1、宜春市 2017 2018 学年第二学期期末统考 高二年级理科答案 一、选择题 1-5 ABBCC 6-10 DBACB 11-12 BB 二、填空题 (13-16 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 ) 13. 4314. 14 15. 2 16.2 三、解答题 (17 题 10分 ,18,19,20,21,22 题各 12 分 ;共 70 分 ) 17.（本小题 10 分）已知函数 ( ) 1 2f x x x . （ 1）解不等式 ( ) 4fx ； （ 2）任意 , ( )x R f x a恒成立，求 a 的取值范围 . 解 :(1) 2 1, 2( ) 3 , 2 12 1, 1
2、xxf x xxx ,解集为 5322x x x 或 5 分 （ 2）因为 |x-1|+|x+2| 3,所以 3a 。 10 分 18（本小题 12 分） 已知函数 3239f x x x x a . （ 1）求函数 fx的单调区间； （ 2）若 fx在区间 2,2 上的最大值为 8，求它在该区间上的最小值 . 解： (1)由题知： 23 6 9 3 3 1f x x x x x 令 0fx ， 则 x3; 令 0fx ， 则 -1x3 所以减区间为（ -1， 3），增区间 - -1 3 ， ， ， . 6分 (2)由 (1)知 f(x)在 -2-1， 上为增函数，在 -12， 上为减函数 .
3、 所以 m a x 1 1 3 9 8f x f a ,解得 a=3 , 8分 则 21f , 2 19f ,所以 f(x)在 -22， 上的最小值为-19. 12 分 19（本小题 12 分） 某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该店 1 月份中某 5 天的日销售量 y （单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位： C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （ 1） 根据表中数据，已经求得线性回归方程为 0.56y x a ，求 a ，并预测最低气温为 0C 时的日销售量； （ 2）设该地 1 月份的日最低气温 2,XN ，其中 近似为样 本
4、平均数 x ， 2 =10，试求 (3.8 16.6)PX . 附： 10 3.2 ， 3.2 1.8 ，若 2,XN ，则 ( ) 0 .6 8 2 6PX ， ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4PX ， ( 3 3 ) 0 . 9 9 7 4PX . 解：（ 1）由题意得 1 2 5 8 9 1 1 75x ， 1 1 2 1 0 8 8 7 95y ，9 0 .5 6 7 1 2 .9 2a y b x ，故回归方程是 0.56 12. 92yx 将 0x 代入回归方程可预测该店当日的销售量 12.92y 千克 6分 （ 2）由（ 1）知 7x， 10 3.2 ， 所以 ( 3 .
5、8 1 6 . 6 ) (7 3 . 2 7 3 3 . 2 )P X P X ( 3 )PX ( ) ( 3 )P X P X 110 . 6 8 2 6 0 . 9 9 7 4 0 . 8 422 ， 即(3 .8 1 6 .6 ) 0 .8 4PX .12分 20. （本小题 12 分） 已知函数 3211 1*32nf x x n x x n N ，数列 na 满足 1n n na f a ， 1 3a .（ 1）求 234,a a a 的值 ; （ 2）猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明 . 解：由 2( ) ( 1) 1nf x x n x *nN 2113 , 1 1
6、 ,n n na a a n a 又 22 1 12 1 4 ,a a a 23 2 23 1 5 ,a a a 24 3 34 1 6 ,a a a 猜想 2nan . 6分 用数学归纳法证明 1n 时显然成立 . 假设当 猜想成立，则 则当 *1n k k N 时 221 1 1 2 1 2 1k k ka a k a k k k = 3 1 2kk 1nk 当 时 ， 猜 想 成 立 由 可知对一切 * ,2nn N a n 成立 12 分 21. （本小题 12 分） 某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取3 个题目进行作答 ， 若所抽取的 3 个题目全部作答正
7、确 ， 则进入下一轮比赛已知这 6 个题目中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙 正确作答每个题目的概率均为 23 ，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的 （ 1）求甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率； （ 2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学中哪位同学进入下一轮比赛的可能性更大？ 解 ： （ 1）由题意可知，甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目包含：甲正确作答 1 个、乙正确作答 2 个，甲正确作答 2 个、乙正确作答 1 个，甲正确作答 3个、乙正确作答 0 个， 故所求概率1 2 2 1 32 2 1 2 0 34 2 4 2 43 3 33 3
8、36 6 62 1 2 1 1 3 1( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 1 3 5C C C C CP C C CC C C 4 分 （ 2）设甲正确作答题目的个数为 X ，则 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 因为 124236 1( 1) 5CCPX C , 214236 3( 2) 5CCPX C , 304236 1( 3 ) 5CCPX C 所以 的分布列为 X 1 2 3 P 15 35 15 故 1 3 1( ) 1 2 3 25 5 5EX ， 2 2 21 3 1 2( ) ( 1 2 ) ( 2 2 ) ( 3 2 )5 5 5 5DX 7分 设乙正确作答题目
9、的个数为 Y ，则 2 (3, )3YB ， 所以 2 2 1 2( ) 3 2 , ( ) 33 3 3 3E Y D Y ， 10分 所以 ( ) ( ) , ( ) ( )E X E Y D X D Y，所以甲同学进入下一轮比赛的可能性更大 12 分 22（本小题 12 分） 已知函数 ln 1f x x a x ， aR . （ 1）求函数 fx在点 1, 1f 点处的切线方程； （ 2）当 1x 时， ln 1xfx x 恒成立，求 a 的取值范围 . 解：（ 1）由题 11axf x axx ，所以 11fa ， 所以切线方程为： 1 1 0a x y 4分 （ 2） 2l n 1
10、ln 11x x a xxfx xx，令 2l n 1 1g x x x a x x ， ln 1 2g x x ax ，令 ln 1 2F x g x x a x ， 12axFx x 6分 （ 1）若 0a ， 0Fx ， gx 在 1, 递增， 1 1 2 0g x g a gx在 1, 递增， 10g x g，从而 ln 01xfx x ，不符合题意 （ 2）若 10 2a ，当 11,2x a， 0Fx ， gx 在 11,2a递增， 从而 1 1 2g x g a ，以下论证同（ 1）一样，所以不符合题意 10 分 （ 3）若 12a ， 0Fx 在 1, 恒成立， gx 在 1, 递减， 1 1 2 0g x g a ， 从而 gx在 1, 递减， 10g x g， ln 01xfx x ， 综上所述， a 的取值范围是 1,2. 12 分
