1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 导数的数值计算方法 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 :导数主要用于描述函数变化率 本文着重讲了几种推导数值微分公式的常用方法 ， 如差商法 ， 插值多项式求导法，理查森外推法，以及将微 分问题转化为积分问题 还归纳总结了常用的数值微分公式，如中点公式，两点公式和三点公式等 此外，因为微分是非常敏感的问题 ， 数据的微小扰动会使结果产生很大的变化，所以本文对于步长的选取以及截断误差的分析也进行了进一步的说明 关键词 ： 插值型求导 ；理查森外推法；数值微分 II Numerical C
2、alculation of Derivatives Abstract: Derivative is mainly used to describe the function rate of change. The thesis stresses several commonly used methods for deriving numerical differential formulas, such as the difference quotient method, interpolation polynomials derivation method, Richardson extra
3、polation, and transforming the differential problem into integral problem. And this thesis also summarized the commonly used numerical differentiation formulae, such as midpoint formula, two-point formula and three-point formula and other formulae. In addition, the differential is very sensitive, th
4、e tiny disturbance of data will make great change to the data, so the selection of the step and truncation error analysis are also carried out . Key words: Interpolation type derivation; Richardson extrapolation; Numerical Differentiation III 目 录 1 绪论 . 1 1.1 问题的背景 . 1 1.2 问题的意义 . 1 2 常用的推导数值微分的方法 .
5、 3 2.1 差商法 . 3 2.2 插值型求导公式 . 4 2.3 理查森 外推法 . 7 2.4 将微分问题转化为积分问题 . 10 3 Matlab 实例 . 12 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 16 1 1 绪论 1.1 问题的背景 导数概念与运动有密切的联系 .运动在古代只是作为哲学的对象进行定性的研究 . 到十四世纪，人们才认识到可以进一步作定量的研究 . 十七世纪笛卡尔和伽利略才主张对运动中的一些概念做纯数量的研究 . 接着长期的进行了大量的数量计算和无穷小量分析，牛顿于1671年提出变量的变化率叫做“流数” .莱布尼兹于 1673年研究曲线切线的“斜率”，他 们
6、分别从物理和几何两个方面致力于导数概念的研究，深入分析变化率在瞬时状态或局部区域内隐含着的无穷小或微分的作用 .然后展开系统的数量运算，从而初步建立起微积分的理论1,2 . 再者，在人类社会活动中，遇到各式各样的变化率问题，导数就是变化率的精确化，有着广泛的应用 . 由极限方法建立的导数概念，是全部微积分学的最为基本的概念 .在数学发展的历史上，导数是伴随着微分的出现而派生出来的，但是人们很快发现，导数这一概念有其自身的特殊的意义 3 .在处理有关微 分学的问题时，无论是形式地思考还是具体地推演，由导数着手往往比从微分着手更为简洁，因而 导数 在理论研究与实际应用方面都得到了越来越多的重视 .
7、 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度 . 如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上可以归结为函数的变化率问题，即导数问题 . 除此之外，随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部分，而导数由于其应用的广泛性，在经济领域内也常常被涉及，如“边际”和“弹性”是 导数在经济分析应用中的两个重要概念 .在研究函数问题中，导数也提供了有效的方法，如用导数方法研究函数的单调性问题，求函数的极值和最值，求字幕参数的值或取值范围，证明某些不等式等 .相信随着 理论分析和研究的日益深入，导数
8、的理论将更加完善，导数的数值计算方法也将更健全 . 1.2 问题的意义 导数（ Derivative）是 微积分 中的重要基础概念 . 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限 4,5 . 在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可 微分 . 2 可导的函数一定连续 .不连续 的函数一定不可导 .导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则 .随着导数应用的日渐广泛，人们发现，在很多实际情况下不能用导数的定义和元素按法则等解析方法去计算导数，继而，导数的数值解法成为了研究的重点 .数值 微分 (numerical differentiation
