1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 反常积分的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法 .此外 ,本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行 了讨论 .最后，本文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别 . 关键词 ： 反常积分 ； 数学分析 ； 换元法 ；反常二重积分；无穷级数 Study on Improper Integral Abstract： From the background of the improper integral,
2、 this paper introduces the definition, properties and convergence criterion. In addition, it discusses some simple questions of improper double integral, as well as a simple application in the real of improper integral. Finally, the paper also describes the ties and differences between infinite inte
3、gral and infinite series. Key words： improper integral, mathematical analysis, method of substitution, improper double integral, infinite series 目 录 1 引言 . 1 1.1 反常积分的背景 . 1 1.2 反常积分的定义 . 1 2 反常积分的性质和其收敛判别法 . 3 2.1 反常积分的性质 . 3 2.2 反常积分的收敛判别方法 . 4 3 反常二重积分的简单讨论 . 6 3.1 反常二重积分的定义 . 6 3.2 反常二重积分的性质 . 7
4、 4 反常积分的计算和收敛性判别的举例 . 9 4.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例 . 9 4.1.1 反常积 分的计算举例 . 9 4.1.2 反常积分的收敛性判别举例 . 11 4.2 反常积分在现实中的简单应用 . 13 5 无穷积分与无穷级数的联系与区别 .15 5.1 无穷级数的简单介绍 .15 5.2 无穷积分与无穷级数的联系 .17 5.3 无穷积分与无穷级数的区别 .19 6 结束语 . 20 7 致谢 .21 参考文献 . 22 1 1 引言 1.1 反常积分的背景 Riemann 积分要求积分区间 , ba 有限且被积函数 )(xf 在该区间上有界 .但在实际的应用（
5、特别是物理应用）中 ,上述条件不满足 ,仍需要某种形式的积分 .因此 ,积分的概念需要推广 ,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题 ,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分 . 首先由一个例子引入： 设地球的半径为 R,质量为 M根据万有引力定律知 ,地球对距球心人 rR 处质量为 M 物体的引力为： 22( ) /F x mgR x . 特别 ,当 rR , F mg ,因而 2 /G R m g . 考虑将质量为 M 的火箭从地面 rR 发射到 rx 引力所作的功 . 利用微元法 ,并且由 W 与 F(r)之间有关可得 ()dW F r dr . 因此 , 22 ( ) (1
6、 / 1 / )rRW F r d r m g R R x 则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为 lim ( )rRxW F r dr m gR 假设以速度 0v 发射 ,它得到的动能为 20 /2mv 要使它飞出地球引力范围 ,则必须 200/ 2 , 1 1 .2 /m v m g R v km s 1.2 反常积分的定义 定义 11： 设函数 f 定义在无穷区间 , )a 上 ,且在任何有限区间 , au 上可积 ,如果存在 2 极限 uau Jdxxf )(lim (11) 则称此极限 J为函数 f 在 , )a 上的无 穷限反常积分（简称无穷积分） ,记作 ()aJ f x dx
7、,并称()a f x dx 收敛 . 如果极限 (11) 不存在 ,为方便起见 ,亦称 ()a f x dx发散 . 定义 2： 设函数 f 定义在 (, ab 上 ,在点 a 的任一 右邻域内无界 ,但在任何内闭区间 , ( , u b a b 上有界且可积 ,如果存在极限 lim ( )buua f x dx J ,则称此极限为无界函数 f 在 (, ab 上的反常积分 ,记作 ()baJ f x dx ,并称反常积分 ()ba f xdx 收敛 ,如果极限不存在 ,这时也说反常积分()ba f xdx 发散 . 3 2 反常积分的性质和其收敛判别法 2.1 反常积分的性质 （一）无穷反常
