1、- 1 -2009 年高考数学试题分类详解数列一、选择题1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 na的公比为正数，且 3a 9=2 25， a=1，则 1= A. 21 B. C. 2 D.2 【答案】B【解析】设公比为 q,由已知得 228411aqa,即 q,又因为等比数列 na的公比为正数，所以 2,故 21,选 B2.（ 2009 广 东 卷 理 ） 已知等比数列 na满足 0,12,n ，且 25(3)na，则当 1n时， 212321loglloga A. () B. () C. 2 D. 2(1)n【解析】由 25n得 n2， 0a，则 n， 3212logla212 )1(3
2、logan ，选 C. 3.（2009 安徽卷文）已知 为等差数列， ，则 等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】 1350a即 105a 3同理可得 43a公差 432da204()d.选 B。【答案】B4.（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列 na的前 项和为 nS.若 4a是 37与 的等比中项, 832S,则 10等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 答案：C【解析】由 2437a得 2111()()6dad得 1230a,再由8156Sd得 78则 12,3da,所以- 2 -109602Sad,.故选 C5.（2009 湖南卷文）设 nS是等差数列
3、 na的前 n 项和，已知 23a， 61，则 7S等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解: 17267()()7(31)49.aaS故选 C.或由 21165d, 76213.所以 177()(3)49.2aS故选 C.6.（2009 福建卷理）等差数列 na的前 n 项和为 nS，且 3 =6， 1a=4， 则公差 d 等于A1 B 53 C.- 2 D 3【答案】：C解析 3136()2Sa且 11 =4 d2a.故选 C 7.（2009 辽宁卷文）已知 n为等差数列，且 72 a1, 30,则公差 d（A）2 （B） （C） （D）2【解析】a 72a 4a 34d2(a
4、3d)2d1 d 1【答案】B8.（2009 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为 nS ，若 63=3 ，则 69S = （A） 2 （B） 73 （C） 83 （D）3【解析】设公比为 q ,则 633(1)Sq1 q 33 q32于是 6693247【答案】B9.（2009 宁夏海南卷理）等比数列 na的前 n 项和为 ns，且 4 1a，2 ， 3成等差数列。若 1a=1，则 4s=- 3 -（A）7 （B ）8 （3）15 （4）16解析： 4 1a，2 ， 成等差数列， 22311 4,40,215aqq即 ， S,选 C.10.（ 2009 四川卷文）等差数列 n的公差不为
5、零，首项 1a1， 是 和 a的等比中项，则数列的前 10 项之和是A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为 d，则 )41()(2d. 0，解得 d2， 10S10011.（ 2009 湖北卷文）设 ,Rx记不超过 x的最大整数为 x,令 = - x，则 25，215,A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得 512， 512.则等比数列性质易得三者构成等比数列.12.（ 2009 湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
6、他们研究过图 1 中的 1，3 ，6 ，10 ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1，4 ，9 ，16 这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C- 4 -【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 (1)2na，同理可得正方形数构成的数列通项 2nb，则由 2nb()N可排除 A、D，又由 ()n知 na必为奇数，故选 C.13.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 na的前 n 项和为 nS，已知 210mm，2138mS,则（A）38 （B）20 （C）10 （D ）9 【答案】
7、C【解析】因为 na是等差数列，所以， 12mmaa，由 210ma，得：2ma 20，所以， m 2，又 138S，即 )(238 ，即（2m1）2 38，解得 m10 ，故选.C。14.（ 2009 重庆卷文）设 na是公差不为 0 的等差数列， 1a且 136,a成等比数列，则na的前 项和 nS=（ ） A274B253C234nD 2n【答案】A解析设数列 na的公差为 d，则根据题意得 (2)(5)dd，解得 12或0d（舍去） ，所以数列 na的前 项和2174nnS15.（ 2009 安徽卷理）已知 为等差数列， 1+ 3a+ 5=105， 26a=99，以 nS表示na的前
8、项和，则使得 nS达到最大值的 是 （A）21 （B）20 （C）19 （D ） 18 解析 ：由 1+ 3+ 5=105 得 305,a即 3，由 246=99 得 439即4a， 2d， 4()1n n，由 10na得 2，选 B16.（ 2009 江西卷理）数列 na的通项 22(cosi)3n，其前 项和为 nS，则30S为- 5 -A 470 B 490 C 495 D 510答案：A【解析】由于 22cosin3以 3 为周期,故2 222 23014589()(6)(30)S221 103151()547k kk 故选 A17.（ 2009 四川卷文）等差数列 na的公差不为零，
9、首项 1a1， 2是 1和 5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B【解析】设公差为 d，则 )41()(2d. 0，解得 d2， 10S100二、填空题1.（2009 全国卷理） 设等差数列 na的前 项和为 n，若 97,则 249a= 。解: na是等差数列,由 972S,得 59,82494645()()32aaa. 2.（2009 浙江理）设等比数列 n的公比 1q，前 n项和为 nS，则 4a 答案：15【解析】对于4 4314413(),15()aqssaq3.（2009 浙江文）设等比数列 n的公比 2，前 n项
