1、 竞赛 试 题 及 参考 答案 第 1 页 共 6 页 广东第二师范学院第 三 届数学建模竞赛 试题及参考解答 一、 最大收益 某食品厂生产型和型饼干 .在每种饼干的生产过程中，都需要使用搅拌机（ A）、成型机（ B）和烘箱（ C）三种设备 .已知每生产一吨型饼干需要在 A、 B、 C 上工作的时间分别为 4、 5、 8 小时 .对型饼干，相应的时间为 6、 4、 3 小时 .每生产一吨、型饼干均可获得利润 7 百元 .这些饼干在市场上都很畅销 .但由于条件限制， A、 B、 C 每天可供利用的工时不能超过 24、 20、 24 小时，试问应如何安排每天、型饼干的生产量，才能使该厂获得最大的收
2、益？ 解： 设每天、 型饼干的生产量分别为 12,xx吨，每天的利润为 Z ，则此问题的数学模型为： 12maxZ 7 7xx s.t.121212124 6 245 4 208 3 24,0xxxxxxxx -（ 10 分） 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解 可行域为：由直线 1 1 2: 4 6 24l x x， 2 1 2: 5 4 20l x x， 3 1 2: 8 3 24l x x以及0, 0xy组成的凸五边形区域 .直线 12: 7 7l x x c在可行域内平行移动 . -（ 18 分） 易知：当 l 过 1l 与 2l 的交点时， Z 取最大值 . 竞赛 试 题 及
3、 参考 答案 第 2 页 共 6 页 由 12124 6 245 4 20xxxx 解得 1212 720 7xx 此时 m a x 1 2 2 07 7 3 277Z (百元 ). -（ 25 分） 故每天生产型饼干 127 吨，型饼干 207 吨，相应的收益最大是 3200 元 . 二、 快件派送 如图，快递员从 C3 骑车出发往 A2、 C1、 E2 三处送快件，然后回到 C3.图中数字单位为hm(百米 )，假设车速为 15km/h，送快件时每处耽误 5min，试为快递员设计一条最短路线 .问从出发算起 30min 内该快递员能否回到出发地点？ 解： 第一步：先找出 C3到达 A2、 C
4、1、 E2各点间最短距离如下表： (单位 hm) 从 到 C3 A2 C1 E2 C3 0 9 8 10 A2 9 0 11 16 C1 8 11 0 8 E2 10 16 8 0 -（ 10 分） 第二步：将第一步中表格转化为各地点间的加权无向图 G(见下图 ) 1.C3； 2.A2； 3.C1； 4.E2 图 各点间加权无向图 -（ 17 分） 第三步，按最优邻近法求最佳线路的具体过程如下： 16 竞赛 试 题 及 参考 答案 第 3 页 共 6 页 开始于顶点 1，组成闭回路 11，在下一阶段最邻近 1 的顶点为顶点 3，建立闭回路 131，顶点 4 最邻近顶点 3，建立闭回路 1341
5、. 将顶点 2 插入上面闭回路，得到 6 个闭回路是 13421、 13241、 14321、 14231、 12341、12431，它们的长度分别为 41、 45、 38、 45、 38、 41.在这些闭回路中长度最短的回路 14321、12341 为最佳线路，即 C3 A2 C1 E2 C3或 C3 E2 C1 A2 C3，距离均为 3800m.按所给数据，骑车和派件耽误时间共 2.303560150003800 (min) 故从出发算起半小时内该快递员 不 能回到出发地点 . -（ 25 分） 三、 雪球融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在
6、开始时的半径为 6cm，经过 2 小时后， 其半径缩小为 3cm，试推导雪球的体积随时间变化的关系式，并求 3 个小时后雪球的体积 . 解： 设 t 时刻雪球的体积为 ()vt ,表面积为 s(t),则 )()( tksdttdv ， -（ 10 分） 根据球体的体积 (v = 334R )和表面积 (s=4 R 2= 32)43(4 v )的关系得 s(t)= 3232313)4( v ，引入新常数 r = k32313)4( ，再利用题中的条件得 32rvdtdv ,v(0)=288 ,v(2)=36 ， -（ 15 分） 分离变量积分得方程的通解为 v(t)=271 (c rt)3 -（
7、 20 分） 利用条件 v(0)=288 和 v(2)=36 得 c=3636 ， r=936 .代入得雪球体积随时间变化的关系式为 v(t)= 3)312(6 t （实际问题要求 t 0,4） . 3 个小时后雪球的体积为： v (3)=92 . -（ 25 分） 四、 宠物食谱 一名兽医推荐宠物狗每天的食谱中应该包含 100 个单位的蛋白质， 200 个单位的卡路里， 50 个单位的脂肪 .一个商店的宠物食物部有 4 种食物，分别为 A、 B、 C、 D.每千克食物所含的营养成分如下： 食品 蛋白质 卡路里 脂肪 A 5 20 2 竞赛 试 题 及 参考 答案 第 4 页 共 6 页 B
