1、2018 学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考 高三年级 数学试题 选择题部分 （共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 , 3 , 9 , 1 1 U A B ，则 ()UAB （ ） A B. 1,3 C. 9,11 D. 5,7,9,11 2. 双曲线 2 2 1x ya 的一条渐近线方程为 3yx ，则正实数 a 的值为（ ） A. 9 B. 3 C. 13 D.19 3. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ( 3i)
2、(1 2i) 10z ，则 z 为（ ） A. 2i B. 2i C. 12i D. 12i 4. 已知函数 13( ) log 3xf x x ，且 ( 1) 10fx ，则实数 x 的取值范围是（ ） A. (0,4) (4, ) B. (0,4 C. (4, ) D. (1,4 5. “直线 3 4 0x my 与直线 ( 1) 2 2 0m x y 平行”是“ 3m ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数 2(3 2 ) xy x x e的图象大致是（ ） A B C D 7. 已知函数 ( ) s in 2
3、3 c o s 2f x x x m 在 0, 2 上有两个不同的零点，则 m 的取值范围为（ ） A. 3,2) B. 3, 3) C. 3,2) D. 0,2) 8. 设 a 为正数， 3 2 2( ) 6f x x ax a ，若 ()fx在区间 (0,3)a 不大于 0，则 a 的取值范围是（ ） A 1(0, 27 B. 1(0, )27 C. 1( , )27 D. 1 , )27 9. 12, ee均为单位向量，且它们的夹角为 45 ，设 , ab满足2 1 22| | , 4a e b e k e ( R)k ，则 |ab 的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C. 24 D
4、. 324 10. 设实数 ,bcd 成等差数列，且它们的和为 9，如果实数 ,abc 成等比数列，则 a b c 的取值范围为（ ） A. 9( , )4 B. 9( , )4 C. 9 ,3) (3, )4 D. 9( , 3) ( 3, )4 非选择题部分 （共 110 分） 二、填空 题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11. 公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（ Apollonius）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨 迹 为 直 线 或 圆 . 后 世 把 这 种
5、圆 称 之 为 阿 波 罗 尼 斯 圆 . 已知直角坐标系中( 2, 0), (2, 0)AB ，则满足 | | 2 | |PA PB 的点 P 的轨迹的圆心为 ，面 积为 . 12. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为 1 的半圆， 则该几何体的体积为 ，表面积为 . 13. 2 10( 1)xx 展开式中所有项的系数和为 ， 其中 3x 项的系数为 . 14. 已知 ,ab为实数，不等式 22| | | 7 1 2 |x a x b x x 对一 切实数 x 都成立，则 ab . 15. 已知函数 ( ) s in 2 ( 0 )f x x x x ，则函数 ()fx的最小的极值
6、点为 ；若将()fx 的极值点从小到大排列形成的数列记为 na ，则数列 na 的通项公式为 . 16. 甲、乙、丙 3 人同时参加 5 个不同的游戏活动，每个游戏最多有 2 人可以参与（如果有 2人参与同一个游戏，不区分 2 人在其中的角色），则甲、乙、丙 3 人参与游戏的不同方式总数是 . 17. 直线 l 与椭圆 2 2:12xCy相交于 ,AB两点， l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 ,CD两点 .如果 ,CD是线段 AB 的两个三等分点，则直线 l 的斜率为 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（本题满分 14 分）在 ABC
7、 中，角 ,ABC所对的边分别为 ,abc ，已知 2c 且cos cos .c A b C b （ I）判断 ABC 的形状； （ II）若 6C ，求 ABC 的面积 . 19.（本题满分 15 分）如图，已知四棱锥 P ABCD ， 底面 ABCD 为矩形， 且侧面 PAD 平面 PBC ， 侧面 PAD 平面 PBC l ， PDC 为正三角形， 2.CD （ I）求证： /l BC ； （ II）求直线 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值 . 20.（本题满分 15 分）数列 na 满足 11 1 12 , ( 2 1 ) 2 ( 2 ) ( N * )nn n n na n a
