1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 分块矩阵的应用研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 ： 分块矩阵可以用于降低较高级数的矩阵级数，使得矩阵的结构更加的清晰明朗，从而使一些矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的一 些问题 .本文重点就分块矩阵应用与矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过引用大量的事实说明对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解，所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念，我们需要透彻的了解分块矩阵并且能很好学会在何时应用分块矩
2、阵，从而研究它的性质及应用是非常必要的 . 关键词 ： 分块矩阵 ;矩阵分块 ;计算 ;证明II The partitioned matrix of the applied research Abstract: Theory about block matrix could be used to decline high-order matrix and make its structure clearer to simplify some calculation related to matrix, it also could be used to prove some problems a
3、bout matrix. In this paper, it focuses on analyzing block matrix which could be applied to prove problems about the inverse of matrix. By quoting a number of examples, we could get that its convenient to solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Obviously, block ma
4、trix is a very important concept in high algebra, so, it is necessary to research and comprehend the block matrixs property and application for us. Key words: partitioned matrix; block matrix; calculate; prove 嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计） III 目录 1 绪论 . 1 2 分块矩阵的基本概念 . 2 2.1 分块矩阵的定义 . 2 2.2 分块矩阵的性质 . 3 3 分块矩阵
5、的计算 . 6 3.1 分块矩阵的基本运算 . 6 3.2 分块矩阵的加法 . 6 3.3 分块矩阵的乘法 . 7 3.4 矩阵因式分解 . 9 3.4.1 LU 分解算法 . 10 4 分 块矩阵的应用 163 . 12 4.1 用分块矩阵解决行列式问题 . 12 4.2 利用矩阵分块的方法求逆矩阵 . 14 4.3 用分块矩阵求解非齐次线性方程组 . 16 4.4 用分块矩阵证明秩的问题 . 19 5 结束语 . 22 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 1 1 1 绪论 在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据 .这个定义很好地解释了 matrix 代码是制
6、造世界的数学逻辑 .数学上矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵 .把它用在解线性方程组上既方便，又直观 .例如对方程组 333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa 我们可以构成一个矩阵： 333322221111dcbadcbadcba 因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来 .数学上，一个 nm 矩阵乃一 m 行 n 列的矩形阵列 .矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成 .矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等 1 . 矩阵作为数学工具之一，有其重要的实用价值，矩阵常见于很多
7、学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩 阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是一个很繁琐的过程，因此我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，分块矩阵的思想由此产生，对技术较高的矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象地揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构，本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以
8、计算和 证明两大方面为主 . 2 2 分块矩阵的基本概念 分 块 矩 阵 的引 进 使得矩 阵这 一工具的使用更加便利，解 决问题的作 用更 强 有力，其 应 用也就更 广泛 .在矩 阵 的某 些运 算中， 对 于 级数 比 较 高的矩 阵 ，常采用分 块 的方法 将 一 个 矩 阵分割成若干 个 小矩 阵 ，在 运 算 过 程中 将小 矩 阵看 成元素 来处 理， 对问题的 解 决 往往起到 简 化的作用 . 本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念： 2.1 分
9、块矩阵的定义 定义 11.1.2 : 分块矩阵是一个 矩阵 ， 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 . 然后把每个小矩阵看成一个 元素 . 如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上，就称为对角分块矩阵 . 分块矩阵仍满足矩阵的 乘法和加法 . 定义 12.1.2 : 当矩阵的行数与列数较大时 , 为便于运算 , 有时把它分成若干个小块 , 每个小块是行数与列数较小的矩阵 .把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成 , 这就是矩阵的分块 .构成分块矩阵的每个小矩阵 , 称为子块 . 如对矩阵 A 分块如下 1011012100100001A 其中记 11 21,00 00,10 01 1AOE,