8、4 25 2 C 7 10 10 D 10 5 6 若单从该商店的这四种食物中取材，是否存在某种方案满足兽医推荐的食谱？ 解 ： 此问题是对食物 A、 B、 C、 D 进行混合，使得混合物中各种营养成分的含量与兽医推荐的量相等，故可列出线性方程组对此问题进行求解 . 设宠物狗一天食谱中食物 A、 B、 C、 D 的量分别为 1x 、 2x 、 3x 、 4x （千克） .为保证其食谱满足兽医的推荐，可得如下线性方程组： 1 2 3 41 2 3 41 2 3 45 4 7 1 0 1 0 02 0 2 5 1 0 5 2 0 02 2 1 0 6 5 0x x x xx x x xx x x
9、x .-（ 10 分） 同解方程组为： 1 2 3 42 3 4345 3 2 51 8 1 1 6 03 6 1 6 8 5x x x xx x xxx .-（ 15 分） 通过回代的方法确定上述方程组的非负解（实际问题的需要） . 令 4xt ，则 0t .于是，3 1 (8 5 1 6 ) 036xt ，此时要求 8516t .-（ 20 分） 将 4x 与 3x 回代，求得2 35302xt ，此时要求 356t . 然而 1685635 , 故 35 856 16t 无解 .这就说明，不可能找到方程组的非负解，也即，该商店中的这四种食物无论如何配比，都不能完成兽医的配方要求 . -（
10、 25 分） 五、 最优生产 甲车间为乙车间生产某种原料，已知乙车间平均每月需要 100 件，而甲车间平均每月生产 500 件，因此甲车间要进行等周期分批有间断的生产 . 另外 甲车间的产品运到乙车间时要包装，平均每批的包装费为 4 元 . 若运到乙车间后暂时来不及加工，则要花费存贮费，平均每件每月 0.4 元 ，每月按 30 天计算， 请通过建立数学模型给出甲车间的最优生产周期 . (注：据调查知在一个生产周期 T 天的存贮费用为01 ()2 P R TT C，其中0RTTP为生产时间， P 为甲车间的生产速度， R 为乙车间的需求速度， C 为每天每件产品的存贮费 .) 解： 设一个生产周
11、期 T 天的包装费为 D，每个月生产的批数为 30/T，因此每个月内的总费用 ()FT 为 竞赛 试 题 及 参考 答案 第 5 页 共 6 页 03 0 1( ) ( )213 0 ( )2F T D P R TT CTDRP R TCTP -（ 10 分） 利用微积分求极值方法可得 2 1( ) 3 0 02D P RF T R CTP 从而 2()PDT P R RC -（ 15 分） 已知： P=500/30， R=100/30， D=4， C=0.4/30，于是可得 50242 3 155 0 1 0 1 0 0 .4() ()3 3 3 3 0PDTP R R C 因此，甲车间的最
12、优生产 策略为每隔 15 天生产一批 . -（ 25 分） 六、 鱼雷轨迹 位于坐标原点的我舰向位于 x 轴上距离我舰 1 公里处的敌舰发射制导鱼雷假设敌舰以速度 0v 沿着平行于 y 轴的直线行进，鱼雷始终对准敌舰且速度为 02v . 请建立数学模型确定鱼雷的轨迹方程 . 解： 设鱼雷航行轨迹方程为 ()y yx . 在时刻 t 鱼雷的坐标为 ( , )Pxy ，敌舰的坐标为0(1, )Q vt . 因鱼雷始终对准敌舰，所以有 y O x 1 PQ竞赛 试 题 及 参考 答案 第 6 页 共 6 页 01vt yy x (1) -（ 5 分） 而弧线 OP 的长度为 2 00 12x y d
13、x v t (2) -（ 8 分） 由 (1)、 (2)两式消去 0vt得 21(1 ) 12x y y (3) -（ 12 分） 根据题意，初始条件为 (0 ) 0, (0 ) 0yy 令 yp ，方程 (3)化为 21(1 ) 12x p p (4) 由方程 (4)解得 12 211 (1 )y y C x (5) -（ 17 分） 将 (0) 0y 代入 (5)式得 1 1C ，所以 12 21 (1 )y y x ，又由 12 2211 (1 )1y y xyy ，于是 11221 (1 ) (1 )2y x x (6) -（ 22 分） 积分得 312221 (1 ) (1 )3y x x C (7) 将 (0) 0y 代入 (7)式得2 23C，所以鱼雷的航行轨迹方程为 312212(1 ) (1 )33y x x -（ 25 分）
