） )24,0,4(1 CA 、 )2,4,4(CM ，设平面 A1MC 的法向量为 )
18、1,( dcn ，则 0,01 CMnCAn )1,4 23,2(.4 23,20244 0244 ndcdcc 解得 又 AC 平面 A1ABB1，所求得二面角的大小为 nAC, ， 11 分 而 ),0,0,4(AC 33334446624|,c o s nACnACnAC 二面角 C A1M B 的大小为 .33334arccos 12 分 21解：（ 1） .0)0(),0()0()0(,0),()()( ffffyxyfxfyxf 即得令 令 )()(),()()0(,0 xfxfxfxffxyyx 得即 )(xf 是奇函数 3分 （ 2）设 x1、 x2 R，且 ,0, 2121 xxxx 则 由已知得 0)( 21 xxf . 0)()()()()( 212121 xxfxfxfxfxf