10、和为 nS，则 4a 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前 项和的知识联系【解析】对于4 4314413(),15()aqsqsa4.（2009 浙江文）设等差数列 n的前 项和为 nS，则 4， 84S， 128，162S成等差数列类比以上结论有：设等比数列 b的前 项积为 nT，则 4， - 6 -， ， 162T成等比数列答案： 814,【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 nb的前
11、 项积为 nT，则 4， 812,T，162T成等比数列5.（2009 北京文）若数列 na满足： 11,2()naN，则 5a ；前8 项的和 8S.（用数字作答）.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查. 121324354,8,216aaa，易知85S，应填 255.6.（2009 北京理）已知数列 na满足： 43412,0,N,nnnaa则209a_； 2014=_.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得 2094503a， 201407142510aa. 应填 1，0.7.（2009 江苏卷）
12、设 n是公比为 q的等比数列， |q，令 (,)nb ，若数列 nb有连续四项在集合 53,219,78中，则 6= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 na有连续四项在集合 4,6，四项 24,35,81成等比数列，公比为32q， 6= -98.(2009 山东卷文)在等差数列 na中, ,7253a,则 _6.- 7 -【解析】:设等差数列 na的公差为 d,则由已知得 647211da解得 132a,所以6153ad. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.9.（2009 全国卷文）设等比数列 na的前 n 项和为 ns。若 36
13、14,sa，则 4a= 答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由 361,s得 q3=3 故 a4=a1q3=3。10.(2009 湖北卷理)已知数列 na满足： 1 m（m 为正整数） ，1,23nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。若 6 ，则 m 所有可能的取值为_ 。 11.【 答案】4 5 32【解析】 （1）若 1am为偶数，则 12a为偶, 故 223 a4m当 仍为偶数时， 468 故 13当 4为奇数时， 431am64a故31m得 m=4。（2 ）若 1a为奇数，则 213a为偶数，故 312a必为偶数63，所以 36=1 可得 m=512.（ 200
14、9 全国卷理）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 53a则 95S 9 . 解： na为等差数列， 953Sa13.（ 2009 辽宁卷理）等差数列 n的前 项和为 nS，且 536,S则 4a - 8 -【解析】S nna 1 2n(n1)d S 55a 110d,S 33a 13d6S 55S 330a 1 60d(15a 115d) 15a 145d15(a 13d)15a 4【答案】 3114.（ 2009 宁夏海南卷理）等差数列 na前 n 项和为 nS。已知 1ma+ - 2m=0， 21S=38,则 m=_解析：由 1ma+ - 2m=0 得到 122210, 13810mm
15、aSa又。答案 1015.（ 2009 陕西卷文）设等差数列 n的前 n 项和为 ns,若 632,则 n . 答案:2n解析:由 6312as可得 na的公差 d=2,首项 1a=2,故易得 n2n.16.(2009 陕西卷理)设等差数列 的前 n 项和为 nS,若 6312,则 2limnS .答案：1 611 223252 1()lilinnnadas 解 析 ：17.（ 2009 宁夏海南卷文）等比数列 n的公比 0q, 已知 2a=1， 216nna，则 n的前 4 项和 S= 【答案】 152【解析】由 16nnaa得： 116nq，即 062q， ，解得：q2，又 2=1，所以，
16、 12， 2)(44S 5。18.(2009 湖南卷理)将正ABC 分割成 n（ 2，nN）个全等的小正三角形（图 2，图 3分别给出了 n=2,3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C- 9 -处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= 103，f(n)= 16(n+1)(n+2) 【答案】： 10,()236n【解析】当 n=3 时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知121212,abcxabyc
17、za12 212()xyzgxyzy12126gc即 12120(3) 3fabcxyz而进一步可求得 45。由上知 ()f中有三个数， ()f中 有 6 个数， ()f中共有 10 个数相加 ， ()f中有 15 个数相加.，若 fn中有 1na个数相加，可得 fn中有1(na个数相加，且由3633045),(2)(1),()(2),()(3),.3fffffff可得 1,n所以 1()(2). (1)33nnfnf f= 1()3619.（ 2009 重庆卷理）设 12a， 1na， 21nab， *N，则数列 nb的通项公式 nb= 【答案】：2n+1- 10 -【解析】由条件得 112
18、21nnnnaabb且 14所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 14nb三、解答题1.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）已知点（1， 3）是函数 ,0()axf且 1）的图象上一点，等比数列 na的前 项和为 cnf)(,数列 nb(的首项为 c，且前 n项和 nS满足 1= S+ 1（2）.（1 ）求数列 na和 的通项公式；（2 ）若数列 1nb前 项和为 nT，问 2091的最小正整数 n是多少? 【解析】 （1） 3faQ, 3xf11afc, 21fcfc29,3 7f .又数列 na成等比数列，2134183ac，所以 1；又公比 213qa，所以12nnn*N ；111nnnnSSSSQ2又 0b, , ；数列 n构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， nn ， 2S当 2， 22nSn ；1nb( *N)；
