1、源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 1 页 共 25 页 2010年高考 江西理 科数学试题 及答案 源头学子 http:/ 特级教师王新敞 本试卷 分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 4页，共 150 分 考生注意： 1. 答题前 ，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
2、其他答案标号第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答若在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回 参考公式 如果 事件 ,AB互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24SR 如果 事件 ,AB，相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 343VR n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n knnP k C p p 第卷 一 选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5
3、 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知 ( )(1 )x i i y ，则实数 x ， y 分别为 A 1x ， 1y B 1x ， 2y C 1x ， 1y D 1x ， 2y 2 若集合 1,A x x x R ， 2 ,B y y x x R ，则 AB A 11xx B 0xx C 01xx D 3 不等式 22xx 的解集是 A (0,2) B ( ,0) C (2, ) D ( , 0) (0, ) 4 21 1 1lim (1 )3 3 3 nn A 53 B 32 C 2 D 不存在 源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新
4、敞 qq: 12812342 第 2 页 共 25 页 5 等比数列 na 中， 1 2a ， 8 4a ，函数 1 2 8( ) ( ) ( ) ( )f x x x a x a x a ，则 (0)f A 62 B 92 C 122 D 152 6 8(2 )x 展开式中 不含 4x 项的系数的和为 A 1 B 0 C 1 D 2 7 ,EF是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 ，则 tan ECF A 1627 B 23 C 33 D 34 8 直线 3y kx与圆 22( 3) ( 2 ) 4xy 相交于 M， N 两点，若 |MN| 23，则 k 的取值范围是 A 3 ,0
5、4 B 3( , 0 , )4 C 33 , 33 D 2 ,03 9 给出下列三个命题： 函数 1 1 cosln2 1 cos xy x 与 lntan 2xy 是同一函数； 若 函数 ()y f x 与 ()y gx 的图像 关于直线 yx 对称，则函数 (2 )y f x 与1 ()2y g x 的图像 也关于直线 yx 对称； 若 奇函数 ()fx对定义域内任意 x 都有 ( ) (2 )f x f x,则 ()fx为周期函数 其中真命题是 A B C D 10过 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 作直线 l ，使 l 与棱 AB， AD， 1AA 所成的角
6、都相等，这样的直线 l 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 11 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检 测 .方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚 .国王用方法一、二 能发现至少一枚劣币的概率分别记为 1p 和 2p .则 A 12pp B 12pp C 12pp D以上三种情况都有可能 1A1B 1C1DA DCB源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 3 页 共 25 页 OCBA12 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直
7、） 匀速 地 升出 水面 ,记 t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ()St ( (0) 0S )，则导函数()y S t 的图像大致为 A B C D 第卷 二填空题： 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 请把答案填在答题卡上 13已知向量 a ， b 满足 | | 1a ， | | 2b ， a 与 b 的夹角为 60 ，则 |ab . 14将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种 (用数字作答 ). 15 点 00( , )Ax y 在双曲线 2214 32xy的右支上，若点 A 到右焦点的
8、距离等于 02x ，则0x . 16如图，在三棱锥 O ABC 中，三条棱 OA， OB ， OC 两两垂直， 且 OA OB OC，分别经过 三条 棱 OA， OB ， OC 作一个截面平 分三棱锥的体积，截面面积依次为 1S ， 2S ， 3S ， 则 1S ， 2S ， 3S 的 大小关系为 三 解答题： 本大题共 6 小题，共 74 分 解答应写出文字说明 ,证明过程 或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( 1 c o t ) s i n s i n ( ) s i n ( )44f x x x m x x （ 1）当 0m 时，求 ()fx在区间 3 ,
9、84上的取值范围； （ 2）当 tan 2 时， 3()5f ，求 m 的值 tyotyotyotyo源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 4 页 共 25 页 18 （本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机 (即等可能 )为你打开一个通道若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你 未到过 的通道，直至走出迷宫为止令 表示走出迷宫所需的时间 (1)求 的分布列； (2)求 的
