1、第 75 炼 几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点
2、与圆的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量： ；若点在圆上，则 为直角（ACB0CABACB） ；若点在圆外，则 为锐角（ ）00（3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：，则 共线 ；12,axyby,ab121xyab120xy（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数
3、乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点 ，则 的123,AxyBCxyABC重心 123123,xyG（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）： ,IPACIQ在 的角平分线上 IBAICIBP（4） 是以 为邻边的平行四边形的顶点P,DA（5） 是以 为邻边的菱形的顶点： 在 垂直平分线上P,DABPAB（6）共线线段长度的乘积：若
4、共线，则线段的乘积,ABC可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，ACBBC AIQPAPDBAPDBA BC二、典型例题：例 1：如图： 分别是椭圆 的左右顶点， 为其右焦点，,AB2:10xyCabF是 的等差中项， 是 的等比中项2,F3,AFB（1）求椭圆 的方程（2）已知 是椭圆 上异于 的动点，直线 过点 且垂直PC,lA于 轴，若过 作直线 ，并交直线 于点 。证明：xFQAPQ三点共线,QB解：（1）依题意可得： ,0,0aBFc,AFcac是 的等差中项 2B42Aaca是 的等比中项 3,AF2 223FBcb2b椭圆方程为： 2143xy（2）由（
5、1）可得： ,02,1,0ABF设 ，设 ，联立直线与椭圆方程可得：:2APykx1Pxy2 22343610k22116844Akxxk123y261,34kP另一方面，因为 FQAP1FQk，联立方程：1:yxk32,2yxQk2,0B34BQk2210343684BPkkkBP三点共线,例 2：已知椭圆 的右焦点为 ， 为上顶点， 为坐标原点，若)0(12bayxFMO 的面积为 ，且椭圆的离心率为 OMF2（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线 l交椭圆于 ， 两点， 且使点 F为 的垂心？若存在，求出PQPQM直线 l的方程；若不存在，请说明理由解：（1） 1122OMFSbcA:c
6、eabc1b22椭圆方程为： 21xy（2）设 ， 由（1）可得： ),(1P),(2Q0,1,MF为 的垂心MFk1PQMFk设 :PQyxm由 为 的垂心可得： FMPFQ12,1,xyxy220PQ因为 在直线 上,yxm，代入可得：12yx1120x即 )(22 mx考虑联立方程：得 2ymx 02432x21603m, 代入可得：1243x221x20m解得： 或 431当 时， 不存在，故舍去1PQM当 时，所求直线 存在，直线 的方程为mll34xy小 炼 有 话 说 ：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析
7、几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例 3：如图，椭圆 的一个焦点是)0(12bayx， 为坐标原点.1,0FO（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点 且不垂直 轴的直线 交椭圆于 两点，若直线 绕点 任意转动，恒有Fxl,ABlF, 求 的取值范围.2OABa解：（1）由图可得： 由正三角形性质可得： 10,3Mb 3,6MFOk1Fk3b224abc椭圆方程为： 43xy（2）设 ， :1lk12,AxBy22OAB2cos 0OAB为钝角12OABxy联立直线与椭圆方程： ，整理可得：2222211kxbxakabbay22 0akbx
8、221212,akkbxa22212111y xk2222akbkbaa2212 0xyk恒成立220akbab即 恒成立222kabab021解得： 221a5a的取值范围是 5,例 4：设 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦,AB210xyab距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为 （1）求椭圆的方程；（2）设 为直线 上不同于点 的任意一点， 若P4x4,0直线 分别与椭圆相交于异于 的点 ，证明：点 在以 为直径的圆内 ,AB,AB,MNBMN解：（1）依题意可得 ，且到 右焦点距离的最小值为 2ac 1ac可解得： ,13b椭圆方程为 24xy（2）思路：若要证 在以 为
9、直径的圆内，只需证明 为钝角，即 为锐BMNMBNBP角，从而只需证明 ，因为 坐标可求，所以只要设出 直线（斜率为 ）0P,ABAk，联立方程利用韦达定理即可用 表示出 的坐标，从而 可用 表示。即可判k1k断 的符号，进而完成证明B解：由（1）可得 ，设直线 的斜率分别为 ， ，则2,0,AB,ABN1,xy联立 与椭圆方程可得：:AMykxM，消去 可得： 2341y222431610kxk22116683AkxxA B(4,0)MN Poy x，即 12143kykx2681,43kM设 ，因为 在直线 上，所以 ，即0,PA046yk4,Pk2162,6,43kBk2223403kP
10、Mk为锐角， 为钝角 在以 为直径的圆内BBNMN例 5：如图所示，已知过抛物线 的焦点 的直线 与抛物24xyFl线相交于 两点，与椭圆 的交点为 ，是否,A31,CD存在直线 使得 ？若存在，求出直线 的lFCBD l方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点 ，设 0,1:1lykxAFCBF，不妨设DADC则 ,AFBF设 1234,xyxy12, 134,CFxyFDxy考虑联立直线与抛物线方程： 1234 22140ykxkx，消去 可得： 1224xxk2x2联立直线与椭圆方程： ，整理可得：22216314634ykxx23610kxk3442263kx22163k由可
11、得：，解得： 22643k21k所以存在满足条件的直线，其方程为： 1yx例 6：在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的准线方程为 ，xO20py12y过点 作抛物线的切线 ，切点为 （异于点 ） ，直4,0MMAO线 过点 与抛物线交于两点 ，与直线 交于点 l ,PQN（1）求抛物线的方程（2）试问 的值是否为定值？若是，求出定值；若NP不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得： 12p抛物线方程： 2xy（2）设切点 ，抛物线为 0,A2x切线斜率为yx0k切线方程为： ，代入 及0yx4,0M201yx可得： ，解得： （舍）或 2014x088,3A:Oyx设 :PQxm共线且 在 轴
12、上,MPNQx1PQNNNPQPQyyy联立 和抛物线方程： ，整理可得：P224xm28160myy22,PQPQ再联立 直线方程： ,OA4164Nyxymm28164PQNMyP例 7：在 中， 的坐标分别是 ，点 是 的重心， 轴ABC,0,GABCy上一点 满足 ，且 GMCB（1）求 的顶点 的轨迹 的方程E（2）直线 与轨迹 相交于 两点，若在轨迹 上存在点 ，使得四边形:lykxm,PQER为平行四边形（其中 为坐标原点） ，求 的取值范围OPRQOm解：（1）设 由 是 的重心可得：,CxyGABC由 轴上一点 满足平行关系，可得 ,3GM0,3yM由 可得： MCB22213xy化简可得： 206xy的轨迹 的方程为：CE2106xy（2）
