1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学理一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 |(1)20Ax，集合 |13Bx，则 AB=( )A.x|-1x3 B.x|-1x1 C.x|1x2 D.x|2x3解析： |12,|13,|13AxBxABx答案：A2.设 i 是虚数单位，则复数 3i( )A.-i B.-3i C.i D.3i解析： .答案：C3.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是( )A. 32- B. C.-12 D.解析：这是一个循环结构，每次循环的结果依次为： 2;34;5
2、kk，大于 4，所以输出的 51sin62S.答案：D4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是( )A. B. C. D.解析：对于选项 A，因为 2sin,yxT，且图象关于原点对称.答案：A5.过双曲线213yx的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B两点，则 AB( )A. 43 B.2 C.6 D. 43解析：双曲线的右焦点为 F(2，0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2，渐近线方程为21yx，将 x=2 代入213yx，得 y2=12，y=2 .3答案：D6.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大
3、的偶数共有( )A. 144 个 B. 120 个 C. 96 个 D. 72 个解析：据题意，万位上只能排 4、5.若万位 上排 4，则有 342A个；若万位上排 5，则有34A个.所以共有 32A35210个.答案：B7.设四边形 ABCD 为平行四边形， 6B， 4AD.若点 M，N 满足 3BC，2DNC，则 AMN( )A. 20 B. 15 C. 9 D. 6解析：因为 31,443ABDNCADB，所以.答案：C8.设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“ 3ab”是“ log3lab”的 ( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条
4、件解析：若 3ab，则 ab1，从而有 log3lab，故为充分条件，若logl，不一定有 ab1，比如：a= ，b=3，从而 3a3 b3，不成立.1答案：B 9.如果函数 2810fxmxnmn， 在区间 12， 单调递减，则 mn 的最大值为( )A.16 B. 18 C.25 D.812解析： m时，抛物线的对称轴为 82nxm.据题意，当 2时， 82nm即1n. 26,1n.由 n且 1得3,6.当 时，抛物线开口向下，据题意得， 82即 8n.289,2m.由 n且 得 9，故应舍去.要使得 n取得最大值，应有 1m(,8).所以(182)(8)6，所以最大值为 18.答案：B1
5、0.设直线 l 与抛物线 24yx相交于 A，B 两点，与圆 2250xyr相切于点M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( )xy1234 12345678923456123456 ABCFOMA.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4)解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则斜率存在时，设斜率为 k，则 y12=4x1，y 22=4x2，利用点差法可得 ky0=2，因为直线与圆相切，所以 ，所以 x0=3，即 M 的轨迹是直线 x=3，代入抛物线方程可得 y=2 ，所以交点与圆心(5，0)的距离
6、为 4，3所以 2r4 时，直线 l 有 2 条；斜率不存在时，直线 l 有 2 条；所以直线 l 恰有 4 条，2r4.答案：D二、填空题(每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上)11.在 21)x的展开式中，含 2x的项的系数是 (用数字作答).解析： 55()，所以 的系数为 25()40C.答案：-4012. 75sin1i .解析： 6iisi1cos52in(145)2.答案： 6213.某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数，k、b 为常数).若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22
7、的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是 小时.解析：由题意可得，x=0 时，y=192；x=22 时，y=48.代入函数 y=ekx+b，可得 eb=192，e 22k+b=48，即有 e11k= ，e b=192，12则当 x=33 时，y=e 33k+b= 192=24.8答案：2414.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ上，E、F 分别为 AB、BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为 .解析：根据已知条件，AB，AD，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴
8、，建立如图所示空间直接坐标系，设 AB=2，则：A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)；M 在线段 PQ 上，设 M(0，y，2)，0y2； =(-1，y，2)， =(2，1，0)；EAFcos=|cos ， |= ；cos 2= ，设 t= ，整理得：(5t-1)y2+4y+25t-4=0，将该式看成关于 y 的方程；(1)若 t= ，则 y=- ，不符合 0y2，即这种情况不存在；154(2)若 t ，便是关于 y 的一元二次方程，该方程有解；=16-4(5t-1)(25t-4)0；解得 0t ；t 的最大值为 ；425425cos 2 的最大值为 ，cos 最大值为 .42
9、5故答案为：15.已知函数 f(x)=2x，g(x)=x 2+ax(其中 aR).对于不相等的实数 x1、x 2，设 m=，n= .现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1、x 2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x 2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x 2，使得 m=n；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x 2，使得 m=-n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).解析：对于，由于 21，由指数函数的单调性可得 f(x)在 R 上递增，即有 m0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得 g(x)在(-，- )递减，在( ，+)递减，则 n0
