1、,四. 模型的无量纲化 1. 模型与量纲 模型描述的是实际问题的内蕴的特征。 量纲有赖于基本量的选择， 是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。,2. 模型无量纲化举例 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 假设：同前。 变量、参量：同前。 坐标系: (x，y)，(r, ) 平衡关系： 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力。 外力：重力 mg，张力 T。,模型注意到摆球的坐标的表达式，则有第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。 对它进行无量
2、纲化。,变量的无量纲化 令 称之为无量纲时间代入模型可得选择变换因子为 则有,无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则 w0 为角频率以2为时间单位时摆动的频率数。 2. 特征时间 tc,称tc=1/w0=T0/2 为特征时间。以2为时间单位时，摆动一次所需的时间3.无量纲时间 = t/tc。是以特征时间为单位的时间计量。,例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向上发射火箭。讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。假设： 1. 地球是球体。 2. 火箭升空只需克服地球的引力。 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将具有自由下落的加速度 g。平衡关系：牛顿定律，万有引力
3、定律 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运动用。,变量、参量时间：t，火箭的高度：y(t), 地球半径：r, 初速度：v，重力加速度：g，火箭质量：m1,地球质量：m2.模型 m1y= - k m1m2/(y+r)2。由假设3, y = 0 时, y= - g。故有 g = k m2/r2. y= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y(0) = v.,模型的无量纲化 将模型中的变量变换为无量纲变量 令 tc，yc 分别为具有时间量纲和长度量纲的量。则 t*= t / tc，y*= y / yc 就成为无量纲的时间和长度。注意到模型就可以化为,令 tc2g / yc = 1,
4、 vtc/ yc = 1, 则有 tc = v / g, yc=v2/g分别称 tc和 yc为特征时间和特征尺度模型可以化简为 y*=-(Ay*+1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, 其中 A=v2/rg 这时模型是简单的，而且其中所有的量都是无量纲的。,无量纲化模型的分析 1. 模型的化简 地球的半径 r = 6370千米， r g = 62426000米2/秒2 火箭的速度 故，近似地有 A = 0，从而有 y*= - 1，y*(0)=0，y*(0)=1。有解 y* = - t2* / 2 + t*，y(t) = - g t2 / 2 + v t还原到原模型为 y=-g，y(0)
5、=0, y(0)=v。刚好是由于高度 ，近似取 y=0 得到的。,2. 特征时间和特征距离 不难看出，t c= v / g 给出了对于 较小的 v，火箭在定常的引力作用下达到最高点的时间yc / 2 = v2 / 2g 是火箭所能达到的最高距离常数 tc，yc是抛射问题的两个内在的特征指标。称之为特征时间和特征距离。 当以特征时间和特征距离为单位来度量变量时抛射体的运动规律是最简单的而且是最本质的，并且是与物理量的量纲无关。,五. 拟合模型与机理模型 拟合模型 机理模型 假设条件 弱 强机理分析 少 多拟合效果 好 差普适范围 小 大理论深度 浅 深,模型的无量纲化,问题 P85-86：5，3*,
