1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 定积分的数值计算方法 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 : 数值计算是许多科学与工程计算的核心 .定积分的数值计算方法有很多，其中 一些常用的计算方法 有 牛顿 -科茨求积公式， 梯形求积公式， 辛普森求积公式 ， 复合求积公式，龙 贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等本篇论文主要介绍定积分数值计算的多种方法 ，并对其中几种做了比较评述 ， 最后给出了 梯形求积公式，龙 贝格积分法 在 Matlab 环境中的编程实现 . 关键词 ： 牛顿 -科茨求积公式 ；复合求积公式；高斯求积公式
2、 Some numerical methods of definite integral Abstract: Numerical calculation is the core of many science and engineering calculation. There are many numerical calculation methods, including some commonly used numerical methods are Newton Cotes Quadrature formula, Trapezoidal Quadrature formula, Simp
3、son formula,Composite Quadrature formula, Romberg Quadrature method, Gaussian Quadrature formula, chebyshev Quadrature formula, and so on. This theies mainly introduces Some numerical methods of definite integral and compare several of these methods, finally gives the Trapezoidal Quadrature formula,
4、 Romberg Quadrature method in the Matlab environment for programming realize. Key words: Newton Cotes Quadrature formula; Composite Quadrature formula; Gaussian Quadrature formula 目 录 1 绪论 . 1 1.1 问题的背景 . 1 2 牛顿 -科茨求积公式 . 3 2.1 公式的一般形式 . 3 2 2 梯形公式 . 4 2 3 辛普森公式 . 4 3 复化求积公式 . 6 3 1 复化梯形求积公式 . 6 3.2
5、 复化辛普森求积公式 . 6 4 龙贝格求积公式 . 8 4 1 递推梯形法则 . 8 4 2 龙贝格算法 . 8 5 高斯求积公式 . 9 5 1 高斯求积公式 . 9 5 2 高斯 勒让德（ Gauss-Legendre）求积公式 . 10 5 3 高斯 埃尔米特求积公式（ Gauss-Hermite） . 11 5 4 高斯 切比雪夫（ Gauss-Chebyshev）求积公式 . 12 5.5 递推型高斯求积 . 13 6 几种数值积分方法的比较评述和 Matlab 实例 . 14 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 19 1 1 绪论 1.1 问题的背景 在科学与工程计算中
6、，经常要计算定积分 ( ) ( ) ( )baI f f x d x a b （ 1 1） 这个积分的计算似乎很简单，只要求出 f 的原函数 F 就可以得出积分（ 1 1）的值，即 ( ) ( ) ( )I f F b F a （ 1 2） 如果原函数 F 非常简单又便于使用，那么式（ 1 2）就提供了计算起来最快的积分法但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分 1dxx 可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分 2xe dx ，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（ 1
7、 2）来计算之前还得三思而行 1例如 242 21 1 2 1 2 1a r c ta n ( ) l n112 2 4 2 2 1x x xd x Cxx xx （ 1 3） 采用式（ 1 3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题由式（ 1 3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度 因此可以 看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的因 此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法 2 通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿 -科茨求积公式， 复合求积公式，龙 贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题
8、构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的 n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式特别在节点分布等距的情形称为牛顿 -柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式但它们的精度较差龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平 均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分 3 各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分
