1、 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 几类二阶微分系统解的有界性和收敛性 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 常微分方程 1 有界性的研究是常微分方程定性理论中的一个十分重要的研究内容 ,它具有深刻的物理背景和数学模型近年来 ,这一研究主题在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视 . 一方面 ,它有着广泛的实际背景 ,另一方面 ,有着重要的理论价值 .在研究微分方程定性理论中，二阶微分方程解的有界性是一个重要话题 .在具体的生产实践的 过程中，有许多具体的工程技术的问题都可以归结为二阶微分方程 .因此 ,有关二阶微分方程的定性与稳定性研究在最近几十年里
2、已经引起了人们的广泛兴趣 .其中许多具体二阶微分方程定性与稳定性的研究都是从研究其解的有界性开始的，因此二阶微分方程解的有界性研究就是一个引起众多数学家和其他科学家研究的广泛课题 . 近年来 ,国内外已有大批学者从事这方面的理论研究 ,取得了一系列较好的结果 .对生产生活和科学技术的发展起到了直接或间接的推动作用，因此，对二阶微分方程解的有界性的研究意义重大 . 常微分方程在 19 世纪发展迅速，并诞生了一系列 具有重大意义的研究理论 19 世纪末，由庞加莱创立的常微分方程实域定性瀆论便是其中最重要的理论成果之一从常微分方程产生到 1820 年，常微分方程理论的唯一问题是：找到给定微分方程的解
3、析解然而随着研究的扩展和深入，人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型甚少 1836 年，施图姆的论文从新的定性角度研究二阶线性微分方程随后，他与刘维尔合作开创了分析中一个新的分支施图姆 -刘维尔理论，其特征是：当找不到解的任何可行表达时，直接从方程本身寻找答案，这时，由方程决定的性质必然是定性的这种思想与代数方程领域中阿贝尔 、伽罗瓦由寻求根式解转到研究解的存在和性质的思想是平行发展的施图姆 -刘维尔理论可看作 常 微分方程定性理论的早期萌芽 近年来，由于二阶微分方程具有广泛的应用背景，同时随着科学技术的日益发展，二阶微分方程的模型也越来越丰富，国内外各个大学和科学研究所的学者专家对二阶微
4、分方程解的研究都取得了喜人的成果，并且总结出了一套相对完整的理论，主要成果包括二阶微分方程解的性质（见文献 1-6），二阶微分方程的几种解法（见文献 7-10），二阶微分方程解的有界性的判定定理及其条件（见文献 11-15） . 本学位论文希望利用大学 本科所学常微分方程知识来对上述问题做一些简单的总结和探讨，希望寻求出有关二阶微分方程解的有界性和收敛性的新结果，希望将所获得的理论结果结合具体的二阶微分方程的模型进行应用，并希望改进推广已有文献的一些结果 . 二、 研究的基本内容与拟解决的主要问题 我们希望进一步研究二阶微分方程解的有界性和收敛性，并将理论模型结合实际模型 ，总结一些 二阶微分
5、方程解的有界性 地判定方法和二阶微分系统轨线收敛性问题，分析 二阶微分方程解的有界性和收敛性 的条件，并领会 二阶微分方程解的有界性和收敛性 在数学中的地位以及具体生产实践中的应用 和 学会证明 二阶微分方程解的有界性和收敛性 的数学分析方法，总结并证明一些在研究中常常碰到的问题，主要包括对如下一些重要问题的研究 问题 1研究一般 Linard 系统： 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )niiidx y y xdtdy y h y f x p y f x g x k ydt （ 1） 解的有界性 ,并能获得系统 ( )存在无界解的充分条件 ,并可以结合具体的实例对所
6、获结果进行应用，希望所取得的结果改进和扩展已有文献中的相应结果。 问题研究广义 Linard 系统： ),()( xFypdtdx ).,()( yxqxgdtdy （ 2） 存在最终正解和最终负解的新充分条件，希望所获结果改进和扩展已有文献的相应结果 问题 3研究一类二阶非线性微分系统 ( ) , ( , , ) ( ) ( ) ( )d x d yp y f t x y q y k y g xd t d t （ 3）的解的渐近性态 .在系统具有适当保证所有解有界的条件成立时，能够证明其每个解收敛于奇点 .希望所获结果改进和推广文献中的相应结论 三、 研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到
7、的目标 本人在阅读了大量中文 文献的基础上，培养了自己综合分析的能力，并查阅了多本关于此课题的著作和相关期刊，特别是由许多学者们对二阶微分方程解的有界性和收敛性的研究所得的理论对我的研究提供了很大的帮助，在此基础上我深入理解二阶微分方程解的有界性和收敛性的定理，研究这个课题的重要性以及实用性，并且运用所学知识有效地对此进行总结研究，再通过对比、分析、归纳已有的结论，并在此基础上经过进一步思考，提出了自己的一些结论，并对此进行证明，课题的主要内容是研究二阶微分方程解的有界性和收敛性，并得出系统（ 1）存在无界解的充分条件以及系统（ 2）存在无 界解的两个充分条件和所有解正向有界的充分条件和充要条
8、件，还有二阶微分系统（ 3）的轨线收敛性， 并希望得到一些新的判别这类二阶微分系统轨线收敛性的判别法则 研究方法和技术路线主要是通过在收集整理已有文献的结论的基础上，充分运用大学本科阶段所学的常微分方程及其相关课程的理论知识，总结其结论的发展过程，通过研究两类具体的二阶非线性泛函微分方程解的有界性，推广并改进已有文献中的相应结果最后预期达到的目标是通过假设推得方程解的有界性，得到一些新的判别这类二阶微分系统轨线收敛性的判别法则 . 四、论文详细工 作进度和安排 （一） 第七学期第 9-10 周：确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确
9、定外文翻译资料； （二） 第七学期第 11-12 周：仔细研读，分析资料，完成外文翻译； （三） 第七学期第 13-17 周：认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告； （四） 第七学期第 18 周：并完成网上确认； （五） 寒假期间：完成论文初稿； （六） 第八学期第 1-3 周：修改论文初稿，并确定进入实习阶段； （七） 第八学期第 4-10 周：进入 实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。 （八） 第八学期第 11 周：完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告； （九） 第八学期第 12-14 周：对论文进一步修改，并定稿； （十） 第八学期第 15-16 周：准备并完成毕业答
10、辩 五、主要参考文献 1 王高雄 ,周之铭 ,朱思铭等 .常微分方程 M.北京 :高等教育出版社 .1978. 2 刘炳文 ,杨伟 ,马军 .一类二阶微分系统的解的收敛性 J.安徽师范大学学报 (自然科学版 ).2002,25(1):7 10. 3 Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations J.Bull Amber Math Soc. 1984,11:1 64. 4 Zhou Jin. Bounded ness and convergence of solutions of a second-ord
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