1、第 64 炼 利用空间向量解立体几何问题一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定例如： ，则直线 的方向向量为 2,463,02ABAB1,4AB2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面 垂直的直线称为平面 的法线，法线的方向向量就是平面 的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（2）求法：（先设再求）设平面 的法向量为 ，若平面上所选两条直线的方,nxyz向向量分别为 ，则可列出方程组：12,axyzbxyz解出 的比值即可1220xyz,例如： ，
2、求 所在平面的法向量,13ab,ab解：设 ，则有 ，解得： ,nxyz20xyz2xyz:2:1,1n（二）空间向量可解决的立体几何问题（用 表示直线 的方向向量，用 表示平,ab,mn面 的法向量）,1、判定类（1）线面平行： ab （2）线面垂直： （3）面面平行： mn （4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角： cos,ab（2）线面角： cs,inma（3）二面角： 或 （视平面角与os,ncos,mn法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设 为平面 外一点， 为平面 上任意一点，则 到平面 的距APA离为 ，即 在法向量 上投影的绝对值。APndn（三）点的存在性问题：在
3、立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求先设出所求点的坐标 ，再想办法利用条件求出坐标,xyz2、解题关键：减少变量数量 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是,z确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费” （变量多，条件少，无法求解） ，要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（
4、1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若 使得 ,abR ab例：已知 ，那么直线 上的某点 坐标可用一个变量表示，,340,21APAP,Mxyz方法如下： 三点中取两点构成两个向量34,1,3Mxyz因为 在 上，所以 共线定理的应用（关键），即 仅用一个变量 表示113344xxyyzz1,34M（2）平面上的点：平面向量基本定理若 不共线，则平面上任意一个向量 ，均存,ab c在 ，使得： ,Rcab例：已知 ，则平面 上的某点 坐标可用两1,340,21,40APQAPQ,Mxyz个变量表示，方法如下： ，3,1,32,1MxyzP故 ，即 24343xyzz二、典型例题例 1：（
5、2010 天津）在长方体 中， 分别是棱 上的点，1ABCD,EF1,BC，2CFABE1:24（1）求异面直线 所成角的余弦值1,F（2）证明： 平面AD（3）求二面角 正弦值1E解：由长方体 得： 两两垂直1BC1,ABD以 为轴建立空间直角坐标系1,AD（1） 13,0,20,4,20EF1,A11 3cos, 5204EFD3s5B1 C1B CDAD1A1EF（2） ，设平面 的法向量为 1,2AF1AED,nxyz10,4,0D2:1:20yzxyzx 1,2n平面AFn 1AED（3）设平面 的法向量 ,mxyz1,0,12DE:20xyxzz 1,2m1,2n4cos,63nm
6、5si3例 2：如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，PABCDABPABCD， ，若 分别为棱 上的点， 为 中点，且4PAD2MN,COCO（1）求证：平面 平面 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值AC（3）求点 到平面 的距离N解： 平面PBD,A矩形 CA故 两两垂直,以 为轴建立空间直角坐标系PABDOA DB CPMN0,42,0,40,1,20PBCDO，且 分别为 的中线ACOMNAMCN,P设点 ，因为 三点共线xyz,而 PD4,0,4xyzPD0,44z而,M0AMPD1164020,2同理，设点 ，因为 三点共线,Nxyz,PNC而 PC42,4z2,4D4xy
7、z而,N0ANPC4+1640982,9（1）设平面 的法向量为 ABM1,nxyz2,0,2ABM1200,xyz设平面 的法向量为 PCD2,nxyz2,4,2,0PCD2240,1xyzOA DB CPMN120n12n平面 平面ABMPCD（2）设平面 的法向量为 ,nxyz,40,2C,12xynz而 ,0D设直线 与平面 所成角为 ，则CAM46sinco, 32Dn（3） 8120199676NACMdn 平 面例 3：已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 平面 PBDABC2,1,ADBPA， 分别是线段 的中点BD,EF,（1 ）求证： （2 ）在线段 上是否存在点 ，使得 平
8、面AGE，若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明P理由（3 ）若 与平面 所成的角为 ，求二面角BCD45的余弦值AF解：因为 平面 ，且四边形 是矩形PAABCD以 为轴建立空间直角坐标系，设 , Ph10,1,0,21,0,02hBDFE（1 ） ,PFPD FEA DB CP（2 ）设 0,Ga1,02Ea设平面 的法向量为 PFD,nxyz1,1,0PFhD02hxyzhz,2平面 EG PFDEGn解得 102nha14h存在点 ，为 的四等分点（靠近 ）AA（3 ） 底面 在底面 的投影为 PBCPBCDA为 与平面 所成的角，即D45为等腰直角三角形 即 A1Ah平面 的法向量
9、为PF1,2n平面 为 平面，所以平面 的法向量为 yOzP0,m设二面角 的平面角为 ，可知 为锐角AD16cos,mn例 4：四棱锥 中，平面 平面 ，PBCPABCD是 中点,90,3,AD 1,2,3,AOB（1 ）求证： 平面O（2 ）求二面角 的平面角的余弦值（3 ）在侧棱 上是否存在点 ，使得 平面PCMB，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由OD解：过 在平面 作 的垂线交 于ABCDQ为 中点 ,P O A DB CP平面 平面PABCD平面O,QAB以 为轴建立空间直角坐标系,P2O0,10,01,30BACD（1 ） 设平面 的法向量为2CDPOnxyz,P00Onz
10、xy1,0n平面CDPOC（2 ）设平面 的法向量为 1,nxyz1,2,20P10CnxyzD 12,n设平面 的法向量为PO2,n0,2,1302nzxyD23,10n1214cos,5n所以二面角 的平面角的余弦值为CPO45（3 ）设 ,MxyzCP1,1,2CMxyzCP,2z而平面 的法向量为,12BPDO23,10n平面 MPOD203BMn44C例 5：已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的菱形，APABCDa，120BAPb（1）求证：平面 平面 D（2）设 与 交于点 ， 为 中点，若二面角COM的正切值是 ，求 的值OM26:ab建系思路一：由 与底面垂直，从而以
11、作为 轴，以 为 轴，由 的菱形性质PAPAzBx120可得取 中点 ，连结 则有 ，从而建立空间直角坐CDTTB标系解：取 中点 ，连结 ，可得 CD平面 ABPA以 为轴建立空间直角坐标系 ,T可得： 1313,0,0,0,22aCaaPb（1）设平面 的法向量为 PBD,mxyz 3,02BDa0332baxbzyza,3ba设平面 的法向量为 PAC,nxy130,02APCaTABDCOA DCPM3011302xzyaxz3,10n平面 平面0mnPBDAC（2） 133,048OaMa设平面 的法向量为 P1,nxyz1313,048OPabOMa133048axybzy 13,0n设平面 的法向量为PMD2,nxyz 73,028PDabMDa13302778baxybzya 23,7n设二面角 的平面角为 ，则 ，可得 OPMDt61cos512241cos, 557bna210570ba24869a4:3b建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对角线垂直的特点，以 为坐标原点。过 作O的平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐PA标系使得底面上的点均在轴上；另一方面，可考OA DB CPM
