1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 矩阵初等变换在线性代数中的应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 矩阵是线性代数的重要研究对象，其中，矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是线性代数中一种 重要的计算工具。矩阵的初等变换在线性代数中用途很广，而且使用方便。他可以利用到求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩，求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中。本文主要通过大量的计算实例深入讨论矩阵的初等变换在线性代数中的实际应用
2、，并总结出一些实用的计算方法与技巧。 关键词 ： 矩阵；矩阵初等变换；线性代数；应用 Matrix elementary transformation in the application of linear algebra Abstract: Matrix is linear algebra, the important research object, Among them, Matrixs elementary transformation originated in solving linear equations, Is a basic concept of linear algeb
3、ra, Is a very important linear algebra to the computational tool. Matrix in the elementary transformation in linear algebra USES is very wide, Use convenient too. It can use to beg the value of gram determinant, solving linear equations, the inverse matrix, ask matrix;, for the rank of matrix transi
4、tion matrix, o vectors of the rank and vector group with maximal linear impertinent groups, solution equations, HuaEr times; for standard and type problems such as standard orthogonal basis. This paper mainly through a lot of calculating examples in-depth discussions of elementary transformation mat
5、rix in application of linear algebra, and summarize some practical calculation methods and skills. Key words: matrix; Matrix elementary transformation; Linear algebra; application 目 录 1 绪 论 .1 1.1 问题的背景 .1 1.2 问题的意义 .1 2 矩阵和线性代数 概念介绍 .3 2.1 线性代数和矩阵关系 .3 2.2 线性代数和矩阵初等变换的概念介绍 .3 2.3 线性代数和矩阵的历史背景 .4 2.
6、4 线性代数和矩阵的现状及其基本功能 .5 3 矩阵初等变换 的求解 .7 3.1 矩阵的初等行（列）变换 .7 3.2 初等矩阵的性质 .7 4 矩阵初等变换在线性代数中 的应用 .10 4.1 矩阵初等变换解决线性代数问题的步骤 .10 4.2 矩阵初等变换的几个简单应用 .10 4.3 矩阵初等变换关于线性代数的几种应用举例 .12 4.3.1 用矩阵初等变换求多项式的最大公因式 .12 4.3.2 用矩阵初等变换求逆矩阵 . 13 4.3.3 用矩阵初等变换求解矩阵方程 .13 4.3.4 用矩阵初等变换求矩阵的秩、向量组的秩 、极大线性无关组 .13 4.3.5 用矩阵初等变换解线性
7、方程组 .14 4.3.6 用矩阵初等变换求过度矩阵 .15 4.3.7 用矩阵初等变换化二次型为标准型 .16 4.3.8 用矩阵初等变换求标准正交基 .17 5 结论 .19 参考 文献 .20 致 谢 .211 1 绪 论 1.1 问题的背景 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关 系是以一次形式来表示的 ，含有 n 个未知量的一次方程称为线性方程 .线性关系问题简称线性问题，解线性方程组的问题是最简单的线性问题 . 矩阵是线性代数的重要研究对象，其中，矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是线性代数中一种重要的计算工具。矩
8、阵的初等变换在线性代数中用途很广，而且使用方便。他可以利用到求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩，求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及 求标准正交基等问题中。 矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。 1 矩阵 初等变换法是线性代数中最基本的方法之一。初等
9、变换法是线性代数中最基本的方法。在解决线性问题时具有步骤简单、运算量小、易于掌握等优点。 1.2 问题的 意义 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。例如向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 、 散度 、 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 /dydx 在数学上不过是
10、一个符号 , 表示包括 /yx的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用 。 文章就详细地总结了矩阵2 的初等换在求逆矩阵 、 求矩阵的秩 、 求过渡矩阵 、 求向量组的秩及向量组的极大线性无 关组 、 解方程组 、 化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用 。本文就讨论 应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些
11、问题 。 2 3 2 矩阵和线性代数概念介绍 2.1 线性代数和矩阵关系 矩阵是解决实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是重要的数学工具。在解线性方程组和 n 维向量组的计算以及经济生产计算中起着重要作用。本习题集只对其作一些基本介绍，作一些矩阵计算的习题。 矩阵在形式上好 像与行列式相同，也有行和列，但其实它与行列式完全不同。行列式有其数值，而矩阵就是一个矩形数表也可以是一个方形数表，这时也叫“方阵”。然而，矩阵也不是与行列式一点联系也没有，在求逆矩阵时就要用它的行列式；同样矩阵也与行列式一样能用来解多元性方程组而且更方便。 2.2 线性代数和矩阵初等变换的概念介绍 2.2.1 线性代
12、数的概念介绍 线性代数（ Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量 ，向量空间 （或称线性空间） ，线性变换 和有限维 的线性方程组 。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而， 线性代数被广泛地应用于抽象代数和 泛函分析 中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于 自然科学 和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程 的重要内容。 2.2.2 矩阵初等变换的概念介绍 初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类： 1. 位置变换：矩阵的两