9、的效率和步骤各种数值积分的方法 牛顿 -科茨求积公式，复合求积公式， 龙贝格积分法，高斯求积公式等，每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当2 的 采取 相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼 3 2 牛顿 -科茨求积公式 2.1 公式的一般形式 将积分（ 1 1）中的积分区间 ,ab 分成 n 等分，其节点 kx 为 1, ( )kx a kh h b an ( 0,1, , )kn 对于给定的函数 f ，在节点 kx ( 0,1, , )kn 上的值
10、()kfx 为已知那么 f 在 n+1 个节点01, , , nx x x 上的 n 次代数插值多项式为 0 0( ) ( )nn jnkk j kjjkxxp x f xxx 如果记 x a th ，则上式可以写为 0 0( ) ( )nnnkk jjktjp x f xkj （ 2 1） 在积分（ 1 1）中的被积函数 f 用其 n+1 个节点的代数插值多项式 ()npx来代替，可 得 ( ) ( ) ( ) ( )bbnnaaI f f x d x I f p x d x 多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为 0( ) ( ) ( )nn n kkI f I f A f x ， （
11、2 2） 其中 ()0 0 ( ) ,nn nkkjjkb a t jA d t b a cn k j (2 3) ()0 0( 1 ) ()! ( ) !nk nnnk jjkc t j d tk n k n (2 4) 公式（ 2 2）称为 牛顿 -科茨求积公式 4或称为 等距节点求积公式 ， kA 称为求积公式系数， ()nkc称为科茨求积系数 牛顿 -科茨求积公式的误差估计 ()nEf ( ) ( )nI f I f，由下面定理给出 定理 2 1 (1) 如果 n 为偶数， ( 2)nf 在 ,ab 上连续，则有 3 ( 2 )( ) ( ) , ,nnnnE f c h f a b，
12、 （ 2 5） 4 其中 201 ( 1 ) ( 2 ) ( )( 2 ) ! nnc t t t t n d tn (2) 如果 n 为奇数， ( 1)nf 在 ,ab 上连续，则有 2 ( 1 )( ) ( ) , ,nnnnE f c h f a b， （ 2 6） 其中 01 ( 1 ) ( 2 ) ( )( 1 ) ! nnc t t t t n d tn 定义 2 1 如果求积公式0( ) ( )nbkka kf x dx A f x 对所有次数不高于 n 的代数多项式等式精确成立，但存在 n+1 次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有 n 次代数精度 由定理 2 1 可
13、知，牛顿 -科茨求积公式（ 2 2）的代数精度至少是 n 次，而当 n 是偶数时，（ 2 2）的代数精度可达 n+1 次 2 2 梯形公式 在牛顿 -科茨公式（ 2 2）中，取 n=1时 (1) (1)011 ,2cc所以有 1( ) ( ) ( ) ( )2baI f I f f a f b （ 2 7） 公式（ 2 7）称为 梯形公式 5，如果用 连接 , ( )a f a 和 , ( )b f b 的直线来逼近 f ，并对这线性函数进行积分可得到 1()If再用 1()If来逼近 ()If 定理 2 2 若 2 ,f C a b ，则梯形公式（ 2 7）的误差为 311 1( ) ( )
14、 ( ) ( ) ( ) , ,12E f I f I f b a f a b 2 3 辛普森公式 在牛顿 -科茨公式（ 2 2）中 ,取 n=2，则有 220 011( 1 ) ( 2 ) ,46c t t d t 221 014( 2 ) ,26c t t dt 222 011( 1) ,46c t t dt 由此得到 2( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) .32h a bI f I f f a f f b （ 2 8） 5 其中 1()2h b a式（ 2 8）称为 辛普森公式 6 定理 2 3 若 4 ,f C a b ，则辛普森公式（ 2 8）的误差为 5 ( 4 )22 1
15、( ) ( ) ( ) ( ) , ,90E f I f I f h f a b 6 3 复化求积公式 上面已经给出了计算积分 ( ) ( )baI f f x dx的 3 个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿 -科茨公式，并给出了它们误差的表达式由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间， ()If等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果 累加，所得到的
16、求积公式称为 复化求积公式 7 将积分区间 ,ab 作 n 等分，并记 , , 0 , 1 , ,kbah x a k h k nn ，于是 110( ) ( )kkn xxkI f f x dx 3 1 复化梯形求积公式 如果需要求出一个已知函数 ()fx在一个很大区间 ,ab 上的积分，那么我们可以把区间分成n个长度为 xh 的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加于是就得到了计算定积分的 复化梯形公式 8： 11 0 1 2 10( ) ( ) ( 2 2 2 )22nbi i n na i hhf x d x f f f f f f f (3.1) 整体积分
17、误差等于 n 个小区间上的积分误差之和： 整体误差 = 312( ) ( ) ( )12 nh f f f ， 其中 i 是第 i 个小区间上的某一点如果 ()fx在区间 ,ab 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间 ,ab 上存在点 使得 ( )if 的平均值等于 ()f 于是由于 nh b a ,有 整体误差 = 3 22( ) ( ) ( )1 2 1 2n h b af h f O h ， 局部误差是 3()Oh ，整体误差是 2()Oh 3.2 复化辛普森求积公式 对于积分 ()ba f xdx，将 ,ab 等分，每个小区间长度 bah n ，节点记为 ( 0 ,1 , 2 , , )kx a kh k n ，第 k 个小区间记为 1 , ( 1, 2 , , )kkx x k n 记 1,kkxx 的中点为