8、积分的性质 (1) )(xf 在区间 , )a 上可积 , k 是常数 , 则函数 ()kf x 区间 , )a 上可积 , 且( ) ( )aak f x dx k f x dx . (2) ()fx和 ()gx 在区间 , )a 上可积 , 由此 ( ) ( )f x g x 在区间 , )a 上可积 ,且 ( ( ) ( ) ) ( ) ( )a a af x g x d x f x d x g x d x . (3) 无穷积分收敛的 Cauchy 准则 : 若积分()a f x dx 收敛，则 0 , , , ( )AAA A A f x d x 有. （二）瑕积分的性质 (1) )(
9、xf 在区间 (, ab 上可积 , k 是常数 , 则函数 ()kf x 区间 (, ab 上可积 , 且( ) ( )bbaak f x dx k f x dx. (2) ()fx和 ()gx 在区间 (, ab 上可积，由此 ( ) ( )f x g x 在区间 (, ab 上可积 ,且( ( ) ( ) ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x . 4 2.2 反常积分的收敛判别方法 (一 ) 比较判别法 : 设在区间 , )a 上函数 ()fx和 ()gx非负且 ( ) ( )f x g x ,又对任何 Aa ， ()fx和 ()g
10、x在区间 , aA 上可 积 ， 若 ()a g x dx ，则 ()a f x dx ；若 ()a f x dx ，则 ()a g x dx .推论 1 （比较原则的极限形式） : 设在区间 , )a 上函数( ) 0 , ( ) 0 , l im ( ( ) / ( ) )xg x f x f x g x c . 则 i 0 , ( ) ( )aac f x d x g x d x 则 与 共 敛 散; ii , ( ) , ( )aac g x d x f x d x 则 时; iii 0 , ( ) , ( )aac g x d x f x d x 则 时推论 2 （ Cauchy 判
11、敛法） : 以1 1/px dx 为比较对象 , 即取 ( ) 1/ pg x x . 以下假设 0a ， 若对任何Aa , ( ) , f x c a A , 0 ( ) 1 / ( )p af x x f x d x 且 p1, 则；若 ( ) 1 / ( )p af x x f x d x 且 p 1 , 则. Cauchy 判敛法的极限形式 : 设 ()fx是在任何 有限区间 , aA 可积的正值函数 . 且lim ( )px x f x . 则 1) 0 ( ) 1 / ( )paf x x p f x d x 且 1, 则2) ( ) 1 / ( )paf x x p f x d
12、x 且 1, 则. 5 (二 ) 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 : 1) 阿贝尔判别法 : 若 ()fx在区间 , )a 上可积 , ()gx单调有界 , 则积分 ( ) ( )a g x f x dx 收敛 . 2) 狄利克雷判别法 : 设 ( ) ( )AaF A f x dx在区间 , )a 上有界 , ()gx在 , )a 上单调 ,且当 x 时 , ( ) 0gx .则积分 ( ) ( )a g x f x dx收敛 . 6 3 反常二重积分的简单讨论 3.1 反常二重积分的定义 定义 22 ： 设 D 为 2R 中的一无界区域（例如 ,全平面、半平面、角域、带形区域、任一有界区域的
13、外部等等） ,函数 ( , )f xy 在 D中有定义且有界 .用任意一条光滑曲线 L在 D中画出（可求面积）有界区域 都 D.设 ( , )f xy 的二重积分 0( , )D f x y dxdy 存在 ,当曲线 L连续变动 ,使自坐标原点到 L上的点的最小距离 时 ,所划出的区域 D.无限扩展而趋于（或笼罩）区域 D ,记为 0DD ,此时称 0 0lim ( , )DD D f x y dxdy 为函数 ( , )f xy 在无界区域 0D 上的广义积分 ,记为 0( , )D f x y dxdy = 00lim ( , )DD D f x y dxdy (31) 如果不论曲线 L 的形状如何 ,也不论 0D 的扩展过程如何 , 0( , )D f x y dxdy = 00lim ( , )DD D f x y dxdy (31) 式右端有惟一的有限极限值 I 存在 ,则称广义二重积分0( , )D f x y dxdy 收敛 ,极限值 I称为广义二重积分值 .此时也称 ( , )f xy 在 D 上广义可积 ,简称可积 .若 (1)式右端的极限不存在 ,或者极限值依赖于曲线 L 的形状及区域 0D 的扩展过程 ,则称广义二重积分发散 ,也称( , )f xy 在 D 上不可积 .
