1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 矩阵分解的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 : 数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美，而矩阵就是其中的重要组成部分 .在近代数学 、 工程技术 、 经济理论管理科学中，大量涉 及到矩阵理论的知识 .矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用 .寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义 .这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用 .本文首先 给出了矩阵的定义，接下来
2、叙述了矩阵的分解，然后介绍了矩阵分解的几种类型， 如满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、 QR 分解等常用的几种分解，最后通过简单的应用来说明矩阵分解的重要作用 . 关键字 :满 秩分解；奇异值分解 ;三角分解 ;和式分解 ;QR 分解 单纯形法的 II MATRIX FACTORIZATIONS Abstract： Mathematics as a kind of creative activity possesses not only truth, but supreme beauty, but with matrix is one of the important part in
3、modern mathematics. Economic theory, engineering technology, management science, large involves matrix theory knowledge. Matrix decomposition of matrix theory and the development of modern computing mathematics plays a key role in various meanings. Seek matrix decomposition form, is under the right
4、and matrix related numerical calculation and theoretical has a very important significance. These decomposition in numerical algebra and optimization problems to solve all plays a very important role in other fields and also plays an indispensable role. This paper presents the definition of the matr
5、ix, then describes the matrix decomposition, then introduces the decomposition of matrix of several types, such as full rank factorization and singular value decomposition, triangle decomposition, induces decomposition, decomposition of several normal decomposition, finally through simple applicatio
6、n to illustrate the decomposition of matrix the important role. Key words: Full rank factorization, Singular value decomposition, Triangle decomposition, Assignment-compatible decomposition, III 目 录 目 录 . 3 1 前 言 . 1 1.1 研究背景 . 1 1.2 研究意义 . 1 1.3 研究目标 . 1 1.4 研究方法 . 1 1.5 研究步骤 . 1 2 矩阵分解的相关概念介绍 . 1
7、2.1 矩阵的定义 . 1 2.2 矩阵分解的含义 . 1 3 矩阵分解的几种形式 . 2 3.1 满秩分解 . 2 3.2 奇异值分解 . 5 3.3 三角分解 . 10 3.4 和式分解 . 13 3.5 QR 分解 . 14 4 矩阵分解的应用 . 15 4.1 数值计算上的应用 . 15 4.2 简化问题上的应用 . 20 5 总 结 . 21 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 22 1 1 前 言 1.1 研究背景 由于在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识 .因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一 .另一方面，矩阵理 论
8、发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富 .矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用 .寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义 .因为这些分解式的特殊形式， 一是能够明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据 .这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用 . 1.2 研究意义 通过网络以及图书馆的大量文献资料的查找和翻阅， 向人们介绍矩阵及矩阵分解的理论知识 ，主要是矩阵的各种分解形式的定义以及它们的应用 . 1.3 研究目
9、标 熟悉矩阵分解的基本理论，了解矩阵的几种常用分解形式 .通过学习可以具有分析问题，解决问题的基本能力，并且能用相关的分解形式来解决 数值代数和最优化问题等方面的问题 . 1.4 研究方法 探讨矩阵分解的理论知识与应用问题，要理论联系实际！怎么把矩阵分解的知识应用到实际中！矩阵分解的知识在实际中有很广泛的作用 主要是通过大量的搜查资料，寻找相关信息，总结矩阵分解的理论知识和实际应用 .我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息 1.5 研究步骤 第一部分：引言分析研 究背景、研究意义、研究目标、研究方法和研究思路 第二部分：矩阵分解的相关概念介绍 ,即矩阵的基本概念，矩阵分解的定义 .
