1、1高二数学竞赛班二试讲义第 8 讲 几个特殊的不定方程班级 姓名 一、知识要点：1勾股数方程定义 形如 的方程叫做勾股数方程，这里 为正整数，并称满足条件22xyz,xyz的解为方程基本解。(,)xy定理 勾股数方程 满足条件 且 的一切基本解可以表示为：2|(,)1，其中 为正整数，且 一奇一偶， 。22,abzaba,ab(,)1ab2不定方程 t这个四元方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出。设 ，则 ， ，则(,)xz,xcd(,)1c,ydtc3中国剩余定理 设 是两两互质的正整数，12nnm记 ， ，则同余方程组 有且仅12nM(,3,)iiM 1122(mod)()nnxc有一
2、组解 ，其中， ， 。1(mod)niixac1(mod)iia1,3,4佩尔（Pell）方程定义 设 ，且不是完全平方数，则形如 的方程叫做佩尔方程dN2xy定理 1 如果 是使 最小的方程 的解（称为最小解） ，则1(,)xy1 11(),()()2nn nnnxdydxdy也是方程 的一组解2d每个解 都可以取幂得到 。(,)ny1()()nnnxxyN下表是佩尔方程 ，且 不是完全平方数的最小解19dd2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19x3 2 9 5 8 3 19 10 7 649 15 4 33 17 170y2 1 4 2 3 1 6 3
3、 2 180 1 1 8 4 39定理 2 如果 是使 最小的方程 的解（称为最小解） ，则1(,)xy2xdy22111 11(),()()nn nnndxxdyxdy 也是方程 的一组解2每个解 都可以取幂得到 。(,)nxy 211()()nnndyN25方程 2xdyn方程 可能有解也可能无解，如果有正整数解时，它一定有无穷多组解。证明：设 是方程 的解， 是 的任一组解，那么1(,)2xdyn(,)xy21d21()1 11)xdydx 221 1()()()xyyn 因此， 是方程 的解。由于方程1 1,n有无穷多组解，所以这时方程 也有无穷多组解。2xy2x二、例题精析例 1在直
4、角坐标平面上，以 为圆心，求以 为半径的圆周上整点的个数。(9,0)9例 2设 为正整数， 。证明： 不是素数。,abcdabcd44abcd3例 3证明：有无穷多个正整数 ，使得 为完全平方数n2例 4 （第 30 届 IMO 试题）设 为任意的正整数。证明：一定存在 个连续的正整数解，nn使其中任何一个都不是质数的整数幂。4三、精选习题1证明：存在无穷多对正整数 ，使得 （第(,)kn12(1)2kkn26 届 IMO 预选题）2设 ，若 元正整数集合 满足：对任何整数 ，都存在 ， ，使得4nMk,abMak与 是不互质的数，就称 为“好集” b证明：若 为“好集” ，且 中所有元素之和
5、为 ，则存在 ，使得从 中201c删去元素 后，所得到的集 仍为“好集” cc5高二数学竞赛班二试讲义第 8 讲 几个特殊的不定方程例 1设 为圆周上任一整点，则方程为： 。(,)Axy 22(19)9xy显然 为方程的四组解；09,(19),(30当 时， （因为 是素数） ，则 是一组勾股数，,1x故 可以表示为两个正整数的平方和，设 ，2mn由于 ，所以方程 无整数解。213(mod4),1(od4)n29n例 2由 可设 ，其中 为正整数abcusbvtcsut,vst不是素数444()例 3设 ，则 ，设 ，则2qn22q242qn1)(2q即 ，因为佩尔方程 有无穷多组解1)(2q
6、 1yx取 ，也有无穷多组解。xy,例 4取 个两两不同的质数 和 。n12,np12,nq对于同余方程组 ，由于 两两互质，(mod)ii12,npqp根据孙子定理知同余方程组必有解，取为正整数 ，N则 个连续正整数 都至少含有两个不同的质因数，,N因而它们中的任一个都不是质数的整数幂。例 1已知等式可化为 ，令 ，22(1)()kn,xnyk得佩尔方程 ，有基本解 ，从而原方程有无穷多组解。2xy,(1,)y2证：如果 与 不互质，则 有质数因子 ，于是 ，abakbp()ab现在设， 中的元素两两之差的所有可能的质因子构成集合 ；M12,mP假若对于每个 ，都存在一个剩余 ，使得在集合
7、中至多只有一个数关于模ipPirM与 同余， （即是说，存在模 的某个剩余类 ，其中至多含有 中的一个元素） ipri iK由孙子定理，同余组 有解 ，满足：1122(mod)()mxrpr 12(mod)mxkp，而利用题中条件可得，对于这个 ，存在某对(od),1,iikrp k和某个 ，使得 整除 与 ，由,abMjPjpakb得0,0(od)bk，即 关于模 皆与 同余，也即 两数属于模()jjjjrr,jpjr,ab的同一个剩余类 ，这与 的假设矛盾！pjK由此可以断定，存在 ，关于模 的每个剩余类，都至少含有集 的两个元素；pM又假若对于模 的每个剩余类，都恰好含有集 的两个元素，则 中恰有 个元素，2p6分别为 和 的元素各一对，其中 为非负整数，而 通过ipri,iir，于是 的元素和为 ，0,12, M2(011)(1)pNpNp如此有 ，而 为质数，矛盾！(1)Np因此，必存在 的某个剩余类，含有集 的至少 个元素，今从 中删去这样的一3M个元素 ，所得到的集 仍为“好集” cc