10、 数学期望 19 （本小题满分 12 分） 设函数 ( ) ln ln ( 2 )f x x x ax ( 0)a （ 1）当 1a 时，求 ()fx的单调区间； （ 2）若 ()fx在 (0,1 上的最大值为 12 ，求 a 的值 20 （本小题满分 12 分） 如图， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形， 平面 MCD 平面 BCD ， AB 平面 BCD ， 23AB . （ 1）求点 A 到平面 MBC 的距离； （ 2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 . MDCBA源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第
11、5 页 共 25 页 21 （本小题满分 12 分） 设椭圆 1C ： 22 1( 0 )xy abab ，抛物线 2C ： 22x by b. (1) 若 2C 经过 1C 的两个焦点，求 1C 的离心率； (2) 设 5(0 , ), (3 3 , )4A b Q b，又 MN、 为 1C 与 2C 不在 y 轴上的两个交点，若 AMN的垂心为 3(0, )4Bb，且 QMN 的重心在 2C上，求椭圆 1C 和抛物线 2C 的方程 22 （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （ 1） 对任一正整数 a ，都存在正整数 , ( )bc b c ，使得 2 2 2,abc成等差数列； （
12、2）存在无穷多个互不相似的三角形 n ,其边长 ,nnna b c 为正整数且 2 2 2,n n nabc成等差数列 . NxQM Oy源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 6 页 共 25 页 2010 年 普通 高等学校 招生全国 统一考试 （ 江 西 卷） 理科 数学 参考答案 一、 选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C B D A C D B A 1 D 【解析】本题考查复数的运算以及复数相等的条件 . yixixiix 1)
13、1(）（ ，则由复数相等条件，可解得 x=1， y=2. 2 C 【解析】本题考查集合的交集运算以及绝对值不等式的解法 .集合 A=x|-1 1x ，集合 B=y|y 0 ，所以 10| xxBA . 3 A 【解析】本题考查绝对值不等式的解法 .由题意可知 .20,02 xxx 4 B 【 解 析 】 本 题 考 查 求 解 数 列 的 极 限 值 问 题 . 设)311(233113113131311S2 nnnn ，所以 23lim nn S. 5 C 【解析】 本题考查导数求值问题和等比数列的性质：若 m+n=p+q，则 qpnm aaaa .由题意可知 . 124481821 28)
14、()0( aaaaaf . 6. B 【解析】本题考查应用通项公式求解二项展开式中的指定项的系数问题 .以及二项式系数和问题 .令 x=1，则 8(2 )x 展开式中的项的系数和为 1.又由通项公式可求 4x 项的系数为88 1C 。所以 8(2 )x 展开式中不含 4x 项的系数的和为 0. 7 D 【解析】本题考查了平面 向量的数量积的坐标运算和求解向量夹角问题 . 如图所示，以 C 为原点建立平面直角坐标系，设 AB=BC=1,则 AB= 22，因为 E,F 是三等分点，故 E,F 点的坐标分别为 E( 12,33),F(21,33),所以 1 2 2 1( , ), ( , )3 3
15、3 3C E C F，则由向量的夹角公式可得 c o s| | |C E C FE C F C E C F 1 2 2 143 3 3 314 599 .所以可求得 3tan 4ECF. 4321- 1- 2- 3- 6 - 4 - 2 2 4 6FEC BA源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 7 页 共 25 页 8 B 【解析】本题考查直线与圆的位置和弦长问题以及利用数形结合思想解题的能力 .直线过定点 (0,3).当直线与圆的相交弦长为 32 时，由垂径定理定理可得圆心到直线的距离d=1，再由点到线的距离公式可得 k 11 |332|
16、2 kk，解得 k 33 .结合图象可知当直线斜率满足 33,33k 时，弦长 23MN . 9.C 【解析】本题考查了函数的三要素：定义域、值域、解析式；考查了反函数的图象关系；考查了函数的奇偶性、周期性 .中的两个函数的值域不一样，故此项错误；中的两个函数 y=f(x)和函数 y=g(x)互为反函数，则可判断函数 y=f(2x)和函数 y=12 g(x)也互为反函数，故此项正确；中可得 f(x)=f(x-4)，故可判断函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，故此项正确 . 10.D【解析】本题考查正方 体的结构特征和线线角问题 .另外本题也考查了学生的空间想象能力和图形的迁移能力 .满足与
17、线段 AB,AD,AA1 成角相等的直线在如图所示的正方体中，就是其体对角线 AC1 所在的直线 .如图所示，将 AD,AB 所在的线段延长，则可得到四个正方体，则在每个正方体中都存在一条体对角线，使其与线段 AB,AD,AA1 成角相等，故选择 D. 11 B 【解析】本题考查离散型随机变量的概率问题，本题考查了对立事件，即正难则反的思想的应用 . 1 0 5129 9 9 9 9 81 ( ) , 1 ( )1 0 0 1 0 0 9 9pp ，比较可知选择 B. 12 A 【解析】本题考查导数的几何意义 .导函数 ()y S t 即是为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时
18、，面积由 0 开始，逐渐增多，当一个角都出完了，则面积一下由最大开始减小，由图象可知单位时间的面积率会在增加，然后减小，结合选项只有 A正确。 - 1.已知（ x+i）（ 1-i） =y，则实数 x， y 分别为（ ） A.x=-1， y=1 B. x=-1， y=2 C. x=1， y=1 D. x=1， y=2 【答案】 D 【解析】 考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得 2( ) (1 )x i x i y ，没有虚BDA 1A源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 8 页 共 25 页 部， x=1,y=2. 2.若集合 A =
