自然数平方和公式.doc

.自然数平方和公式证明1。此式对于任何自然数n都成立。 依次把n=1，2，3,.,n-1,n代入止式可得 把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下 ；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到。现在这里 对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2。设12+ 22 + + n2 =An3+Bn2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A，B，C。D的四元一次方程组，可解得A=C=，B=，D=0，再用数学归纳法证明。证明3。设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 + +(1+x)n,则x2的系数和为 + + + =12+ 22 + + n2-(1+2+ + n)= 12+ 22 + + n2- -n(n+1)又f(x)=,其中x2的系数为,于是有12