托勒密定理和“手拉手模型”在几何最值问题中的一个应用.doc

.托勒密定理和“手拉手模型”在几何最值问题中的一个应用1、托勒密定理：如图T1，AB、CD为O两条弦，则ABCD+ADBC=ACBD【证明】在BD上取点E，使BCE=ACD，则BCEACD，BCAC=BEAD，即ADBC=ACBE；同理，ECDABC，CDAC=EDAB，即ABCD=ACED；+得：ABCD+ADBC= AC（BE+ED）=ACBD。2、如图T2，ABC为正三角形，点P为弧AC上任意一点（不与A、C重合），则PB=PA+PC。【证明】根据托勒密定理，PABC+ABPC=PBAC，因为ABC为正三角形，故AB=BC=AC，所以PB=PA+PC。3、如图T3，在任意ABC所在的平面上，求一点D，使得DA+DB+DC的值最小。【解析】如图T3-1，以AC向外为边作等边三角形ACE，作ACE的外接圆O，连接BE，与O交于点D，点D为所求。【证明】（1）在图T3-1的情况下，根据上述2的情况，DA+DC=ED，点D到A，B，