10、 不2a2a恒成立，则错误；对于，由 m=n，可得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)，考查函数 h(x)=x2+ax-2x，h(x)=2x+a-2 xln2，当 a-，h(x)小于 0，h(x)单调递减，则错误；对于，由 m=-n，可得 f(x1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2)，考查函数 h(x)=x2+ax+2x，h(x)=2x+a+2 xln2，对于任意的 a，h(x)不恒大于 0 或小于 0，则正确.故答案为：三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.设数列a n(n=1，2，3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn
11、=2an-a1，且 a1，a 2+1，a 3成等差数列.()求数列a n的通项公式；()记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得|T n-1| 成立的 n 的最小值.1na0解析：()由已知数列递推式得到 an=2an-1(n2)，再由已知 a1，a 2+1，a 3成等差数列求出数列首项，可得数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则其通项公式可求；()由()求出数列 的通项公式，再由等比数列的前 n 项和求得 Tn，结合|T n-1|1n求解指数不等式得 n 的最小值.10答案：()由已知 Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2)，即 an=2an-1(n
12、2)，从而 a2=2a1，a 3=2a2=4a1，又a 1，a 2+1，a 3成等差数列，a 1+4a1=2(2a1+1)，解得：a 1=2.数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列.故 an=2n.()由()得： ， .由|T n-1| ，得 ，即 2n1000.102 9=51210001024=2 10，n10.于是，使|T n-1| 成立的 n 的最小值为 10.117.某市 A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人
13、，女生中随机抽取 3 人组成代表队.()求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；()某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望.解析：()求出 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；()求出 X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解数学期望.答案：()由题意，参加集训的男、女学生个有 6 人，参赛学生全从 B 中抽出(等价于 A 中没有学生入选代表队)的概率为： ，因此 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为： .()某场比赛前，从代表队的 6 名
14、队员中随机抽取 4 人参赛，X 表示参赛的男生人数，则 X 的可能取值为：1，2，3，P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)= .X 的分布列：和数学期望 EX=1 +2 +3 =2.1531518. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设 BC的中点为 M、GH 的中点为 N.()请将字母 F、G、H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；()证明：直线 MN平面 BDH；()求二面角 A-EG-M 的余弦值.解析：()根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；()利用线面平行的判定定理即可证明直线 MN平面 BDH；()利用定义法求出二面角的
15、平面角进行求解.答案：()F、G、H 的位置如图.()证明：连接 BD，设 O 是 BD 的中点，BC 的中点为 M、GH 的中点为 N，OMCD，OM= CD，HNCD，HN= CD，OMHN，OM=HN，1212即四边形 MNHO 是平行四边形，MNOH，MN 平面 BDH；OH?面 BDH，直线 MN平面 BDH.()连接 AC，过 M 作 MHAC 于 P，则正方体 ABCD-EFGH 中，ACEG，MPEG，过 P 作 PKEG 于 K，连接 KM，KM平面 PKM则 KMEG，则PKM 是二面角 A-EG-M 的平面角，设 AD=2，则 CM=1，PK=2，在 RtCMP 中，PM
16、=CMsin45= ，2在 RtPKM 中，KM= = ，2PKM3cosPKM= = ，3即二面角 A-EG-M 的余弦值为 .219.如图，A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角.()证明： ；()若 A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求 的值.解析：()直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.()通过 A+C=180，得 C=180-A，D=180-B，利用()化简= ，连接 BD，在ABD 中，利用余弦定理求出sinA，连结 AC，求出 sinB，然后求解即可.答案：() .等式成立.()由 A+C=180，得 C=180-A，D=180-B，由()可知： = ，连结 BD，在ABD 中，有 BD2=AB2+AD2-2ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在BCD 中，有 BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC，所以 AB2+AD2-2ABADcosA=BC2+CD2-2BCCDcosC，则：cosA= .于是 sinA= ，连结 AC，同理可得：cosB= ，于是 sinB= .所以 .