10、第三部分：对矩阵分解的几种常用形式进行分析，即对满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、 QR分解的定义以及定理做出说明 . 第四部分：矩阵分解的应用，在数值计算上的应用，在最优化问题方面的应用 . 第五部分：小结 . 1 2 矩阵分解的相关概念介绍 在数学的应用中，我们经常会用到矩阵的分解，通过矩阵的分解，常常可以达到简化计算的目的 .在数值计算上，最优化问题上都有用到 .可是，很多人对矩阵分解的了 解还是不够的，他们分不清什么才是矩阵的分解以及矩阵几种分解形式的区别，在什么情况下，用怎样的分解形式才能达到简化计算的目的 . 那么 我们首先介绍一下矩阵的定义 2.1 矩阵的定义 定义 1：
11、 由 mn 个数 ( 1 , 2 , , , 1 , 2 , , )ija K i m j n 排成的 m 行、 n 列的长方形表 11 12 121 22 212nnm m m na a aa a aa a a(1) 称为数域 K 上的一个 mn 矩阵 .其中的 ija 称为这个矩阵的元 .两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等 1. 矩阵通常用一个大写拉丁字母表示 .如（ 1）的矩阵可以被记为 A .如果矩阵的行数 m 与列数 n相等，则称它为 n 阶方阵 .数域 K 上所有 mn 矩阵的集合记为 ,mnMK,所有 n 阶方阵的集合记为 nMK，元全为 0 的矩阵称为零矩阵，记为 0.矩阵
12、 A 的位于第 i 行、第 j 列的元简称为 A 的 ,ij 元，记为 ,Ai j .如果矩阵 A 的 ,ij 元是 ( 1 , 2 , , , 1 , 2 , , )ija i m j n，则可以写成 ijAa .为了说明这个矩阵是 m 行 n 列的，也可写成 ij mnAa 或 mnA .当 mn 时又记为 ij nAa 【 2】 . 2.2 矩阵分解的含义 简单的说，矩阵分解是指将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵 的和或乘积2.也就是说，矩阵分解就是将矩阵分解为各种形式，通过各种形式的应用来体现矩阵分解的意义 .主要通过下面的几种分解形式来具体的介绍 . 2 3 矩阵分解
13、的几种形式 3.1 满秩分解 如果矩阵 A 的行（列）向量组线性无关，则 A 有行（列 ） 满秩矩阵 定义 2：设 mnrAR （ r0） ,即 A 的秩是 r ,则存在矩阵 ,m r r nrrF R G R,使得 A FG (2) 则称式（ 2）是矩阵 A 的满秩分解 3. 证：因为 ()rank A r ，所以存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶置换阵 Q ，使00r TEBA P Q .令 12P p p ,其中 1p 是 mr 列满秩阵 ,这样 1 2 1 1 1,00r T T TrEBA p p Q p p B Q P E B Q , 显然 , TrE B Q 是行满秩的 rn 阵
14、 .令 1 , TrF P G E B Q ,即得所证 . 设 1 2 1 2, , , , , , ,rrF p p p G q q q, 则 12121, , ,TT rTr i iiTrqqA p p p p qq. 这也是 A 的满秩分解的表示形式 . 定理 1【 4】 秩为 r 的实矩阵 mnA 可分解成 r 个秩为 1 的矩阵之和 . 证明 由性质可知存在可逆矩阵 P 、 Q ，使得 000rEA P Q 因此，得 100010000rrii nnEA P Q P Q 3 而秩00100i nnPQ秩001100i nn， 1,2, ,ir 得证 . 下面 是求矩阵 A 的满秩分解
15、的例子 . 例 1 设 1 2 3 4 52 1 6 1 03 2 1 0 1 0, , , ,2 3 1 0 1 34 4 1 6 0 1A a a a a a . 求矩阵 A 的满秩分解 . 解 先用行初等变换把矩阵 A 化为简化阶梯形 21314122 1 6 1 0 2 1 6 1 03 2 1 0 1 0 1 1 4 0 02 3 1 0 1 3 0 2 4 2 34 4 1 6 0 1 0 2 4 2 1rrrrrrA 122121 1 4 0 0 1 0 2 1 00 1 2 1 0 0 1 2 1 00 2 4 2 3 0 0 0 0 10 2 4 2 1 0 0 0 0 0r
16、rrr 1 2 3 4 5, , , , 0G , 其中， 1 0 2 1 00 1 2 1 00 0 0 0 1G是 35 行满秩阵 . 显然 1 2 5, 线性无关 ,且 3 1 2 4 1 22 2 , .由于行初等变换保持矩阵列向量组的线性组合关系 ,因此 1 2 5, 线性无关 ,且 3 1 2 4 1 22 2 , .取 4 1 2 52 1 03 2 0,2 3 34 4 1F , 显然 F 是 43 列满秩阵 ,且 1 2 51 0 2 1 0, , 0 1 2 1 00 0 0 0 1FG 1 2 1 2 1 2 5, , 2 2 , , 1 2 3 4 5, , , , A
17、 , 即为 A 的满秩分解 . 更进一步有如下定理 . 定理 2(正交满秩分解定理 ) 设 A 是 mn 阶实矩阵 , A 的秩为 r，则存在 mr 列正交矩阵 W和行满秩的 rn 阵 R ，使 A WR .其中， W 列正交的含意为 T rWW E . 证 由前面对满秩分解的定义可知 ,存在列满秩的 mr 阵 F 和行满秩的 rn 阵 G ,使A FG .于是 TFF是秩为 r 的 r 阶方阵 ,且易证 TFF是正定阵 .这样存在 r 阶正定阵 S ,使得2TF F S .且 1 1 1 1 1 2 1T T rF S F S S F F S S S S E .记 ,W FS R SG,则
18、W 是mr 列正交阵 ,即 T rWW E ,且 R 是行满秩的 rn 阵 .显然有 1W R FS SG FG A ,这便是A 的正交满秩分解 . 例 2 求矩阵 A 的满秩分解的表达式 (1) 1 4 1 5 62 0 0 4 61 2 4 4 1 91 2 1 1 1 6A , (2) 1 1 0 1 0011112 3 1 3 1A解 (1)对矩阵 A 只作初等行变换得到行简化阶梯形矩阵 5 1 0 0 2 30 1 0 1 20 0 1 1 50 0 0 0 0于是取 1 4 1 1 0 0 2 32 0 0 , 0 1 0 1 21 2 4 0 0 1 1 51 2 1BC 那么
19、A BC ,即为其满秩分解表达式 . (2) 对矩阵 A 只作初等行变换得到行简化阶梯形矩阵 1 0 1 0 10 1 1 1 10 0 0 0 0于是取 11 1 0 1 0 10 1 , 0 1 1 1 123BC 那么 A BC ,即为其满秩分解的表达式 . 从上面两个例子 ,我们可以看出对此类问题有一种很普遍的方法 .设 A 为一个 mn 形矩阵 ,其秩为 r ,对 A 仅作初等行变换即可得到它的行简化阶梯形矩阵 J ,假设主元所在的列为第 1i 列 ,第 2i列 , ,第 ri 列向量组成矩阵 B ,B 是一个 mn 形矩阵 ;然后将 J 中元素全为零 的行去掉 ,剩下的行向量组成矩阵 C ,C 是一个 rn 形的矩阵 .最后得到 A BC ,即为所求矩阵 A 的满秩分解的表达式 .另外 ,要注意矩阵满秩分解表达式并不唯一 . 3.2 奇异值分解 为了引入矩阵的奇异值 ,先介绍两个引理 5 引理 1 对于任何一个矩阵 A 都有 rank HAA =rank HAA=rankA 证明：方程组 0HA AX 与 0AX 同解，所以有 rank HAA=rankA
