1、12011 年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分）1. 已知 ，则 可化简为（ ）53,421sin2siA B. C. D. sinico2c2如果复数 的模为 4，则实数 a 的值为（ ）aA. 2 B. C. D. 23. 设 A ，B 为两个互不相同的集合，命题 P： ， 命题 q： 或 ，则 p 是 q 的（ xABxAB）A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆 的右焦点 作倾斜角为 弦
2、AB，则 为（ ）21xy2F45ABA. B. C. D. 634335. 函数 ，则该函数为（ ）150()xfA. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）223 122122正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+5227某程序框图如右图所示，现将输出（ 值依次记为： 若程序运,)xy12(,),(),;nxyxy 2行中输出的一个数组是 则数组中的 （ ）(,10)xxA64 B32 C16 D88. 在平面区域 上恒有 ，则动
3、点 所(,)|,|y2aby(,)Pab形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数 在 上有两个零点，则 m 的取值范()sin2)6fxm0,2围为（ ）A. B C. D. 1,2,1,1,110. 已知 ，则 的解为（ ）,a2(4)20xaaA. 或 B. 或 C. 或 D. 3x13x13x二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空 7 分，共 49 分）11. 函数 的最小正周期为_。()2sin3cosxf12. 已知等差数列 前 15 项的和 =30，则 =_.a15S1815a13. 向量 ， ， ，则 的取值范
4、围为 。(1,si)(cs,)bRb14. 直三棱柱 ，底面 是正三角形， P，E 分别为 ， 上的动点（含端点）,1ABCABC1BCD 为 BC 边上的中点，且 。则直线 的夹角为 _。PDE,15设 为实数，则 _。yx, )(max210452yy16. 马路上有编号为 1，2，3 ，2011 的 2011 只路灯，为节约用电要求关闭其中的 300 只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_种。 （用组合数符号表示）17. 设 为整数，且 ，则 _。 zyx, 3,3zyxzyx 22zyx三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51
5、 分）18. 设 ，求 在 上的最大值和最小值。2a)2( ,a319. 给定两个数列 ， 满足 ， ， nxy10yx)1( 21nxn。证明对于任意的自然数 n，都存在自然数 ，使得 。)1( 21nyn njnj20. 已知椭圆 ，过其左焦点 作一条直线交椭圆于 A，B 两点，D 为 右侧一点，2154xy1F(,0)a1F连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 ，求 a 的值。 1F42011 年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准1解答：因为 ，所以 =53,421sin2sicosincosin。正确答案为 D。2cos2解答：由题意得 。正确答案
6、为 C。4a3解答：P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0 ） ，则弦 AB 为 代入椭圆方程得1,yx。正确答案为 C。2 212144340, ()33xxA5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。6. 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（ ） ，所以该几何体的体积2为 。正确答案为 A。5213427. 答案 经计算 。正确答案为 B。x8. 解答：平面区域 的四个边界点（1，1） ， （1 ，1） ， （1，1） ， （1 ，1）(,)|,|y满足 ，即有 ,由此计算动点 所形成2a
7、by22,2abab(,)Pab平面区域的面积为 4。正确答案为 A。9. 解答：问题等价于函数 与直线 在 上有两个交点，所以 m 的取值()sin)6fxym0,范围为 。正确答案为 C。1, 210. 解答：不等式的左端看成 的一次函数，a2()(4)faxx由 或 。正确答案为 C。22(1)560,(1)301fxfx311. 解答：最小正周期为 4 。12.解答：由 ，而 。15137Sad1815(7)6aad13. 解答： = ，22(cos)(in3)cos3in)b 54sin()65其最大值为 3，最小值为 1，取值范围为1，3。14. 解答：因为平面 ABC平面 ，A
8、DBC，所以 AD平面 ，所以 ADPE，又1BC1BCPEPD，PE平面 APD，所以 PEPD。即夹角为 。9015. 解答： 2225410452xyxyxx24()5()34y16. 解答：问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯，所以共有 种关灯方法。3017C17. 解答：将 代入 得到 ，因为 都是整数，3zxy33z8()9xyxy,x所以 前两个方程组无解；后两个方程组解得1428,2516xyxy。所以 3 或 57。;,zz22z18. 解答：当 当 0(),xyx 20,(1),xy由此可知 。 ma当 ；当 ；2in1,ymin12,ay当 。mi19.
9、解答：由已知得到： 为等比数列，首项为 2，公112()nnnnxxx比为 2， 所以 。 112nnx又由已知， 2211 1()()()nnnn nnyyy由 ， 所以取 即可。 01221nyyj20. 解答： 。1 2(3,)3Fx左 准 线 方 程 为 ;AB方 程 为 (3)ykx为 斜 率6设 ，由 得12(,)(,)AxyB165)3(2yxk222(5)10540kxk设 。由 M、A、D 共线 。345(,)(,)MN 1234()(3),ayayyxx同 理又 ，13141166, 0FyFyFNMF由 已 知 得得 = 整理得 2134345)25,99(ayx（而 ， 即 256k2135)9(ax（ 6,9。2(1)60),3,kaa又 所 以