9、)根据函数在一些 离散点 的函数值，推算它在某点的 导数 或高阶导数的近似值的方法 6 .通常用差 商 代替 微商 ，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值 .例如一些常用的数值微分公式 (如两点公式、三点公式等 )就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为 近似值的 .此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度 .当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜 .如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数
10、的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用 7 .数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据 .随着对导数的数值研究的深入，对社会各个方面带来了莫大的方便 . 3 2 常用的推导数值微 分的方法 2.1 差商法 最简单的数值微分公式是用向前差商近似代替导数： 000 f x h f xfx h. （ 2.1.1） 类似地，也可用向后差商近似代替导数 000 f x f x hfx h. （ 2.1.2） 或用中心差商近似代替导数 000 2f x h f x hfx h . （ 2.1.3） y T A B C 0 0xh 0x 0xh x 数 值微分示意图（ 2.1.1） 在几何图形上，这
11、 3种差商分别表示弦 AB,AC和 BC的斜率 .将这 3条弦同过 A点的切线AT相比较，从上图可以看出，一般地说以 BC的斜率更接近于切线 AT 的斜率 0fx，因此就精确度而言，以 式（ 2.1.3）更为可取 .称 002f x h f x hDh h （ 2.1.4） 为求 0fx的中点公式 . 现在来考察用式 （ 2.1.4）代替 0fx所产生的截断误差 .首先分别将 0f x h 在 0x 处作 Taylor展开，有 4 2 3 4 40 0 0 0 0 0 2 ! 3 ! 4 !h h hf x h f x h f x f x f x f x 5 5 05!h fx . 然后代入中
12、点公 式（ 2.1.4），得 24 50 0 0 3 ! 5!hhD h f x f x f x . 所以截断误差 24 50 0 0 3 ! 5!hhf x D h f x f x （ 2.1.5） 由此可以得到：从截断误差的角度来看，步长 h 越小，计算结果越准确 .但从计算角度看， h 越小， 0f x h 与 0f x h 越接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差的角度看步长 h 不宜 取 的太小 .怎样选取合适的步长呢？可采用二分步长及误差事后估计法，即比较二分前后所得值 Dh与 2hD，若 2hD h D ，则 2h 为所需的合适的步长且 02hD f x. 2.2
13、 插值型求导公式 对于列表函数 y f x x 0x 1x nx y 0y 1y ny 应用插值原理 ,可以建立插值多项式 npx作为 fx的近似 .由于多项式的求导比较容易 ,因此可以取 npx的值作为 fx的近似值 ,这样建立的数值公式 nf x p x （ 2.2.1） 统称为插值型求导公式 8,9 . npx的截断误差可由 npx的截断误差求导数得到 .因为 5 1 11!nnnff x p x W xn 式中， ,ab 且依赖于 x ； 1 0nnjjW x x x .于是 npx的截断误差为 1 111 1 ! 1 !n nnnnf W x df x p x W x fn n d
14、x .（ 2.2.2） 由于 是 x 的位置函数，因此求 1nd fdx 较麻烦，一般都限定求某个节点 kx 上的导数值，此时（ 2.2）右端的第 2项由于 1 0nkWx 而变为 零，这时 npx的截断误差为 11 1!nk n k n kff x p x W xn . （ 2.2.3） 由于以上的原因，以下仅考察节点处的导数值，为简化讨论，假定所给节点是等距的11,10 . 下面列出几个常用的数值微分公 式 . 2.2.1 两点公式 过节点 01,xx做线性插值多项式 1px，并记 10h x x，则 011 0 1xxxxp x f x f xhh 两边求导数得 1 1 01p x f
15、x f xh 于是得两点公式 0 1 1 01f x f x f x f xh 其截断误差为 101122hR x fhR x f . 2.2.2 三点公式 过等距节点 0 1 2,x x x 作二次插值多项式 2px，并记步 长为 h ，则 6 1 2 0 2 0 12 0 1 22 2 222x x x x x x x x x x x xp x f x f x f xh h h 两边求导数得 0 2 0 1122 0 1 22 2 2222 22x x x x x xx x xp x f x f x f xh h h 于是得三点公式 0 0 1 21 2 02 0 1 21 3 42121 4 32f x f x f x f xhf x f x f xhf x f x f x f xh 其截断误差为 22 0 2 022 1 2 122 2 2 21 31 61 3R x f x p x h fR x f x p x h fR x f x p x h f 如果要求 fx的二阶导数，可用 2px作为 fx的近似值，于是有 2 0 1 221 2iif x p x f x f x f xh 其截断误差为 22 iif x p x h. 2.2.3 五点公式 过五个节点 0 , 0 ,1, 2 , 3 , 4ix x ih i 上的函数值，重复同样的手续，不难导出下列五点公式：
