1、- 1 -第 26 课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（二）教学目标：通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。教学重点：两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。教学难点：找求问题解决的突破口，转化思想渗透。教学过程：1复习回顾：1）二面角的平面角找法依据.2）三垂线定理及逆定理.2讲授新课：师前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题
2、目也较突出. 找无棱二面角的棱依位置可分二类，例 1：如图，在所给空间图形中 ABCD 是正方形，PD面 ABCD，PD=AD.求平面 PAD和面 PBC 所成二面角的大小.师面 PAD 和面 PBC 图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.生作线在面内进行，BC AD 则经 BC 的平面与面 PAD 的交线应平行，由此想到经 P 作 BC 或 AD 平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下：解：经 P 在面 PAD 内作 PEAD，AE 面 ABCD，两线相交于 E，连 BEBCAD则 BC面 PAD面 PBC面 PADPEBCPE因 PD面 ABCD，BCCD那么 BCPC，
3、 BC面 PDC即有 PE面 PDCPEPD，PE PCCPD 就是所求二面角的平面角因 PDAD ，而 ADDC- 2 -CPD=45即面 PAD 与面 PBC 成角为 45.师从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得.请同学归纳小结例 1 的解法，并完成例 2. 例 2：如图，斜三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长都是 a，侧棱与底面成 60角，侧面BCC1B1面 ABC. 求平面 AB1C1 与底面 ABC 所成二面角大小 .师首先解释一下斜三棱柱，面 ABC 及面 A1B1C1 都是几何体底面且平行，CC 1 AA1 BB1. 生A 是面
4、 AB1C1 和面 ABC 的一个公共点，这两个面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行于 B1C1，此题难点就是如何找平面角 .师考虑面 BB1C1C面 ABC 及棱长相等两个条件，请同学思考.师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：因面 ABC面 A1B1C1，则面 BB1C1C面 ABCBC面 BB1C1C面 A1B1C1B 1C1BCB1C1，则 B1C1面 ABC设所求两面交线为 AE，即二面角的棱则 B1C1AE，即 BCAE经 C1 作 C1DBC 于 D，因面 BB1C1C面 ABCC1D面 ABC，C 1DBC又C 1CD60,CC 1a 故 CDa2即 D 为
5、 BC 中点又ABC 是等边三角形BCAD那么有 BC面 DAC1 即 AE面 DAC1故 AEAD，AE AC1C1AD 就是所求二面角的平面角.因 C1D a， AD a，C 1DAD32 32故C 1AD45.师请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.生同例 1，关键是找棱、找角、而找角较难.师继续看例 3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？例 3：如图，几何体中 AA1 BB1 CC1，AA 1面 ABC， ABC 为正三角形，面 - 3 -A1EC面 AC1，EBB 1，AA 1 A1B1，求面 A1EC 与面 ABC 所成二面角的大小.师此题显然依上述方法去
6、找平行线已不可能.由图 B1C1 与 CE 不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到 CE 与 B1C1 是同一平面内线，突破口就选在面 B1C1CB 内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解： A1 是平面 A1EC 与平面 A1B1C1 的一个公共点，只需找到另一个公共点，即可.因 AA1A 1B1A 1C1，连 AC1则 AC1A1C， AC1A1CO取 BB1 的中点 E，连 EO因面 ABC 是正三角形，则经 B 作 BGAC 有BG面 AC1，OEBGOE面 AC1因面 A1EC面 AC1，故
7、 E 是 BB1 中点那么 EB1 CC1 12CE 与 B1C1 延长后必交于一点 F，即 F 为面 A1EC，面 A1B1C1 的另一个公共点连 A1F，则 A1F 为面 A1EC 与面 A1B1C1 所成二面角的棱因 FB1B 1C1 A1B1，A 1B1F120FA1B130那么C 1A1F 90即 A1C1A1F那么 CA1A1F（三垂线定理）CAC1 为面 A1EC 与面 A1B1C1 所成二面角的平面角.CA1C145 ，因 AA1 BB1 CC1 而面 ABC面 A1B1C1面 A1EC 与面 ABC 所成二面角大小为 45.师找公共点 F 是解此题关键，例 1、2 是通过公共点作棱，例 3 是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例 1、2 找棱的方法不妨叫“作平行线”，例 3的方法叫“找公共点”.师问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到， “柳暗花明又一村”的境界一定能达到.3课时小结：依图形结构，对两类问题（例 1、2 为一类，例 3 为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。4课后作业：