19、| 1x x x R， ， 2B = |y y x x R， ，则 AB =（ ） A. | 1 1xx B. |0xx C. | 0 1xx D. 【答案】 C 【解析】 考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、 B； | 1 1A x x ， | 0B y y,解得 A B = x|0 1x。在应试中可采用特值 检验完成。 3.不等式 22xx 的解集是 （ ） A. (02)， B. ( 0)， C. (2 )， D. (0 ) （ - ， 0） ， 【答案】 A 【解析】 考查绝对值不等式的化简 .绝对值大于本身，值为负数 . 2 0xx ，解得 A。 或
20、者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 4. 231 1 1 1li m( 1 )3 3 3 3 nn （ ） A. 53 B. 32 C. 2 D. 不存在 【答案】 B 【解析】 考查等比数列求和与极限知识 .解法一：先求和，然后对和取极限。1133lim ( )1 213nn5.等比数列 na 中， 1 2a ， 8a =4，函数 1 2 8( ) ( ) ( )f x x x a x a x a ，则 0f （ ） A 62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】 C 【解析】 考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识， 综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和
21、方法 。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则 0f 只与函数 fx的一次项有关；得： 4 1 21 2 3 8 1 8( ) 2a a a a a a 。 6. 82 x 展开式中 不含 4x 项的系数的和为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞 qq: 12812342 第 9 页 共 25 页 【答案】 B 【解析】 考查对 二项式定理和二项展开式的性质 ，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 4x 项系数 8 0 88 2 ( 1) 1C 即为所求，答案为 0. 7.E，
22、F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan ECF（ ） A. 1627 B. 23 C. 33 D. 34 【答案】 D 【解析】 考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1：约定 AB=6,AC=BC=32,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦定理得 4cos 5ECF， 解得 3tan 4ECF 解法 2：坐标化。 约定 AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（ 0,3）利用向量的夹角公式得 4cos 5ECF，解得 3tan 4ECF。 8.直线 3y kx与圆 223 2 4xy 相交于 M,N 两点，若 23MN ，则 k 的取值范
23、围是 A. 304，B. 3 04 ， ，C. 3333， D. 203， 【答案】 A 【解析】 考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察 数形结合的运用 . 解法 1： 圆心的坐标为（ 3.， 2），且圆与 y 轴相切 .当 | MN | 2 3 时 ，由点到直线距离公式，解得 3 ,04 ； 解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取 ，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 9给出下列三个命题： 函数 1 1 cosln2 1 cos xy x 与 lntan 2xy 是同一函数； 源头学子 http:/ http:/ 特级教师 王新敞
24、 qq: 12812342 第 10 页 共 25 页 若函数 y f x 与 y g x 的图像关于直线 yx 对称，则函数 2y f x 与 12y g x 的图像也关于 直线 yx 对称； 若奇函数 fx对定义域内任意 x 都有 (2 )f x f x，则 fx为周期函数。 其中真命题是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同， 错误； 排除A、 B，验证 , 2 ( ) ( 2 )f x f x f x ,又通过奇函数得 ()f x f ，所以 f（ x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。 10.过正方体 1 1 1
25、 1ABCD A B C D 的顶点 A作直线 L，使 L与棱 AB , AD , 1AA所成的角都相等，这样的直线 L 可以作 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【答案】 D 【解析】 考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1， 第二类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚
26、。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1p 和 2p ，则 A. 1p = 2p B. 1p 2p D。以上三种情况都有可能 【答案】 B 【解析】 考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为110 ，总概率为 0 0 10101 (0.1) (0.9)C ；同理，方法二：每箱的选中的概率为 15 ，总事件的概率为0 0 55 141 ( ) ( )55C ，作差得 1p 2p 。 12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时 刻 五角星 露出 水面部分的图形面积为 00S t S ，则导函数 y S t 的图像大致为
