1、智浪教育-普惠英才文库2006 年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分 （1） （2） （3） （4） BACA二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分（5） （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。例如：4， ， ，12logfx273fxx213fx， ，367fsinf， ，21xf 120xf ， ，等1221xfxx21961394fxx等（7） （8） （9）dhho， maths （10） 3第（10）题参考解答： 设 ，则 bakbak依题意有 ， ，即 ，即 0ba24c
2、24c24ka故 229324kkakc111932424kak当且仅当 即 时取等号24kacbca三、解答题：本大题共 5 小题，满分 90 分智浪教育-普惠英才文库（11） （本小题满分 15 分）解：（） 31cos2sin2xfxa， i6 最小正周期 ， 2T单调递减区间为 ,63kkZ（）令 ，则 ， 2ux1sin2gua7,6u要使 在 上恰有两个 的值满足 ，g7,6x2g则 ，解得 2g1a（12） （本小题满分 15 分）解法一：（）因 平面 ， 面 ，故面 面 PABCDPAPADBC因四边形 是矩形，故 因面 面 ，故 面 D因 面 ，故平面 平面 CPCPA（）取
3、 中点 ，连结 、 FAEF因 是 的中点，故 E/所以 或它的补角是 与 所成的角 PC易得 ， ， ，62F5A172F智浪教育-普惠英才文库故 222651730cosAEF故 与 所成角的余弦值为 PC301（）假设 点存在，过点 作 于 ，QDGAQ因为面 面 ，面 面 ，ABPBCDA所以 面 ，即 G1如图，易知 ， 1 30DQG则 3BQ故存在一点 ，当 时使点 D 到平面 PAQ 的距离为 1 解法二：（）同解法一（）以 A 为原点，AB 、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 1BP2C， ， ， ， ， 0,0,0,D0,
4、1P,2E ， ，1,2AE,21P由 ，30cos,AEC 与 所成角的余弦值为 AEP1010 分（）假设存在点 符合条件，则 1,0Qa， ,AP,又设平面 PAQ 的法向量为 ，,xyznQAPDCBExyzA DB CQ21G智浪教育-普惠英才文库由 即 取 ，0,.APQn,0.zxay1则 是平面 PAQ 的一个法向量,1a由题意有 ，即 ，解得 DAn21a3a故存在一点 ，当 时使点 D 到平面 PAQ 的距离为 1 Q3B（13） （本小题满分 20 分）解：（） ： ， ： ，MN12ykxOAyx解得 ， 2,k于是 ， 32ANk321kM所以 23231sin452
5、181kkSk易知 ，2k故 ， 381S12k（） ，2k所以当 或 时， 取得极值 13Sfk因为当 时， ，故 在 上是减函数2k0f1,2所以当 时， 取得最大值 1S43智浪教育-普惠英才文库（14） （本小题满分 20 分）解：（）当 时，2n2131,.na 各式相加得 ，1231nan 求得 2又当 时， 满足上式，故 1 2na（） 223nT 11n 1223n （） ，21nbn，2223451n nB 当 时， ；113nnB当 时， ；2当 时， ；3158nn猜想当 时， B以下用数学归纳法证明:当 时，左边 右边，命题成立3n1538nn假设当 时， ，即 k12
6、1kB123k当 时，1n1336kk，命题成立122k智浪教育-普惠英才文库故当 时， 3n1nB综上所述，当 时， ，13n当 时， ，2当 时， n1nB（15） （本小题满分 20 分）解：（）因 的图象关于点 对称，xfy0， 故 的图象关于原点 对称， 故 ，易得 ，0fxface因为 时， 有极值，所以 时， 也有极值1x1xxf故 3fxbd ，2 23xbx于是 又由 得 ，13f 2bd由此解得 ， ，1 3fx（）设这两个切点分别为 ，并且 ，12,xy12x，2fx依题意有 (*) 2211fxx因 且 ，12,x2, 故 由(*)式得 ，即 212x210x故 ，解得 或 20x22智浪教育-普惠英才文库同理可得 或 21x10又因为当 与 同时成立时与(*)式矛盾，2所以 或 1x2故 ， 或 ， 10y2312xy0xy即所求的两点为 或 ,2,3（） ，21fx故当 或 时， ；0fx当 时， x所以 的单调递增区间为 和 ， f,1,的单调递减区间为 x因 ，210,1tt故 fxf即 ，故 ；20323x因 ，11,0tty， ， ，23f0f23f故 ，故 0fyfy故 243xx