8、a a a n . （ I）求 23, aa的值； （ II）如果数列 nb 满足 2nnnab ，求数列 nb 的通项公式 nb . 21.（本题满分 15 分）已知抛物线 1C 的方程为 2 2xy ，其焦点为 F ， AB 为过焦点 F 的抛物线 1C 的弦，过 ,AB分别作抛物线的切线 12,ll，设 12,ll相交于点 P . （ I）求 PAPB 的值； （ II）如果圆 2C 的方程为 228xy，且点 P 在圆 2C 内部，设直线 AB 与 2C 相交于 ,CD两点，求 | | | |AB CD 的最小值 . 22.（本题满分 15 分）已知函数 2( ) ln .f x x
9、ax x （ I）判断 ()fx的单调性 ； （ II）若函数 ()fx存在极值，求这些极值的和的取值范围 . 2018 学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考 高三年级 数学试题参考答案 选择题部分 （共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 C 2 D 提示：双曲线 2 2 1x ya 的渐近线方程为 xya，由题意 1 3a，所以 19a 3 A 提示： 由 3 i 1 2 i 10z 得 2iz，所以 2iz 4. D 提示： 由函数解析式易知 13log 3xf x x 在 0, 上为增函数
10、，且 1 10 3f x f ，所以原不等式等价于 13x ，解得 4x ，再结合 10x 得 14x 5. B 提示： 由 3 2 1 0mm 得 3m 或 2m ，经检验 3m 或 2m 时，直线 3 4 0x my 与直线 1 2 2 0m x y 平行 . 6. A 提示：由 fx的解析式知只有两个零点 23x与 0x ，排除 B；又 23 8 2 xf x x x e ，由 0fx 知函数有两个极值点，排除 C， D，故选 A 7 C 提示： 2 s in ( 2 )3f x x m ， 由图知 fx在 0,12上单调递增，在 ,122 上单调递减，又 0 3 , 212ff， fx
11、在 0,2上有两个零点，故 3,2m 8 A 提示： 当 0,3xa 时， 23 1 2 3 4 0f x x a x x x a ， fx在 0,3a 上单调递增因此 23 27 1f a a a0 ，解得 1027a xy- 321223O9 C 提示： 12OB b e ke （ kR ）表示点 B 在与 2e 平行的水平线 l 上运动，2 24ae表示点 A 在以 C （点 C 在 2e 所在直线的反向延长线上，且 1OC ）为圆心， 24为半径的圆圆上运动，过圆心 C 作直线 CB l ，交圆 C 于点 D ，m i n2 2 22 4 4a b B D ，即 ab 的最小值为 24
12、 10 答案： C 提示： 设这 4 个数为 23 , 3 , 3 , 33m mm ，且 a b c k ， 于是 23 333m mk ，整理得 2 9 27 3 0m m k ，由题意上述方程有实数解且 3m 如 3m ，则 3k ，而当 3k时， 3m 或 6，当 6m 时， 3a ， 3b ， 3c ，此时，其公比 1 ，不满足条件，所以 3k ， 又 8 1 4 2 7 3 1 2 2 7 0kk ， 综上得 94k且 3k 非选择题部分 （共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11. 10,03， 649 提示：设
13、 ,Pxy ，由 2PA PB 得 2 210 6439xy 123， 1522 提示：该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置。所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。所以其体积为 1 23 2 3 ，表面积为1 2 3 15 22S S S S ，其中 21 122Sr，2 1522S rl，3 1 2 2 22S 13. 1， 210 提示：令 1x 即得各项系数和若要凑成 3x 有以下几种可能：（ 1）： 1 个 2x ， 1 个 x ， 8个 1，所得项为： 1 2 1 8 8 31 0 9 8 1 9 0C x C x C x ；（ 2）： 3 个 x ， 7 个 1，所
14、得项为： 33 7 7 310 7 1 12 0C x C x ，所以 3x 项的系数为 210 14. 5 提示：因为 2 7 1 2 3 4x x x x ，所以，在 227 1 2x ax b x x 中，令 3x 与 4x得 3 9 0ab 且 4 16 0ab ，解得 7, 12ab ，所以 5ab 15. 6 ； *31 ,26 ,32 , 2 16nn nka k Nnnk 或 2 1 ( 1)4 1 2 nn na 提示： 11 2 c o s 2 0 c o s 2 2f x x x ，所以 6xk 或 ,6x k k Z .显然数列 na 的1 6a ，2 56a ，于是当
15、 n 为偶数时， 5 3 116 2 6n nna ，当 n为奇数时， 1 1 3 216 2 6n nna 16. 120 提示：第一类，每一个游戏只有 1 人参与，有 35 60A 种参与方法；第二类，有一个游戏有 2人参与，另一个游戏有 1 人参与，有 123560CA种参与方法，所以符合题意的参与方法共有120 种 17. 22 提示：由题意，设直线 l 的方程为 ( 0)y kx m km ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 则 ( ,0)mC k ， (0, )Dm，由方程组 22 12y kx mx y 得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k
