1、四、平行截面面积为已知的立体的体积,1、定义 对于空间一立体,如果用垂直与某一定轴的任意平面截立体,得到的截面面积都是已知的（即可以用学过的知识 ,公式计算),由于这些截面都是互相平行的，则称为平行截面面积为已知的立体。,2、体积的求法 由于立体体积不以立体的位置改变而改变，因此，可取轴为坐标轴，比如x轴。如图所示，,设立体在x轴的投影为区间a,b， 而x=x得到截面面积为A(X),求其体积 。,用微分法:分割a,b得到微分区间x,x+dx相应于这一区间的薄片体积 的近似植可用以A(x)为底面积,高为dx的平顶柱体体积.于是得体积微元：,故所求体积：,例：一平面经过半径为R的底圆中心并与底面交
2、成角 ，计算这平面截圆柱体所得的立体的体积。,解：如图建立坐标：取这平面与圆柱体的底面交线为上过圆中心且垂直与x轴的直线为y轴，则圆柱体的底圆方程为,截下的立体位于平面x=R与x=-R之间，显然， -R,R，过点x且垂直与于x轴的平面截立体所得的截面是一直角三角形，,其面积为：,因此体积微元,例：祖暅定理：”夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等。”,证：在空间直角坐标系中，将两平行平面中的一个作为xy坐标轴，另一个平行平面与其相距h，设为z=h，于是，两个几何体夹在中间，如图所示：,祖暅定理,过点z作平面z=h与两个几何体相截，得到的两个截面P(z)与q(z)。由已知，P(z)=q(z)，设这两个立体的体积为与,由定积分的性质知：p(z)=q(z)，由已知：,即这两个几何体的体积相等。,
