正方形经典难题(有解析).doc

.正方形经典难题(有解析）已知正方形ABCD是一个正方形。一、F为CD上一点，G为对角线BD上一点，且FGBD，M为BG中点，连接AM、MF。求证：AM=MF，AMMF方法一：考虑到M是BG中点，GFBC，所以想到倍长中线证明：延长CB、FM交于点I，连接AI、AFGFCD，GFBCGFM=MIB又GM=MB，IMB=FMGGMFBMI所以MF=MI，BI=GF在RtADF与RtABI中AB=AD，DF=GF=BIADF=ABI=90ADFABI所以AF=AI，1=2IAF=2+BAF=1+BAF=90所以IAF是一个等腰直角三角形又MI=MFAMF是一个等腰直角三角形所以AM=MF，AMMF方法二：可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点旋转90的结果，条件中又有MG=MB，所以想到构造一个三角形与MGF全等。证明：延长FG交AB于J，连接JMGFCD四边形AJ