10、则 A 可表示为分块矩阵 EAOE1矩阵的分块可以有各种不同的分法 .如矩阵 A 也可分块如下 : 1011012100100001A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中 . 定理 13.1.2 （拉 普拉斯定理）：设在行列式 D 中任意取定了 11 nkk 行，由这 k行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式 D . 3 2.2 分块矩阵的性质 定理 11.2.2 设 CBA , 是相同维数的矩阵， r 与 s 为数，则有 a. ABBA b. )()( CBACBA c. AA 0 d. rB
11、rABAr )( e. sArAAsr )( f. ArssAr )()( 定义 12.2.2 若 A 是 nm 矩阵， B 是 pn 矩阵， B 的列是 pbb ,1 ，则乘积 AB 是pm 矩阵，它的各列是 pAbAb ,1 ，即 pp AbAbAbbbbAAB 2121 定理 13.2.2 设 A 为 nm 矩阵， B 、 C 的维数使下列各式的乘积有定义 . a. CABBCA )()( （乘法结合律） b. CABACBA )( （乘法左分配律） c. CABAACB )( （乘法右分配律） d. )()()( rBABrAABr ,r 为任意数 注意： 1. 一般情况下， BAAB
12、 . 2. 消去律对矩阵乘法不成立，即若 ACAB ，一般情况下， CB 并不成立 . 3. 若乘积 AB 是零矩阵，一般情况下，不能断定 0A 或 0B . 矩阵的乘幂 若 A 是 nn 矩阵， k 是正整数，则 kA 表示 k 个 A 的乘积 . 若 A 不是零矩阵，且 x 属于 nR ，则 xAk 表示 x 被 A 连续左乘 k 次 .若 0k ，则 xA0 就是 x 本身 .因此 0A 被解释为单位矩阵 .矩阵乘幂在理论和应用中都很有用处 . 矩阵的转置 给定 nm 矩阵 A ，则 A 的转置是一个 mn 矩阵，用 TA 表示，它的列是由 A 的对应行构成的 . 定理 14.2.2 设
13、 A 与 B 表示矩阵，其维数使下列的和与积有定义，则 a. AA TT )( . b. TTT BABA )( . 4 c. 对任意数 r， TT rArA )( . d. TTT ABAB )( . 矩阵的逆 矩阵代数提供了对矩阵方程进行预算的工具以及许多与普通的实数代数相似的有用公式 .本节研究矩阵中与实数的倒数（即乘法逆）类似的问题 . 实数 5 的乘法逆是 51 或 15 ，它满足方程 1551 和 155 1 矩阵对逆的一般化也要求两个方程同时成立，并避免使用斜线记号表示除法，因为矩阵乘法不是可交换的 .进一步的，完全的一般化是可能的，当且仅当有关矩阵是方阵 . 一个 nn 矩阵
14、A 是可逆的，若存在一个 nn 矩阵 C 使 IAC 且 ICA 这里 nII 是 nn 单位矩阵，这时称 C 是 A 的逆矩阵 .实际上， C 由 A 唯一确定，因为若 B 是另一个 A 的逆矩阵，那么将有 CICCBAACBBIB )()( ,于是，若 A 可逆，它的逆是唯一的，我们将它记为 1A 于是 IAA 1 且 IAA 1 不可逆矩阵 有时称为奇异矩阵，而可逆矩阵也成为非奇异矩阵 . 定理 15.2.2 设 dc baA，若 0bcad ，则 A 可逆且 ac bdbcadA 11 若 0bcad ，则 A 不可逆 . 定理 16.2.2 若 A 是可逆 nn 矩阵，则对每一个 n
15、R 中的 b ，方程 bAx 有唯一解bAx 1 . 定理 17.2.2 a. 若 A 是可逆矩阵，则 1A 也可逆而且 AA 11)( . b. 若 A 和 B 都是 nn 可逆矩阵， AB 也可逆，且其逆是 A 和 B 的逆矩阵按相反顺序的乘积，即 111)( ABAB c. 若 A 可逆，则 TA 也可逆，且其逆是 1A 的转置，即 TT AA )()( 11 . 定理 18.2.2 nn 矩阵 A 是可逆的，当且仅当 A 行等价与 nI ，这时，把 A 变为 nI 的一系列初等行变换同时把 nI 变成 1A . 5 分块矩阵的逆 下例说明分块矩阵的逆的求法 . 例 9.2.2 形如 2
16、222110 AAAA 的矩阵称为分块上三角矩阵，设 11A 是 pp 矩阵，且 A 为可逆矩阵 .求 1A 的表达式 . 解 用 B 表示 1A 且把它分块使 qp CCBB BBAAA 0 00 2221 1211221211 (2) 这个矩阵方程包含了 4 个有关未知子矩阵 2211 , BB 的方程，计算（ 2）式左边的乘积得 pIBABA 12121111 (3) 012121212 BABA (4) 02122 BA (5) pIBA 2222 (6) 方程（ 6）本身并不能说明 22A 可逆，因我们还不知道 pIAB 2222 ，但应用可逆矩阵定理，及 22A 是方阵的事实，可以
17、断定 22A 为可逆且 12222 AB .现在我们利用（ 5）式求得 0012221 AB 因此（ 3）式简化为 pIBA 01111 这说明 11A 是可逆的，且 11111 AB ，最后由（ 4） 1221222121211 AABABA 和 1221211112 AAAB 于是 122 1221211111112222111 00 A AAAAAAAA 分块对角矩阵是一个分块矩阵，除了主对角线上各分块外其余全是零分块 .这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆 .6 3 分块矩阵的计算 3.1 分 块 矩 阵 的基本 运 算 矩 阵 的分 块 技巧性 较强 ，要根据不同的
18、 问题进 行不同的分 块 ，常 见 的方法有四种： （ 1）列向量分法 ),2,1(),( 21 niaaaaA in 为 A 的列向量 . （ 2）行向量分 发 ),2,1(21niA in 为 A 的行向量 . （ 3）分成 两块 ),( 21 AAA 其中 21,AA 分别为 A 的若干列 . （ 4）分成四块 43 21 CC CCA 对 分 块 矩 阵 可以 进 行 广义 初等 变换 ， 广义 初等 变换 分 为 三种： （ 1） 交 换 分 块阵 的 两 行（或列）； （ 2） 用一可逆矩 阵 左（右）乘以分 块 矩 阵 的某一行（或列）； （ 3） 用某一矩 阵 左（右）乘以某一行（或列）加到另一行（或列） . 根据 广义 初等 变换 的 类 型 对应三 种 广义 初等 阵 （ 1） 00nmE E ; （ 2） GDGEED ,0 0,0 0 均 为 可逆 阵； （ 3） EHEEME 0,0. 3.2 分块矩阵的加法 计算 BA 时，若对 BA, 分块 ,则要求用子块表出的 BA, 应同型且对应位置的子块也应同型 . 如对矩阵 A 分块为 ECOEA1011012100100001则对 B 也应予以同型的分块
