1、189初中数学竞赛辅导资料（53）条件等式的证明甲内容提要1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如： a+b=b+a， (a+b) 2=a2+2ab+b2 ， x = (x0)，4x2 ( )2=a (在实数范围内 a0)， =a(在实数范围内 n 为正奇数).ana都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例. 如：32=1， .3212. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值 ).3. 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.4. 证明条件等式的方法
2、，除和证明恒等式的一般方法(见第 20 讲) 以外，要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种： 用已知的条件直接代入(即等量代换 ). 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形 ). 引入参数后代入(包括换元 ).5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.乙例题例 1. 已知： , , 且 x+y+z0.azyxbxycyz求证： .11c分析：设法化为同分母， 轮换式可先代入一式，其余的可用同型式 用已知直接代入.证明 ： . zyxzya1根据 轮换式的性质，得 = . cba11 1zyxzzyx190例 2. 已知： .cba11求证： (n 是整数).12
3、1212 )( nnna分析：先把已知变形，找出 a, b, c 之间的关系.证明：由已知，去分母，得 bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 . (a+b)(b+c)(c+a)=0.a=b， 或 b=c， 或 c=a. n 是整数， 2n+1 是奇数. 当 a=b 时 ，左边= ；1212)( nncb右边= = .12)(nc即 a=b 时，等式成立.同理可证：当 b=c 和 c=a 时，等式也成立 . (n 为整数 ).121212 )(nnn cba例 3. 已知：ax 3=by3=cz3, .zyx求证：
4、.322cba33cba证明：设 ax3=by3=cz3= k . ( 引入参数)那么 ax2= , by2= , cz 2= . 代入左边，xyzk得 ： 左边= ；333 )1(kzyxk而且 a= , b= , c= . 代入右边，3x3y3z得： 右边= ( ) = .33kkzyx13k .322czbyax33cba191例 4. 已知： abc 0，方程(acbc)x 2+(bcab)x+(ab ac)=0 有两个相等实根.求证： bca1分析：要等式 成立，必须且只须 ac bc=abac.证明：方程有两个相等的实数根， =0.即 (bc ab)2 4(acbc) (abac)
5、=0.(bcab+ac ac) 2+4(bcac)(ab ac)=0 ， (添项 acac)(bc ac)(abac) 2+4(bcac)(ab ac)=0.(bc ac)+(abac) 2=0 .bcac+abac =0. acbc=abac. abc0，两边都除以 abc,得， .bca1例 5. 已知：a+ ， abc.b1求证：a 2b2c2=1.证明：由已知 ab= = , 1c a b，即 ab0，bc= .根据轮换式性质，得同型式： ca= , ab= .caab abbcca= . acbba 2b2c2=1.丙练习 531. 已知： abc=1. 求证： 11cac2. 已知
6、： x= , y= , z= .bac求证： (1+x)(1+y)(1+z)=(1x)(1y)(1 z).3. 已知：(ay bx) 2+(bzcy) 2+(cxaz) 2=0 . 求证： .czbyax4. 已知： . 求证： (a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).cb5. 已知： . zxyczxbyza2求证：a+b+c=0 .1926. 已知： ， a+b+c 0.bacbca求证： .8)()(7. 已知： 1949x2=1988y2 且 ， x0, y0.1yx求证： .9841984x8. 已知：x= ， 且 a0,00 9.把左边分母有理化4)(210.左边被开方数配方(a+ 可得 a=2,b=12)b4. 用反比，合比. 12. 0.