16、 m x m ，所以 221 6 8 8 0km ，由韦达定理，得 12 2412kmxx k, 212 22212mxx k .由 ,CD是线段 MN 的两个三等分点，得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合 .所以 12 2412 0kmxx k mk ，解得 22k . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（本题满分 14 分） 解：（ ）因为 cos cosc A b C b，由正弦定理，得 s in c o s s in 1 c o sC A B C， 即 s i n s i n c o s s i n c o sB C A B
17、 C s in s in c o s c o s s inA C A C A C ， 4 分 所以 s in c o s s in c o sB C A C ，故 cos 0C 或 sin sinAB 5 分 当 cos 0C 时， 2C ，故 ABC 为直角三角形； 当 sin sinAB 时， AB ，故 ABC 为等腰三角形 7 分 （ ）由（ ）知 2c ， AB ，则 ab ， 9 分 因为 6C ，所以由余弦定理，得 2 2 24 2 c o s 6a a a ， 解得 2 8 4 3a ， 12 分 所以 ABC 的面积 21 s in 2 326Sa 14 分 19. （本题满
18、分 15 分） 解：（ ）因为 /BC AD ，所以 /BC 平面 PAD ； 2 分 又因为 BC 平面 PBC 且平面 PAD 平面 PBC l ，由线面平行的性质定理知 /l BC .7 分 （ ） 过 P 作 PF BC 交 BC 于 F ，所以 PF l .因为侧面 PAD 平面 PBC ，侧面 PAD 平面 PBC l ，所以 PF平面 PAD ，过 F 作 /EF AB 交 AD 于 F ，连接 PE ，所以FEP 即为直线 AB 与平面 PAD 所成角 10 分 又因为 2 2 2 2 2 2D F D P D F D C P F C F ，所以2PF ，于是在 Rt EPF
19、中， 2sin 2PEF 15 分 D CA BPD CBAPFE解法二：以 DC 的中点为原点，建立空间坐标系 O xyz ，设 0BC t t，则 ,1,0Bt ， ,0,0CB t ，设 OP 与面 ABCD 所成的角为 ，由题意 P 点在面 ABCD 的射影 Q 必在 x 轴上，且由 PCD 是边长为 2 的正三角形得 3 c o s , 0 , 3 s i nP ， 所以 3 c o s , 1 , 3 s i nP B t ， 10 分 设平面 PBC 的一个法向量为 1 ,n x y z ，则 113 c o s 3 sin 00n P B t x y zn CB tx ， 解得
20、 1 0, 3 sin ,1n ， 因为 3 c o s , 1 , 3 s i nP A t ,0,0DA t ， 设平面 PAD 的一个法向量为 2 ,n x y z ，则 223 c o s 3 sin 00n P A t x y zn D A tx ,解得 2 0, 3 sin ,1n ， 12 分 212 30 , 3 s in , 1 0 , 3 s in , 1 1 3 s in 0 s in 3nn ， 所以 1 0,1,1n ， 0,2,0AB ，设 直线 AB 与平面 PAD 所成角为 ，于是112sin2n BCn BC 15 分 20. （本题满分 15 分） 解：（
21、）由已知得 1121( ) 22n nn nnaana （ *nN ），因为 1 2a ，所以 11 12 1121(1 ) 22aaa85 21 23 2221(2 ) 22aaa165 7 分 （ ） 因为 2nnnab ，且由已知可得11 12( ) 22nnnnnaana ， 把 2nn nb a代入得即1 12nnb b n ， 10 分 ， 所以2 1 3 2 11 1 11 , 2 , , ( 1 )2 2 2nnb b b b b b n ， 累加得 21 1 ( 1 ) 1 11 2 3 ( 1 ) 2 2 2 2n n n n n nb b n ， 13 分 又1 1221
22、2b a ，因此 22111n nnb 15 分 21. （本题满分 15 分） 解：（ ）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，因为 10,2F，所以设 AB 的方程为 12y kx，代入抛物线方程得 2 2 1 0x kx ，所以 12,xx为方程的解，从而 121xx ， 3 分 又因为12 112PAxxk x x，22 212PBxxk x x，因此 12 1PA PBk k x x ，即 PA PB ，所以 0PA PB 7 分 （ ） 由（ ）知 121xx ，联立 C1 在点 A， B 处的切线方程分别为 21112y xx x，22212y x x
23、 x ，得到交点 121( , )22xxP 9 分 由点 P 在 圆 内 得 212( ) 31xx，又因为 221 2 1 211 1 ( 2)2A B y y x x ，228CD d，其中 d 为 O 到直线 AB 的距离 11 分 所以 2 2 2121 ( 2) 2 82A B CD x x d . 又 AB 的方程为1211: ( ) 022A B x x y ，所以22212121121 2( ) 14d xxxx ，令 2212m x x ，由 212( ) 31xx得 33m 又由21 211 2mx x ，所以 2,33)m ，从而 ( 2 ) (8 1 5 )A B C D m m 所以，当 m=2 时， m in( ) 2 31AB CD 15 分
