1、,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 总体与样本, 统计量, 2-分布,t-分布和F-分布, 关于正态总体的重要定理,第六章 数理统计的基本概念,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,数理统计是以概率论的理论为基础、通过试验所得 数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容 丰富。,简 介,我们仅介绍其有关参数估计与参数假设检验等基本 内容。,概率论是数理统计的理论基础,数理统计是概率论的重要应用。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1、随机样本,定义1 在数理统计中，将所研究对象的全体称为总 体(母体),其中每个对象称为个体。,由于通常关注的是研究对象的某些个数量指标,因此
2、 也称这些数量指标取值的全体为总体,其中每个元素称为 个体.,一、总体与个体,例如,检验灯泡厂生产的灯泡寿命:受检的全体灯泡就 是总体,每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数 值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,又如,调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总 体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男 生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个 体。,灯泡的寿命检验是一个破坏性试验,即当得知一个灯 泡寿命时,该灯泡的使用价值也就消失了.因此,不可能抽 检每个灯泡!,可以逐一测量每个工大男生的身高,但工作量大.而我 们仅需对工大男
3、生身高情况有个大致了解,因此,不必要抽 测每个工大男生!,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,做法 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男 生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况.,一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。,今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F.,河南理工大学精品课程 概率论与
4、数理统计,例如,当XN(,2)时,称总体X为正态总体.正态 总体有以下三种类型:,未知,但2已知; 2未知,但已知; ,2均未知.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,数理统计的基本任务就是通过对从总体中抽取的 一部分个体(称为总体的样本)进行观察,根据所记录的 数据(样本值)经整理与加工,以推断总体的某些性质.,“从总体中抽取一个个体”就是对总体进行一次观 察(试验),并记录其数据结果.,在相同条件下对总体X进行n次独立、重复的观察, 将n次试验结果依次记为 ,则称之为来自 总体X的容量为n的一个简单随机样本;n次试验完成后 所得样本的一组观察值 称为样本值.,二、样本与样本值,河南理工
5、大学精品课程 概率论与数理统计,显然,若X的分布函数为F(x),则 的联合 分布函数为,定义2 设总体X的分布函数为F,若X1，X2，Xn 是相互独立且具有相同分布函数F的n个随机变量,则称 之是来自总体F(分布函数F,总体X)的容量为n的(简单随 机)样本,其观察值 称为样本值。,特别的,若X的概率密度为f(x),则 的联合 概率密度为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,若X的概率分布为p(x),则 的联合概率分 布为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,样本来自总体,必然携带有反映总体性质的各种信 息。,后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断， 称为参数估计与参数假设检验。
6、,三、数理统计的基本任务,数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总 体的未知参数或分布类型作出估计，对有关总体的假设 作出推断。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,总 体 X,样本X1,X2,Xn,样本值x1,x2,xn,随机抽样 获得样本,完成试验 获得数据,整理加工 统计推断,统计 工作,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、抽样分布,一、统计量,样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一 般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工, 即针对具体问题构造适当的函数统计量,利用这些函数 来进行统计推断,揭示总体的统计特性.,定义3 设X1，X2，Xn是来自总体X的样本
7、,x1，x2， ，xn为其样本值,则称不含任何总体分布中未知参数的连续函数 为统计量,相应实数 称为其观察值。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,常用统计量有:,样本均值,(修正)样本方差,(修正)样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,说明, (修正)样本方差还可表示为,【推导】,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 样本方差,样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶 中心矩。, 上述各统计量的观察值为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 重要结论：样本矩(的连续函数)依概率收敛 于总体矩(的连续函数)矩估计的理论基础。,总体k
8、阶(原点)矩,总体的期望就是其一阶矩:,总体的方差:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 定义, 性质, 重要积分,补充知识: -函数,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,完全由样本确定的函数就是统计量。, 定义 设X1，X2，Xn是来自标准正态总体 N(0,1)的样本,称统计量,下面,介绍来自正态总体的几个重要统计量的分布.,1、2-分布(卡方分布),服从自由度为n的2-分布,记为,二、抽样分布,统计量是随机变量，它的分布称为抽样分布。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, -分布的概率密度为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, -分布的性质与数字特征,-分布的可加性:,
9、-分布的期望与方差为:, 上分位点(双侧/2分位点),定义 点 为 分布的上分位点,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,查附表5P.299:,双侧分位点,查附表5:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、t-分布, 定义 设 且X与Y独立，则称 随机变量,服从自由度为n的t-分布,记为, t-分布的概率密度为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, t-分布的概率密度性质,t-分布的概率密度为偶函数，且以标准正态概率 密度为其极限(n)。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 上分位点(双侧/2分位点),定义 点 为 分布的上分位点,查附表4P.298:,河南理工大学精品课程
10、概率论与数理统计,双侧/2分位点:,显然,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3、F-分布, 定义 设 且X与Y独立，则 称随机变量,服从自由度为(n1,n2)的F-分布,记为, F-分布的概率密度为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, F-分布的性质,由F分布定义可得：,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 上分位点(双侧/2分位点),定义 点 为 分布的上分位点,查附表6P.301:,F分布上分位点有如下性质：,证明,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,三、样本均值与样本方差的分布,设总体X有均值与方差：,是来自X (无论X服从何种分布!)的一个 样本，则总有:,特别的,
11、当 时,样本均值,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,对于单正态总体N(,2)的均值与方差有:,定理1 设 是来自正态总体N(,2)的 样本,则,、,、,、,、 独立.,注意:,即2,卡方分布定义,证明,且两者独立, 由 t 分布的定义知,定理,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定理2 设X1，X2，Xn与Y1，Y2，Yn分别是来 自正态总体N(1,2), N(2,2)的样本,且这两个样 本相互独立,又 分别为两样本的均值与方差,则,其中,对于同方差的双正态总体N(1,2), N(2,2)的 均值差有:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,上面介绍的3个重要分布与4个重要公式在数
12、理统计的区间估计与假设检验中有着重要应用，必须牢记!,2-分布,t-分布,F-分布,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例1】在正态总体N(12,4)中随机抽取容量为5的样本 X1，X2，X3，X4，X5，试求,（1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概 率；,（2）,（3）,解正态总体样本均值的分布,(1) 因为 所以,于是,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,(2).,(3).,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解t-分布,2-分布，F-分布。,因为Xt(n),所以由t-分布定义知：存在两个相互独 立的随机变量,由Y,Z的相互独立可得:Y2与Z也相互独立。,再由F-分布
13、定义得:,使有,【例2】已知 ，证明 。,由2-分布定义知：,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解因为XiP(),所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),【例3】设X1，X2，X3，X4，X5为来自泊松分布 P()的一个样本， 为其样本均值和（修正）样本 方差，求,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,例3-1,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解卡方分布及其数字特征 。,于是,由卡方分布数字特征知：,由定理1知:,【例4】 设在总体 中抽取一容量为16的 样本，其中 均为未知。,（1）求概率 ；,（2）求方差 。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,(2)因为,所以,例4-续,(1),河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, P.180:1; 8 ; 10 ; P.181: 12;13;16 。,本章作业,