13、行（列）位置交换； 2. 数乘变换：数 k 乘以矩阵某行（列）的每个元素； 3. 消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数 k ，然后 加到 另外一行（列）上。 3 初等矩阵 ： 由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。 则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。 1. 交换 阵 ,Ei j ：单位矩阵第 i 行与第 j 行位置交换而得； 2. 数乘阵 Ei k ：数 k 乘以单位矩阵第 i 行的每个元素（其实就是主对角线的 1 变成 k ）； 3. 消元阵 Eij k ：单位矩阵的第 i 行元素乘以数 k ，然后 加到 第 j 行上。 以 上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变
14、换而得。 4 4 2 3 线性代数和矩阵的历史背景 2.3.1 线性代数的历史背景 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完 成了到 n 维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点 1888 年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广
15、了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “ 代数 ” 这一个词在 我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成 “ 阿尔热巴拉 ” ，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家 李善兰 才将它翻译成为 “ 代数学 ” ，一直沿用至今。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术）。 线性代数在数学、力学、 物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设
16、计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算 机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 5 2.3.2 矩阵的历史背景 根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于 19 世纪 50 年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。 然而，在公元前我国就
17、已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有描述，只是5 没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它的解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。 1850 年，英国数学家西尔维斯特（ SylveSter， 1814 1897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组时， 由于无法实用行列式，所以引入了矩阵的概念。 1855 年，英国数学家凯莱（ Caylag， 1821 1895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁，方便，引入了矩阵的概念。 1858 年，凯莱在矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零距阵等概念，以及利用伴随阵的
18、方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零距阵等结论，定义了转置阵、对称阵，反对称阵等概念。 1878 年，德国数学家弗罗伯纽斯（ Frobeniws， 1849 1917）在他的论文中引入了 矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子等概念，证明了 2 个 矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义， 1879 年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。 矩阵的理论发展非常迅速，到 19 世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到 20 世纪，矩阵理论得 到了进一步的发展。目前，它已经发展成为在物理，控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有
19、大量的应用数学分支。 6 矩 阵的来源正式线性方程组的求解。这方面的工作最早应该是出现在九章算术中，其中 “ 方程 ” 一章中解线性方程时用了类似于现代的矩阵的方法，称为 “ 遍乘直除法 ” 。但是，矩阵作为一个独立的概念却是源于行列式的研究，那时矩阵是作为行列式的一个推广，因此它的基本性质在它的概念产生之前就已经建立的很完善了。 “ 矩阵 ” 一次是西尔维斯特给出的（ 1850），不过他仅仅是把这概念用于表达一个行列式。把矩阵作为一个独立的概念研究的最早是凯莱。他在矩阵论的研究报告（ 1855）中，从基本概念开始，定义矩阵的各种运算。这就是矩阵的来源。 2.4 线性代数和矩阵的现状及其基本功
20、能 2.4.1 线性代数的现状及其基本功能 线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用 的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的 “ 有6 序 ” 列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，
21、在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（ GNP）。当所有国家的顺序排定之后 ，比如 (中国 , 美国 , 英国 , 法国 , 德国 , 西班牙 , 印度 , 澳大利亚 )，可以使用向量 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8v v v v v v v v 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。 作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在
22、向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。 向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。 我们可以简单地说数学中的线性问题 -那些表现出线性的问题 是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性 问题的差异是很重要的。 线性代数方法是指使用线性观点看
23、待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。 2.4.2 矩阵初等变换的现状及其基本功能 矩阵是线性代数的重要的研究对象。矩阵的初等变换是线性代数中的一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换们可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 现在我们用到的矩阵初等变换，很大部分用于数学中利用初等变换化矩阵的标准形；利用初等变换求逆矩阵；利用初等变换求矩阵 的秩；行列式的计算；求线性方程组的解；确定向量组的线性相关性；确定一向量能否由另一向量线性表出；求向量的秩与极大无关组。矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，但是由于这些计算格式有不同的原理，所以他们之间也有区别。
